111 專技高考高等考試 化學工程技師 輸送現象與單元操作 考古題詳解

核心觀念

本題旨在測驗非牛頓流體（Non-Newtonian Fluid）於管流中的動量傳送（Momentum Transport）分析能力，為《輸送現象》的經典考題。解題所依據的理論與定義如下：

1. 連續方程式與簡化假設：

• 穩態（Steady state）、不可壓縮流體（Incompressible fluid, $\rho = \text{const}$）。
• 完全展開（Fully developed）之層流（Laminar flow），速度場僅具軸向分量且為半徑的函數：$v_z = v_z(r)$，$v_r = v_\theta = 0$。
• 水平圓管，忽略重力效應（$g_z = 0$）。

2. 微元動量平衡（Shell Momentum Balance）： 圓柱座標系下的動量平衡方程式（或圓管流動之運動方程式 $z$ 方向分量）： $\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\tau_{rz}) = -\frac{dP}{dz} = \frac{\Delta P}{L}$ 此處壓降定義為 $\Delta P = P_{\mathrm{in}} - P_{\mathrm{out}}$。

3. 冪次流體本構方程式（Ostwald-de Waele Model）： 題目給定之流變方程式為： $\tau_{rz} = -m\left(\frac{dv_z}{dr}\right)^{n-1}\frac{dv_z}{dr}$ 其中 $m$ 為流動稠度指數（Flow consistency index），$n$ 為流動行為指數（Flow behavior index）。

4. 邊界條件（Boundary Conditions）：

• 管中心對稱條件：在 $r = 0$ 處，速度為有限值（Finite），故剪應力 $\tau_{rz}$ 必須為有限值（即 $\tau_{rz} = 0$）。
• 管壁無滑移條件（No-slip condition）：在 $r = R$ 處，$v_z = 0$。

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解題方法

步驟一：由動量平衡求解管內剪應力分佈 $\tau_{rz}(r)$

在半徑 $r$ 至 $r+\Delta r$、長度 $L$ 的環狀圓柱薄柱殼上進行動量平衡： $\Sigma F_z = (P_{\mathrm{in}} - P_{\mathrm{out}})\cdot(2\pi r \Delta r) + \left[ (2\pi r L \tau_{rz})|_r - (2\pi r L \tau_{rz})|_{r+\Delta r} \right] = 0$

兩邊同除以 $2\pi L \Delta r$ 並取極限 $\Delta r \to 0$： $\frac{d}{dr}(r\tau_{rz}) = \left(\frac{P_{\mathrm{in}} - P_{\mathrm{out}}}{L}\right)r = \frac{\Delta P}{L} r$

對 $r$ 進行一次不定積分： $r\tau_{rz} = \frac{\Delta P}{2L} r^2 + C_1 \implies \tau_{rz} = \frac{\Delta P}{2L} r + \frac{C_1}{r}$

代入管中心邊界條件：在 $r = 0$ 處，剪應力 $\tau_{rz}$ 不可發散（必須為有限值），故積分常數 $C_1 = 0$。 得到管內剪應力分佈： $\tau_{rz}(r) = \frac{\Delta P}{2L} r$

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步驟二：結合流變方程式求解流場速度分佈 $v_z(r)$

由於流體受壓力推動向 $+z$ 方向流動，在管中心處速度最大，往管壁方向速度遞減，故速度梯度為負值，即 $\frac{dv_z}{dr} \le 0$。 因此，剪切速率的大小可表示為 $-\frac{dv_z}{dr}$。題給之冪次流體方程式可改寫為： $\tau_{rz} = m \left(-\frac{dv_z}{dr}\right)^n$

將剪應力分佈代入上式： $m \left(-\frac{dv_z}{dr}\right)^n = \frac{\Delta P}{2L} r$

兩邊開 $n$ 次方根： $-\frac{dv_z}{dr} = \left(\frac{\Delta P}{2mL}\right)^{1/n} r^{1/n}$ $\frac{dv_z}{dr} = -\left(\frac{\Delta P}{2mL}\right)^{1/n} r^{1/n}$

對 $r$ 進行積分： $v_z(r) = -\left(\frac{\Delta P}{2mL}\right)^{1/n} \frac{r^{\frac{1}{n} + 1}}{\frac{1}{n} + 1} + C_2 = -\left(\frac{\Delta P}{2mL}\right)^{1/n} \left(\frac{n}{n+1}\right) r^{\frac{n+1}{n}} + C_2$

代入管壁無滑移邊界條件：在 $r = R$ 處，$v_z(R) = 0$： $0 = -\left(\frac{\Delta P}{2mL}\right)^{1/n} \left(\frac{n}{n+1}\right) R^{\frac{n+1}{n}} + C_2 \implies C_2 = \left(\frac{\Delta P}{2mL}\right)^{1/n} \left(\frac{n}{n+1}\right) R^{\frac{n+1}{n}}$

將 $C_2$ 代回速度方程式，整理得速度分佈（流場）：

核心觀念

本題為典型的管流熱交換器設計題，評量考生在「動量傳送」與「熱量傳送」的整合計算能力，核心包含以下觀念與公式：

1. 流況判定（Reynolds 數）： $Re = \frac{u D}{\nu} = \frac{4 \dot{V}}{\pi D \nu}$ 判斷管內流體為層流（$Re < 2100$）或紊流（$Re > 4000$），以決定適用之對流熱傳關聯式。
2. 流體物性無因次群（Prandtl 數）： $Pr = \frac{C_p \mu}{k} = \frac{\nu \rho C_p}{k}$
3. 熱負荷（Heat Duty, $Q$）： 依據巨觀能量均衡： $Q = \dot{m} C_p (T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}}) = \rho \dot{V} C_p (T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})$
4. 對數平均溫差（Log Mean Temperature Difference, $\Delta T_{\mathrm{lm}}$）： 冰浴（ice bath）處於相變化狀態，外側溫度視為定溫 $T_c = 0^\circ\mathrm{C}$： $\Delta T_{\mathrm{lm}} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln(\Delta T_1 / \Delta T_2)}$
5. 總熱傳係數（Overall Heat Transfer Coefficient, $U$）與管長關聯： 因管壁薄且熱阻可忽略（$D_i \approx D_o = D$），傳熱面積 $A = \pi D L$： $\frac{1}{U} = \frac{1}{h_i} + \frac{1}{h_o}$ $Q = U A \Delta T_{\mathrm{lm}} = U (\pi D L) \Delta T_{\mathrm{lm}}$ 搭配題目指定之層流熱傳經驗式 $Nu = 1.86\left(Re Pr \frac{D}{L}\right)^{1/3}$，即可聯立解出管長 $L$。

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解題方法

步驟一：單位換算與流況判別（計算雷諾數 $Re$）

• 體積流率 $\dot{V}$： $\dot{V} = 0.006\ \mathrm{m^3/h} = \frac{0.006}{3600}\ \mathrm{m^3/s} = 1.667 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^3/s}$
• 管徑 $D = 2.7\ \mathrm{mm} = 2.7 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$，管截面積 $A_c$： $A_c = \frac{\pi}{4} D^2 = \frac{\pi}{4} \times (2.7 \times 10^{-3})^2 \approx 5.726 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^2}$
• 平均流速 $u$： $u = \frac{\dot{V}}{A_c} = \frac{1.667 \times 10^{-6}}{5.726 \times 10^{-6}} \approx 0.2911\ \mathrm{m/s}$
• 計算雷諾數 $Re$： $Re = \frac{u D}{\nu} = \frac{0.2911 \times 2.7 \times 10^{-3}}{7 \times 10^{-7}} \approx 1123$ 因 $Re = 1123 < 2100$，流況確定為層流（laminar flow），後續計算採用題目所給之層流公式： $Nu = 1.86\left(Re Pr \frac{D}{L}\right)^{1/3}$

步驟二：計算普朗特數 $Pr$

• 比熱 $C_p = 4.0\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 4000\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$。
• 動黏度 $\nu = \mu / \rho \implies \mu = \rho \nu = 1000 \times 7 \times 10^{-7} = 7 \times 10^{-4}\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}$。
• 計算 $Pr$： $Pr = \frac{C_p \mu}{k} = \frac{4000 \times (7 \times 10^{-4})}{0.5} = 5.6$
• 雷諾數與普朗特數相乘： $Re \cdot Pr = 1122.8 \times 5.6 \approx 6288$

步驟三：計算熱負荷 $Q$ 與對數平均溫差 $\Delta T_{\mathrm{lm}}$

• 質量流率 $\dot{m}$： $\dot{m} = \rho \dot{V} = 1000 \times 1.667 \times 10^{-6} = 1.667 \times 10^{-3}\ \mathrm{kg/s}$
• 血液釋出的熱負荷 $Q$： $Q = \dot{m} C_p (T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}}) = (1.667 \times 10^{-3}) \times 4000 \times (40 - 30) = 66.67\ \mathrm{W}$
• 冰浴維持在定溫 $T_c = 0^\circ\mathrm{C}$，管線兩端溫差為： $\Delta T_1 = 40 - 0 = 40^\circ\mathrm{C}$

核心觀念

本題旨在測驗圓管內部流動水力學（Internal Flow Hydrodynamics）與膜分離程序（逆滲透裝置）之流動摩擦阻力計算，核心觀念與公式包含：

1. 雷諾數（Reynolds Number, $Re$）： 用於判斷流體在圓管內的流動型態（層流或紊流）： $Re = \frac{D v \rho}{\mu}$ 其中 $D$ 為管內徑，$v$ 為管內平均流速，$\rho$ 為流體密度，$\mu$ 為流體黏度。若 $Re < 2{,}100$，流動為層流（Laminar Flow）。

2. 泛寧摩擦阻力方程式（Fanning Friction Equation）： 圓管流動之摩擦壓力降公式為： $\Delta P = 4 f \left(\frac{L}{D}\right)\left(\frac{\rho v^2}{2}\right)$ 對於層流，題目給定之泛寧摩擦係數為 $f = \frac{16}{Re}$。將其代入後即得哈根－泊肅葉方程式（Hagen-Poiseuille Equation）： $\Delta P = \frac{32 \mu v L}{D^2}$ 在英制工程單位中，考慮重力加速度換算因數 $g_c$： $\Delta P = \frac{32 \mu v L}{g_c D^2}$

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解題方法與詳細計算

步驟一：幾何尺寸與單位換算

半鹹水在中空纖維內部（lumen）流動，因此水力直徑應取內徑（inside diameter, $D_i$），外徑為多餘資訊：

• 管內徑 $D = 42\ \mu\mathrm{m} = 4.2 \times 10^{-5}\ \mathrm{m}$ 換算為英制： $D = \frac{4.2 \times 10^{-5}\ \mathrm{m}}{0.0254\ \mathrm{m/in.} \times 12\ \mathrm{in./ft}} \approx 1.378 \times 10^{-4}\ \mathrm{ft}$
• 管長 $L = 3\ \mathrm{ft}$ 換算為公制： $L = 3 \times 12 \times 2.54\ \mathrm{cm} = 91.44\ \mathrm{cm} = 0.9144\ \mathrm{m}$
• 中空纖維數量 $N = 900{,}000 = 9 \times 10^5$ 根。

步驟二：體積流量與平均流速計算

• 總體積流量 $Q$： 每 $24$ 小時流經之總體積為 $2{,}000\ \mathrm{gal}$： $Q = \frac{2{,}000\ \mathrm{gal}}{24 \times 3{,}600\ \mathrm{s}} = 0.02315\ \mathrm{gal/s}$ 利用題給換算關係 $1\ \mathrm{ft^3} = 7.481\ \mathrm{gal} = 28.316\ \mathrm{L}$，轉換為國際標準制（$\mathrm{m^3/s}$）： $1\ \mathrm{gal} = \frac{28.316 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}}{7.481} \approx 3.785 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ $Q = \frac{2{,}000 \times 3.785 \times 10^{-3}\ \mathrm{m^3}}{86{,}400\ \mathrm{s}} \approx 8.762 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^3/s}$ （若以英制計算：$Q = \frac{2{,}000}{86{,}400 \times 7.481} \approx 3.094 \times 10^{-3}\ \mathrm{ft^3/s}$）

• 單根纖維管的流量 $q$： $q = \frac{Q}{N} = \frac{8.762 \times 10^{-5}\ \mathrm{m^3/s}}{900{,}000} \approx 9.735 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3/s}$

• 單根纖維管之流動截面積 $A$： $A = \frac{\pi}{4} D^2 = \frac{\pi}{4} (4.2 \times 10^{-5}\ \mathrm{m})^2 \approx 1.385 \times 10^{-9}\ \mathrm{m^2}$

• 管內平均流速 $v$： $v = \frac{q}{A} = \frac{9.735 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^3/s}}{1.385 \times 10^{-9}\ \mathrm{m^2}} \approx 0.0703\ \mathrm{m/s}\ (0.2305\ \mathrm{ft/s})$

步驟三：判定流動型態（計算雷諾數 $Re$）

流體物性：

• 密度 $\rho = 1.012\ \mathrm{g/cm^3} = 1{,}012\ \mathrm{kg/m^3}$（英制：$1.012 \times 62.428 \approx 63.18\ \mathrm{lb/ft^3}$）
• 黏度 $\mu = 1\ \mathrm{cp} = 0.01\ \mathrm{poise} = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{Pa\cdot s}$（英制：$0.01 \times 0.0672 \approx 6.72 \times 10^{-4}\ \mathrm{lb/(ft\cdot s)}$）

核心觀念

本題屬於輸送現象中質傳領域的經典題型——降膜吸收（Falling Film Absorption）在短接觸時間（Short Contact Time）下的滲透理論近似（Penetration Theory Approximation）。考驗以下核心概念與數學工具：

1. 短接觸時間假設之物理意義：

• 當氣液接觸時間極短（接觸距離 $z$ 很短，或流速 $v_{\max}$ 很大）時，溶質 $A$ 僅滲透至液膜表面極薄的一層區域（質傳邊界層厚度 $\delta_c \ll \delta$）。
• 在此極薄層內，流速分佈 $v_z(x) = v_{\max}[1-(x/\delta)^2]$ 中由於 $x/\delta \ll 1$，速度可近似為表面最大流速 $v_z \approx v_{\max}$（即塞流假設 Plug Flow）。
• 同時，溶質尚未擴散穿透至固壁邊界（$x=\delta$），故物理系統可簡化為半無限介質（Semi-infinite medium），邊界條件由有限厚度的絕壁條件修正為 $x \to \infty$ 時 $C_A = 0$。

2. 相似性變數轉換（Similarity Transformation）：

• 統治方程式為拋物型偏微分方程式（PDE），形式等同於非恆定狀態一維熱傳導／擴散方程式（若令接觸時間 $t = z/v_{\max}$）。
• 透過組合空間座標 $x$ 與流動方向座標 $z$ 為無因次相似變數 $\eta = \frac{x}{\sqrt{4D_{AB}z/v_{\max}}}$，將二元偏微分方程式降階轉換為**單變數常微分方程式（ODE）**求解。

3. 誤差函數（Error Function）與邊界條件的相容性：

• 入口條件（$z=0$）與無窮遠邊界條件（$x \to \infty$）在轉換後會「合流（Collapse）」為同一個邊界條件（$\eta \to \infty$），此為相似解成立的充分必要特徵。
• 解的數學形式最終由高斯積分表達為互補誤差函數（$\operatorname{erfc}$）。

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解題方法

步驟一：設定無因次變數與偏微分之連鎖律展開

給定相似變數：

$$\eta = \frac{x}{\sqrt{\dfrac{4D_{AB}z}{v_{\max}}}} = x \cdot \left(\frac{4D_{AB}z}{v_{\max}}\right)^{-1/2}$$

欲求之統治方程式為：

$$v_{\max}\frac{\partial C_A}{\partial z} = D_{AB}\frac{\partial^2 C_A}{\partial x^2}$$

利用微分連鎖律（Chain Rule），將偏微分轉換為對 $\eta$ 的常微分：

1. 對 $z$ 的一階偏導函數：

$$\frac{\partial \eta}{\partial z} = x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{4D_{AB}z}{v_{\max}}\right)^{-3/2}\left(\frac{4D_{AB}}{v_{\max}}\right) = -\frac{1}{2z}\left[\frac{x}{\sqrt{4D_{AB}z/v_{\max}}}\right] = -\frac{\eta}{2z}$$

因此：

$$\frac{\partial C_A}{\partial z} = \frac{d C_A}{d\eta} \frac{\partial \eta}{\partial z} = -\frac{\eta}{2z} \frac{d C_A}{d\eta}$$

2. 對 $x$ 的一階與二階偏導函數：

$$\frac{\partial \eta}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{4D_{AB}z/v_{\max}}}$$ $$\frac{\partial C_A}{\partial x} = \frac{d C_A}{d\eta} \frac{\partial \eta}{\partial x} = \frac{1}{\sqrt{4D_{AB}z/v_{\max}}} \frac{d C_A}{d\eta}$$ $$\frac{\partial^2 C_A}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial C_A}{\partial x}\right) = \frac{\partial}{\partial \eta}\left(\frac{1}{\sqrt{4D_{AB}z/v_{\max}}} \frac{d C_A}{d\eta}\right) \frac{\partial \eta}{\partial x} = \frac{1}{\dfrac{4D_{AB}z}{v_{\max}}} \frac{d^2 C_A}{d\eta^2}$$

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步驟二：將微分項代入統治方程式並化簡

將上述結果代入統治方程式 $v_{\max}\dfrac{\partial C_A}{\partial z} = D_{AB}\dfrac{\partial^2 C_A}{\partial x^2}$：

$$v_{\max} \left(-\frac{\eta}{2z} \frac{d C_A}{d\eta}\right) = D_{AB} \left(\frac{v_{\max}}{4D_{AB}z} \frac{d^2 C_A}{d\eta^2}\right)$$

消去兩側共同的因數 $\dfrac{v_{\max}}{z}$ 及 $D_{AB}$：

$$-\frac{\eta}{2} \frac{d C_A}{d\eta} = \frac{1}{4} \frac{d^2 C_A}{d\eta^2}$$

同乘以 $4$ 並移項整理，得到轉變後之常微分方程式（ODE）：

$$\frac{d^2 C_A}{d\eta^2} + 2\eta \frac{d C_A}{d\eta} = 0$$

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步驟三：轉換邊界條件

將原物理空間之三個邊界條件轉換為 $\eta$ 的函數：

1. 邊界條件 2（液面處）：

$$\text{at } x = 0 \implies \eta = \frac{0}{\sqrt{4D_{AB}z/v_{\max}}} = 0,\quad C_A = C_{A0}$$

2. 邊界條件 1（接觸起始點）：

$$\text{at } z = 0 \;(x > 0) \implies \eta = \frac{x}{\sqrt{0}} \to \infty,\quad C_A = 0$$

3. 邊界條件 3（液膜深處）：