111 專技高考高等考試 化學工程技師 程序控制 考古題詳解

核心觀念

本題考查化工程序控制（Process Control）的核心基礎理論，涵蓋四大範疇：

1. 經驗動態模式（Empirical Dynamic Models）：二階加死時（Second-Order Plus Dead Time, SOPDT）系統之時域與拉氏轉換（Laplace transform）數學表示式、特徵參數（增益、時間常數、阻尼比、延遲時間）之物理意義。
2. 經典控制器架構：比例－積分－微分（PID）控制器的傳遞函數、時域數學式，以及各控制作用（P、I、D）對閉迴路系統響應（速度、穩定度、穩態偏差）之影響。
3. 程序變量定義：控制變量（Controlled Variable, CV）、操作變量（Manipulated Variable, MV）與擾動變量（Disturbance Variable, DV）之本質差異與選定原則。
4. 多變數控制系統（MIMO Systems）：相對增益矩陣（Relative Gain Array, RGA）之數學定義、代數性質（行與列和為 1），以及在多迴路配對（Loop Pairing）與動態交互作用（Interaction）評估中的應用準則。

解題方法

本題為非選擇題（問答分析題），解題切入點在於：

1. 式子先行，定義在後：各子題先給出標準、無歧義之傳遞函數或數學定義式，再逐一對應說明各項參數的工程與物理意涵。
2. 兼顧時域與頻域（S域）：針對控制系統傳遞函數，輔以時域表現（如積分消除偏移、微分具預測功能），使論述完整扎實。
3. 條理分明：各子題切中得分核心，精簡扼要，避免發散。

選項分析

本題非選擇題，無選項設計。各子題依申論題評分重點詳細推導與分析如下：

(一) Second-order plus dead time (SOPDT) system 模式及說明

1. 傳遞函數模式： SOPDT 系統之標準傳遞函數 $G(s)$ 可表示為： $G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{K e^{-\theta s}}{\tau^2 s^2 + 2\zeta\tau s + 1}$ 若為過阻尼（Overdamped）系統，亦常改寫為雙一階串聯形式： $G(s) = \frac{K e^{-\theta s}}{(\tau_1 s + 1)(\tau_2 s + 1)}$

2. 參數與模式說明：

• 製程增益（Process Gain, $K$）：表示系統達到新穩態時，輸出變化量與輸入階階變化量之比值，即 $K = \frac{\Delta y(\infty)}{\Delta u}$。
• 特徵時間常數（Time Constant, $\tau$ 或 $\tau_1, \tau_2$）：反映系統動態響應的慣性與反應速率大小，$\tau$ 愈大表示程序動態變化的時間尺度愈長。
• 阻尼比（Damping Ratio, $\zeta$）：決定系統自由響應的震盪特性：
• $\zeta > 1$：過阻尼（Overdamped），響應平緩無震盪。
• $\zeta = 1$：臨界阻尼（Critically Damped）。
• $0 < \zeta < 1$：次阻尼（Underdamped），產生震盪與超調（Overshoot）。
• 死時／純滯後時間（Dead Time, $\theta$）：由 $e^{-\theta s}$ 表示，代表輸入改變後至輸出開始反應前所延遲的時間，通常由流體輸送延遲、管線長度或線上分析儀取樣延遲所造成。
• 工程意義：化工程序中多個電容或阻抗串聯的複雜高階系統，動態行為多可簡化近似為 SOPDT 模式，作為調節控制器參數（如 IMC 或頻率響應設計）的重要依據。

(二) PID 控制的傳遞函數（Transfer Function）及說明

1. 傳遞函數模式： PID 控制器（理想並聯型 / 標準型）之傳遞函數 $G_c(s)$ 為： $G_c(s) = \frac{U(s)}{E(s)} = K_c \left( 1 + \frac{1}{\tau_I s} + \tau_D s \right)$ 或以增益形式寫為： $G_c(s) = K_c + \frac{K_I}{s} + K_D s \quad \left( K_I = \frac{K_c}{\tau_I},\ K_D = K_c \tau_D \right)$ 對應之時域輸出控制信號為： $u(t) = \bar{u} + K_c \left[ e(t) + \frac{1}{\tau_I} \int_0^t e(t')\,dt' + \tau_D \frac{de(t)}{dt} \right]$ 其中 $e(t) = y_{SP}(t) - y(t)$ 為誤差信號。

2. 各模式動作說明：

• 比例作用（Proportional, $K_c$）：根據當前誤差 $e(t)$ 呈線性輸出調節。提高 $K_c$ 可加快響應速度，但單獨使用 P 控制無法消除穩態誤差（Offset），且 $K_c$ 過大會引發系統不穩定。
• 積分作用（Integral, $\frac{K_c}{\tau_I s}$）：根據過去誤差的累積量調節輸出。其核心功能在於徹底消除穩態偏差（Eliminate Offset）；但積分作用會引進 $90^\circ$ 的相位落後（Phase Lag），使系統穩定度裕度降低並增加震盪。
• 微分作用（Derivative, $K_c \tau_D s$）：根據誤差的變化趨勢（斜率）預先動作，具「超前預測」功能。可提供系統阻尼效應、降低超調量並縮短整定時間；但對高頻雜訊極度敏感，工程上常配合一階濾波器使用。

(三) 何謂控制變量（Controlled Variable, CV）

1. 定義： 控制變量（Controlled Variable, CV）係指在程序操作中，為確保工廠運作安全性、符合產品品質規範、合乎環境排放標準或達到經濟最佳化，**必須予以即時量

核心觀念

本題出自民國 111 年專技高考化學工程技師「程序控制」考科，核心測驗**「含積分動作之控制器（PI / PID）在面對致動器物理極限時的非線性非理想現象」**。

1. 重整動作（Reset Action）： 在工業程序控制中，「重整（Reset）」即為「積分控制（Integral Control, I-action）」，其命名由來是利用持續對誤差積分來自動消除系統的穩態偏差（Offset），使受控變數回到設定值（Resetting the setpoint）。 標準 PI 控制器的時間域輸出方程式為： $u(t) = \bar{u} + K_c \left[ e(t) + \frac{1}{\tau_I} \int_0^t e(t') \, dt' \right]$ 其中 $u(t)$ 為控制器輸出訊號，$\bar{u}$ 為穩態偏差基準值（Bias），$K_c$ 為比例增益，$\tau_I$ 為重整時間（Reset time / 積分時間），誤差 $e(t) = y_{sp}(t) - y(t)$。

2. 致動器物理極限（Actuator Constraints）： 實際工業現場的最終控制元件（如控制閥、加熱器功率）皆具有硬體物理極限限制： $u_{\min} \le u_{\text{actual}}(t) \le u_{\max}$ 例如氣動控制閥之全關為 $0\%$、全開為 $100\%$。

3. 重整飽和（Reset Windup）的本質： 當系統出現長期且大幅度的誤差時，致動器早已達到物理極限（飽和狀態，Saturation），無法再提供額外的操控量來加速縮小誤差。然而控制器內部的積分項卻絲毫不知致動器已飽和，仍持續對誤差進行時間累積，使得計算出的 $u(t)$ 遠遠超過 $u_{\max}$（或低於 $u_{\min}$），形成「積分虛胖累積（Winding up）」。

解題方法

本題為標準申論題，答題架構依題意明確切分為三大部分：「定義與發生機制」、「化工實例說明」以及「工程防治對策」。

一、重整飽和（Reset Windup）之定義與機制

1. 定義： 凡採用 PI 或 PID 控制之系統，當受控變數長時間偏離設定點（如開機過程、巨大階波擾動或大幅變更設定點），導致致動器達到極限（$u=u_{\max}$ 或 $u=u_{\min}$）而飽和時，控制器內部的積分項仍持續對誤差進行積分累積，使計算輸出值遠超致動器極限。當受控變數終於回到設定點（$e=0$）時，致動器無法立即退出極限狀態，必須等待誤差反向（$e<0$）經歷一段長時間去「消除累積（Unwind）」，因而導致受控變數產生劇烈超調量（Overshoot）與過長安定時間的現象，稱為重整飽和（Reset Windup，又稱積分飽和）。

2. 發生歷程之數學機制：

• 階段一（飽和累積期）：$e(t) > 0$ 且數值很大，致動器輸出實質卡死在 $u_{\text{actual}} = u_{\max} = 100\%$。但控制器演算的虛擬輸出值持續攀升： $u_{\text{calc}}(t) = \bar{u} + K_c e(t) + \frac{K_c}{\tau_I} \int_0^t e(t') \, dt' \gg 100\%$
• 階段二（臨界穿越期）：受控變數達到設定點，$e(t) = 0$。此時比例項 $K_c e(t) = 0$，但由於先前積分項累積了龐大正值，$u_{\text{calc}}(t)$ 依然遠大於 $100\%$，控制閥持續全開，無法及時減小輸出。
• 階段三（超調與反向解飽和期）：受控變數衝過設定點，誤差轉為負值（$e(t) < 0$）。負誤差必須持續累積一段相當長的時間，方能抵消先前充塞的積分量，將 $u_{\text{calc}}(t)$ 拉回至 $100\%$ 以下。在此延遲期間，系統造成嚴重的超調（Overshoot）與劇烈振盪。

二、實例說明：連續攪拌批次加熱槽（Batch Heating Reactor）啟動過程

1. 製程配置：

• 受控變數（PV）：反應槽內部溫度 $T$。
• 操作變數（MV）：夾套蒸氣控制閥開度 $v$（範圍：$0\% \sim 100\%$）。
• 控制器：PI 溫度控制器，設定點 $T_{sp} = 150^\circ\text{C}$，初溫為室溫 $T(0) = 25^\circ\text{C}$。

2. 現象展開步驟：

• 啟動升溫：開機瞬間，誤差 $e = 150 - 25 = 125^\circ\text{C}$。控制器計算輸出瞬間破表，蒸氣閥立即全開至 $100\%$。
• 滯後升溫與積分累積：反應槽因熱容量大，溫度上升緩慢。在升溫至 $150^\circ\text{C}$ 的數十分鐘內，積分項 $\frac{K_c}{\tau_I}\int e \, dt$ 持續累加，使得 $u_{\text{calc}}$ 膨脹至數倍（例如換算閥開度相當於 $500\%$）。
• 抵達目標與超調暴衝：當槽溫達到了 $150^\circ\text{C}$（$e = 0$），蒸氣閥理應開始關閉；然而因為內部積累值仍高達數百個百分點，閥門依舊維持在 $100\%$ 全開狀態。

核心觀念

本題評量化學工程程序控制中線性非干擾系統的動態步階響應特徵。當輸入為單位步階改變（$X(s) = \frac{1}{s}$）時，輸出響應 $Y(s) = G(s) \cdot \frac{1}{s}$ 的幾何軌跡主要由轉移函數的下列參數與架構決定：

1. 終值定理與穩態增益（Steady-State Gain, $K$）： $y(\infty) = \lim_{s \to 0} s Y(s) = \lim_{s \to 0} G(s) = K$ 穩態終值決定響應最終趨近的數值高度。
2. 初值定理與初始斜率： $\left.\frac{dy}{dt}\right|_{0^+} = \lim_{s \to \infty} s \left[ s Y(s) - y(0) \right] = \lim_{s \to \infty} s G(s)$

• 若極點數與零點數之差（相對階數）$= 1$，初始斜率非零（如一階系統）。
• 若相對階數 $\ge 2$，初始斜率為零，響應具平滑起步特徵。

3. 無效時間／時滯（Dead Time, $\theta$）： 時滯項 $e^{-\theta s}$ 僅造成時間軸向右平移 $\theta$ 單位，不改變曲線幾何形狀。
4. 系統階數與多重一階落後串聯（Cascade Lag）： 高階串聯系統因能量傳遞延遲，呈現 S 型（Sigmoidal）曲線，初始導數皆為零，具有反曲點與顯著的「視在時滯（apparent dead time）」。
5. 標準二階系統與阻尼比（Damping Ratio, $\zeta$）： 標準型式為 $G(s) = \frac{K}{\tau^2 s^2 + 2\zeta \tau s + 1}$：

• 次阻尼（$\zeta < 1$）：具共軛複數極點，產生超越終值的超調（overshoot）與衰減振盪。
• 過阻尼（$\zeta > 1$）：具相異實數極點，無超調、無振盪，響應受較慢之時間常數主導。

解題方法

解析本題無須進行繁複的拉氏反轉換，採用「極點分析與特徵參數辨識法」定性勾勒軌跡：

1. 求取穩態終值：代入 $s = 0$ 求得各轉移函數之靜態增益 $K = y(\infty)$。
2. 辨識動態架構：

• 找出純時滯量 $\theta$。
• 化為標準型式求取時間常數 $\tau$ 與阻尼比 $\zeta$。
• 判斷極點分布（實數極點、重根、複數極點）。

3. 推導關鍵幾何特徵：由初始斜率、反曲點存在性、峰值與超調現象，精確描繪各程序之暫態曲線並說明成因。

各小題詳解

(一) $G_A(s) = \frac{3e^{-5s}}{s+1}$

• 參數辨識： 一階加時滯系統（First-Order Plus Dead Time, FOPDT）。 穩態增益 $K = 3$、時間常數 $\tau = 1$、純時滯 $\theta = 5$。
• 原因說明： 時滯項 $e^{-5s}$ 使輸出在輸入施加後的最初 5 個時間單位完全無動作；在 $t = 5^+$ 瞬時，系統立即以最大斜率向上攀升（$\left.\frac{dy}{dt}\right|_{5^+} = \frac{K}{\tau} = \frac{3}{1} = 3$）。
• 響應軌跡特徵：

1. 無效延遲期：$0 \le t < 5$ 時，$y(t) = 0$。
2. 突變上升：於 $t = 5$ 處開始啟動，起步斜率非零且為全域最大。
3. 單調凹向漸近：無反曲點、無超調，軌跡呈現下凸（曲線向上開口朝下）的純指數漸近線，在 $t = 5 + \tau = 6$ 時達穩態值的 $63.2\%$（即 $y(6) \approx 1.896$），最終平滑收斂至穩態終值 $y(\infty) = 3$。

(二) $G_B(s) = \frac{2}{(3s+1)^4}$

• 參數辨識： 四階多重一階落後串聯系統（$n = 4$）。 穩態增益 $K = 2$、個別時間常數 $\tau = 3$。
• 原因說明： 系統具 4 個位於 $s = -1/3$ 的四重實數極點。相對階數為 4，依初值定理，輸出的一階、二階、三階時間導數在 $t = 0^+$ 均為 0，能量需逐級累積才能顯現在最終輸出上。
• 響應軌跡特徵：

1. 顯著的視在時滯（Apparent Dead Time）：$t=0$ 附近反應極其遲緩，呈現近似平貼於時間軸的起步。
2. 典型 S 型曲線（Sigmoidal Curve）：起步後斜率由 0 逐漸增大（凹向上），通過反曲點（Inflection Point）達到最大變化率，隨後斜率遞減（凹向下）。
3. 非振盪性：四重極點皆為實數，完全無超調、無振盪，最終漸近收斂至穩態終值 $y(\infty) = 2$。

(三) $G_C(s) = \frac{4}{4s^2+2s+1}$

• 參數辨識： 標準二階系統 $\tau^2 s^2 + 2\zeta \tau s + 1$。
• $\tau^2 = 4 \implies \tau = 2$
• $2\zeta \tau = 2 \implies 2\zeta(2) = 2 \implies \zeta = 0.5 < 1$（次阻尼 Underdamped）
• 穩態增益 $K = 4$
• 共軛複數極點：$s = -\frac{1}{4} \pm j\frac{\sqrt{3}}{4} \approx -0.25 \pm j 0.433$
• 原因說明： 阻尼比 $\zeta = 0.5 < 1$，系統內部存在共軛複數極點，虛部頻率成分導致輸出產生正弦與餘弦式的週期波動。
• 響應軌跡特徵：

核心觀念

本題考查方塊圖化簡與閉迴路穩定性。先將 $G_1$、$G_2$ 所構成的內迴路化簡，再與外迴路的 $G_c$、$G_3$ 合併。穩定性則由閉迴路特徵方程判斷。

解題方法

令 $P(s)$ 為 $G_c(s)$ 的輸出，$X(s)$ 為 $G_3(s)$ 的輸入。由圖中的內迴路，

因此，從 $P(s)$ 到 $X(s)$ 的等效傳遞函數為

代入 $G_1(s)=0.5$、$G_2(s)=\dfrac{4}{s+3}$：

所以

求 $C(s)/R(s)$ 時令擾動輸入 $D(s)=0$。由外迴路負回授，

代入 $G_c(s)=K_c$、$G_3(s)=\dfrac{10}{s-1}$：

核心觀念

本題考查兩種程序控制：

• 比例控制（ratio control）：以一股流量作為基準，依設定比例調整另一股流量，使兩股流量維持指定比例。
• 超馳控制（override control）：以選擇器在正常控制需求與安全限制需求之間選出較嚴格的控制訊號，讓系統在異常時優先保護設備或製程。

反應 $A+B\rightarrow C$ 的化學計量係數為 $1:1$；若進料流量以莫耳流率表示，理論上可將目標設定為 $F_B/F_A=1$。實際設定值應依原料濃度、配方及所需操作條件換算。

解題方法

（一）設計比例控制

以 A 流量作為基準流，以 B 流量作為受控流：

1. 在 A 進料管線設置流量計與流量控制器 $FIC_A$，維持 A 的操作流量。
2. 在 B 進料管線設置流量計與流量控制器 $FIC_B$，由 B 管線的控制閥調整 B 流量。
3. 將 A 的實測流量送入比例器（ratio station），設定比例 $R$，並將 B 流量控制器的設定值設為：

當 A 流量變動時，B 的設定值隨之變動，$FIC_B$ 再調整 B 閥，使 B 跟上指定比例。若採化學計量進料且以莫耳流率為基準，則 $R=1$。

（二）設計超馳控制

正常操作時，操作員或產量控制器給定反應物進料需求；反應器溫度過高時，則應降低 A、B 的進料量。為此，在 A 的主流量設定值前設置低選擇器（low selector）：

1. 一路輸入正常進料需求 $F_{A,\mathrm{normal}}$。