112 專技高考高等考試 化學工程技師 輸送現象與單元操作 考古題詳解

112 年・專技高考・高等考試・化學工程技師
試題代碼 輸送現象與單元操作

第 一 題20 分

有一流體在圓管中流動，如圖一所示。🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

請說明或推導如下：

(一) 何謂冪次定律流體（power law fluid）？請繪出其剪應力（shear stress, τ\tau）和速度梯度（velocity gradient）的關係，並說明流體的流動行為指數（flow behavior index, nn）對關係曲線的影響。（5 分）

(二) 今有一水平圓管，管內的流體為牛頓流體（Newtonian fluid），流動形式為層流（laminar flow）且呈穩定狀態（steady-state）。請寫出 Newtonian fluid 的數學模式（含剪應力、速度梯度和常數等），並推導證明流體流動的速度分布方程式（equation of velocity distribution）：

U=UMax[1−(rR)2]U=U_{\mathrm{Max}}\left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]

式中：rr 為半徑方向位置；RR 為圓管之半徑；UU 為在 rr 位置的流速；UMaxU_{\mathrm{Max}} 為流體的最大流速（maximum velocity）。（10 分）

(三) 承本題(一)，試推導流體平均流速（average velocity）與最大流速的關係？（5 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考三個相連的流體力學觀念：

  1. 冪次定律流體以剪應力與剪切速率的冪次關係描述非牛頓流體，流動行為指數 nn 決定流體是剪切變稀或剪切增稠。
  2. 牛頓流體圓管層流可由圓柱流體元素的軸向力平衡求出剪應力分布，再以牛頓黏度定律積分得到拋物線速度分布。
  3. 題目第（三）小題寫「承本題（一）」，因此以第（一）小題的冪次定律流體推導平均流速與最大流速的關係；牛頓流體則是 n=1n=1 的特例。

（一）冪次定律流體與流動行為指數

冪次定律流體（power law fluid）的剪應力大小與剪切速率關係為

∣τ∣=Kγ˙ n|\tau|=K\dot{\gamma}^{\,n}

其中 KK 為稠度指數，γ˙\dot{\gamma} 為剪切速率（速度梯度的大小），nn 為流動行為指數。以有方向的剪應力表示，可寫成

τ=K∣γ˙∣n−1γ˙\tau=K|\dot{\gamma}|^{n-1}\dot{\gamma}

剪應力對剪切速率的關係曲線如下：

剪應力 |τ|
 ↑
 │ n > 1：剪切增稠
 │ _/
 │ _/ n = 1：牛頓流體，直線
 │ _/ __/
 │ __/ __/ n < 1：剪切變稀
 │ __/___/
 └────────────────→ 剪切速率 γ̇
  • n=1n=1：τ=Kγ˙\tau=K\dot{\gamma}，剪應力與剪切速率成正比，為牛頓流體。
  • 0<n<10<n<1：剪切速率增加時，表觀黏度 μapp=τ/γ˙=Kγ˙n−1\mu_{\mathrm{app}}=\tau/\dot{\gamma}=K\dot{\gamma}^{n-1} 下降，稱為剪切變稀流體。
  • n>1n>1：剪切速率增加時，表觀黏度上升，稱為剪切增稠流體。

（二）牛頓流體圓管層流的速度分布

設圓管半徑為 RR，流體沿管軸方向穩定流動。令管長方向的壓力降為 ΔP>0\Delta P>0，管長為 LL。

1. 牛頓流體數學模式

牛頓流體的剪應力與速度梯度關係為

τrz=−μdUdr\tau_{rz}=-\mu\frac{dU}{dr}

其中 μ\mu 為動力黏度。由於流速向管壁方向遞減，dU/dr<0dU/dr<0，因此剪應力大小也可寫成

∣τrz∣=μ(−dUdr)|\tau_{rz}|=\mu\left(-\frac{dU}{dr}\right)

2. 由力平衡求剪應力分布

取半徑為 rr、長度為 LL 的圓柱流體元素。壓力降造成的軸向推力，等於圓柱側面剪應力造成的阻力：

ΔP πr2=∣τrz∣ 2πrL\Delta P\,\pi r^2=|\tau_{rz}|\,2\pi rL

因此

∣τrz∣=ΔP2Lr|\tau_{rz}|=\frac{\Delta P}{2L}r

代入牛頓流體模式：

−μdUdr=ΔP2Lr-\mu\frac{dU}{dr}=\frac{\Delta P}{2L}r

整理並積分：

dUdr=−ΔP2μLr\frac{dU}{dr}=-\frac{\Delta P}{2\mu L}r U(r)=−ΔP4μLr2+CU(r)=-\frac{\Delta P}{4\mu L}r^2+C

管壁滿足無滑動條件 U(R)=0U(R)=0，所以

C=ΔP4μLR2C=\frac{\Delta P}{4\mu L}R^2

故速度分布為

U(r)=ΔP4μL(R2−r2)U(r)=\frac{\Delta P}{4\mu L}(R^2-r^2)

在管中心 r=0r=0 時流速最大：

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第 二 題15 分

比重 0.80.8、黏度（viscosity）為 0.02 Pa⋅s0.02\ \mathrm{Pa\cdot s} 之某流體，水平流經內部直徑（inner diameter）200 mm200\ \mathrm{mm} 之鋼管，體積流率（volume flow rate）為 85 m3/h85\ \mathrm{m^3/h}，鋼管長度為 150 m150\ \mathrm{m}；管內部之摩擦因子（friction factor）為 0.0010.001。求流體在此系統的雷諾數（Reynolds No.）NReN_{\mathrm{Re}}，以及每公尺管長的壓力降（pressure drop）為多少 Pa\mathrm{Pa}？

註：管子的壓降和摩擦係數（friction factor）關係如下：

ΔPρ=4fU2L2gcD\frac{\Delta P}{\rho}=\frac{4fU^2L}{2g_cD}

ΔP\Delta P 為壓力降；DD 為管徑；ff 為摩擦因子；ρ\rho 為流體密度；UU 為流體平均流速；LL 為管長。

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核心觀念

本題考查管內平均流速、雷諾數與達西–魏斯巴赫式的應用。比重用來換算流體密度；體積流率除以管截面積可得平均流速。雷諾數為

NRe=ρUDμN_{\mathrm{Re}}=\frac{\rho U D}{\mu}

題目給定的壓降關係式可整理為每單位管長的壓降：

ΔPL=2fρU2gcD\frac{\Delta P}{L}=\frac{2f\rho U^2}{g_cD}

採 SI 單位時，gc=1g_c=1，此式即為 ΔP/L=2fρU2/D\Delta P/L=2f\rho U^2/D。

解題方法

比重 0.80.8 表示流體密度為水密度的 0.80.8 倍，取水密度 ρ水=1000 kg/m3\rho_{\mathrm{水}}=1000\ \mathrm{kg/m^3}：

ρ=0.8(1000)=800 kg/m3\rho=0.8(1000)=800\ \mathrm{kg/m^3}

先統一單位：

D=200 mm=0.200 mD=200\ \mathrm{mm}=0.200\ \mathrm{m} Q=85 m3/h=853600 m3/s=0.02361 m3/sQ=85\ \mathrm{m^3/h} =\frac{85}{3600}\ \mathrm{m^3/s} =0.02361\ \mathrm{m^3/s}

管截面積為

A=πD24=π(0.200)24=0.03142 m2A=\frac{\pi D^2}{4} =\frac{\pi(0.200)^2}{4} =0.03142\ \mathrm{m^2}

故平均流速為

U=QA=0.023610.03142=0.7519 m/sU=\frac{Q}{A} =\frac{0.02361}{0.03142} =0.7519\ \mathrm{m/s}

代入雷諾數公式，黏度 μ=0.02 Pa⋅s\mu=0.02\ \mathrm{Pa\cdot s}：

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第 三 題30 分

為促進化工裝置的熱傳速率（heat transfer rate），經常在裝置（equipment）上加翅片（fin）以加強散熱效果。此類翅片用於增加傳熱面積，可改善裝置上的金屬壁和導熱性差的流體（如空氣）之間的熱傳。圖二為裝置結構中的平板面，加了一均勻直徑的圓桿狀翅片。🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

已知圓桿底部沒有熱量損失，且呈穩定的熱傳狀態。平板面溫度 TsT_s，周圍環境溫度 T∞T_\infty，圓桿的長度為 LL，熱傳導度（thermal conductivity）為 kk，對流熱傳係數（convection heat-transfer coefficient）為 hh，xx 為與金屬平面附著處為起始點的圓桿位置。

(一) 請推導出 T(x)T(x) 的溫度分布方程式。（20 分）

(二) 由翅片傳送至流體的熱流率。（10 分）

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核心觀念

本題考查等截面直鰭片的一維穩態導熱。圓桿沿軸向導熱，熱量由側表面對流傳給周圍流體；依圖示與題目所述的無熱損失條件，取翅片自由端絕熱。

令超額溫度為 θ(x)=T(x)−T∞\theta(x)=T(x)-T_\infty。圓桿截面積與周長分別為

Ac=πD24,P=πDA_c=\frac{\pi D^2}{4},\qquad P=\pi D

其中 DD 為圓桿直徑。

解題方法

取長度為 dxdx 的微小翅片作熱量平衡。穩態下，軸向導熱量的淨流入等於側表面對流散熱量：

ddx(kAcdTdx)−hP(T−T∞)=0\frac{d}{dx}\left(kA_c\frac{dT}{dx}\right)-hP(T-T_\infty)=0

因 kk、AcA_c 為常數，且 dT/dx=dθ/dxdT/dx=d\theta/dx，得

d2θdx2−m2θ=0,m=hPkAc\frac{d^2\theta}{dx^2}-m^2\theta=0, \qquad m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}

對圓桿，

m=4hkDm=\sqrt{\frac{4h}{kD}}

此微分方程的通解為

θ(x)=C1cosh⁡(mx)+C2sinh⁡(mx)\theta(x)=C_1\cosh(mx)+C_2\sinh(mx)

邊界條件為：

  • 翅片根部與平板接合，T(0)=TsT(0)=T_s，所以 θ(0)=Ts−T∞\theta(0)=T_s-T_\infty。
  • 翅片末端絕熱，x=Lx=L 處 dT/dx=0dT/dx=0，所以 dθ/dx∣x=L=0d\theta/dx|_{x=L}=0。

套用兩個邊界條件後，溫度分布為

T(x)=T∞+(Ts−T∞)cosh⁡[m(L−x)]cosh⁡(mL)\boxed{ T(x)=T_\infty+(T_s-T_\infty) \frac{\cosh[m(L-x)]}{\cosh(mL)} }
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第 四 題20 分

工業程序中同時伴有非均勻化學反應（heterogeneous chemical reaction）及擴散質量輸送（diffusion mass transport）之實例甚多。今有一球形煤粒，其半徑為 RR，靜置於空氣中，O2O_2 擴散至球粒表面，發生下反應（圖三）：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

2C(s)+O2(g)→2CO(g)2\mathrm{C}_{(s)}+\mathrm{O}_{2(g)}\rightarrow2\mathrm{CO}_{(g)}

假設 CO 和 O2O_2 在氣膜中不起化學反應，擴散僅在 rr 方向發生，且此系統的質量傳送（mass transfer）呈穩定狀態。空氣中 O2O_2 之莫耳分率（molar fraction）為 21%21\%。試導出 O2O_2 之莫耳流率（molar flow rate）WO2W_{O_2}。

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核心觀念

本題考球形座標下的穩定擴散，以及表面反應造成的總莫耳流動。反應每消耗 11 mol O2O_2，會生成 22 mol COCO；因此氣膜內雖無化學反應，仍有由表面反應決定的總莫耳流率。

令徑向向外為正，並以 WO2W_{O_2} 表示向球粒表面的 O2O_2 莫耳流率正值。題目未提供表面反應速率或表面 O2O_2 濃度，依快速表面反應的標準假設，取 yO2(R)=0y_{O_2}(R)=0；另令氣膜延伸至遠處空氣，故 yO2(∞)=0.21y_{O_2}(\infty)=0.21。答案以氣體中的 O2O_2 有效擴散係數 DO2,mD_{O_2,m} 表示。

解題方法

穩定狀態下，各成分穿過任一球面控制面的莫耳流率皆為定值。由表面反應化學計量關係，向外為正時，

WCO=−2WO2W_{CO}=-2W_{O_2}

其中 WO2<0W_{O_2}<0，表示氧氣向內流；因此總莫耳流率為

WT=WO2+WCO=−WO2=WO2,cons>0W_T=W_{O_2}+W_{CO}=-W_{O_2}=W_{O_2,\mathrm{cons}}>0

其中 WO2,consW_{O_2,\mathrm{cons}} 是氧氣消耗速率的正值。

在半徑 rr 的球面上，總莫耳通量及氧氣通量分別為

NT=WO2,cons4πr2,NO2=−WO2,cons4πr2N_T=\frac{W_{O_2,\mathrm{cons}}}{4\pi r^2}, \qquad N_{O_2}=-\frac{W_{O_2,\mathrm{cons}}}{4\pi r^2}

採用氣膜中的擴散通量式：

NO2=−CDO2,mdyO2dr+yO2NTN_{O_2}=-C D_{O_2,m}\frac{dy_{O_2}}{dr}+y_{O_2}N_T

其中 C=P/(RT)C=P/(RT) 為總莫耳濃度。代入 NT=−NO2N_T=-N_{O_2}，得

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第 五 題15 分

廠房內的空氣溫度為 30∘C30^\circ\mathrm{C}，壓力為 101.3 kPa101.3\ \mathrm{kPa}，含有水蒸汽的分壓（partial pressure）為 12.54 kPa12.54\ \mathrm{kPa}。若 30∘C30^\circ\mathrm{C} 下水的飽和蒸汽壓（saturated vapor pressure）為 20.52 kPa20.52\ \mathrm{kPa}，請計算該廠房的飽和濕度（saturation humidity, HsH_s）和百分比濕度（percentage humidity, HpH_p）。

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核心觀念

本題考查濕度的定義及氣體分壓關係。濕度 HH 是水蒸氣質量與乾空氣質量之比：

H=MwMapwP−pwH=\frac{M_w}{M_a}\frac{p_w}{P-p_w}

其中 Mw=18.0M_w=18.0、Ma=29.0M_a=29.0，分別為水蒸氣與乾空氣的分子量；pwp_w 為水蒸氣分壓，PP 為總壓力。

飽和濕度 HsH_s 是同一溫度與總壓力下，水蒸氣達到飽和時的濕度，因此以飽和蒸汽壓 pw∗p_w^* 代入：

Hs=MwMapw∗P−pw∗H_s=\frac{M_w}{M_a}\frac{p_w^*}{P-p_w^*}

百分比濕度 HpH_p 則是實際濕度與飽和濕度的比值，以百分率表示：

Hp=HHs×100%H_p=\frac{H}{H_s}\times 100\%

解題方法

已知總壓力 P=101.3 kPaP=101.3\ \mathrm{kPa}、實際水蒸氣分壓 pw=12.54 kPap_w=12.54\ \mathrm{kPa}，以及 30∘C30^\circ\mathrm{C} 時的飽和蒸汽壓 pw∗=20.52 kPap_w^*=20.52\ \mathrm{kPa}。

先算乾空氣分壓：

P−pw=101.3−12.54=88.76 kPaP-p_w=101.3-12.54=88.76\ \mathrm{kPa}

因此實際濕度為：

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