108 專技高考高等考試 化學工程技師 程序控制 考古題詳解

108 年・專技高考・高等考試・化學工程技師
試題代碼 程序控制

第 一 題20 分

圖一為一壓力控制系統。請回答下列問題：

(一) 本壓力控制系統的目的是什麼？

(二) 請以圖形表示程序本身包括哪些部分。

(三) 請畫出本控制系統塊解圖（Block Diagram）。

(四) 請標示 DV（Disturbance Variable）、SP（Set Point）、MV（Manipulated Variable）、CV（Controlled variable）分別在圖一的位置。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖一　壓力控制系統（pp: pressure；vpvp: valve position）

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核心觀念

本題考查單一變數負回授控制：量測槽內壓力，將量測值回傳控制器與設定值比較，再由控制器調整進料閥，使槽內壓力維持在設定值附近。

圖中可辨識的控制元件為壓力控制器 PC11、壓力傳送器 PT11，以及進料閥 vp1(t)vp_1(t)。槽內壓力是受控量；進料閥的位置是控制器可調整的操縱量。

解題方法

先沿著訊號與物料方向辨認控制迴路：

  1. PT11 量測槽內壓力，將訊號送回 PC11。
  2. PC11 將量測壓力與設定值 SP 比較。
  3. PC11 輸出控制訊號，調整進料閥位置 vp1(t)vp_1(t)。
  4. 進料與出料條件的變動會影響槽內壓力，形成擾動。

各小題詳解

(一) 本壓力控制系統的目的

維持槽內壓力 pp 在壓力設定值附近。當進料或出料條件改變、造成槽內壓力偏離設定值時，PC11 根據 PT11 的回授訊號調整進料閥 vp1(t)vp_1(t)，使壓力回到設定值附近。

(二) 程序本身包括的部分

程序本體是受控的壓力槽及其進、出料流路。以控制觀點表示如下：

 擾動：進料、出料條件
 ↓ ↓
操縱輸入 vp₁(t) → [壓力槽程序] → 受控輸出 p

其中，壓力槽是受控設備；vp1(t)vp_1(t) 改變進料，作用於程序；槽內壓力 pp 是程序輸出。PT11、PC11 屬於量測與控制迴路元件，不是壓力槽程序本體。

(三) 控制系統塊解圖

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第 二 題20 分

考慮圖二之液位系統，其中 qq 為體積流率，hh 為液高，RR 為出料阻抗（Resistance），且

R=Ch1/2R=Ch^{1/2}

其中 CC 為常數。槽截面積 A=3 ft2A=3\ \mathrm{ft^2}；某一穩態操作時，qos=16 cfmq_{os}=16\ \mathrm{cfm}（cubic feet per minute），hs=4 fth_s=4\ \mathrm{ft}。

當進料流率 q(t)q(t) 由 16 cfm16\ \mathrm{cfm} 增為 20 cfm20\ \mathrm{cfm} 時，請求出本系統在此穩態操作附近之線性化動態模式及 h(t)h(t)。

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圖二　液位系統

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核心觀念

液位槽的物料衡算為「槽內累積量＝進料量－出料量」：

Adhdt=q(t)−qo(t)A\frac{dh}{dt}=q(t)-q_o(t)

出料阻抗定義為 R=h/qoR=h/q_o，所以 qo=h/Rq_o=h/R。題目給定 R=Ch1/2R=C h^{1/2}，因此出料流率隨液高變化：

qo(h)=hCh1/2=1Ch1/2q_o(h)=\frac{h}{C h^{1/2}}=\frac{1}{C}h^{1/2}

本題要在穩態操作點附近將這個非線性出料關係線性化，再求進料流率階躍增加時的液位響應。

解題方法

穩態時液位不變，故 qos=qis=16 cfmq_{os}=q_{is}=16\ \mathrm{cfm}，且 hs=4 fth_s=4\ \mathrm{ft}。由穩態出料關係求 CC：

16=4C=2C⟹C=1816=\frac{\sqrt{4}}{C}=\frac{2}{C} \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{1}{8}

因此

qo(h)=8h1/2q_o(h)=8h^{1/2}

在 hs=4h_s=4 附近作一階泰勒展開。出料流率對液高的斜率為

dqodh∣hs=4h−1/2∣h=4=2\left.\frac{dq_o}{dh}\right|_{h_s} =\left.4h^{-1/2}\right|_{h=4}=2

令偏差變數 Δh=h−hs\Delta h=h-h_s、Δq=q−qis\Delta q=q-q_{is}，線性化後的出料流率為

qo≈qos+2Δh=16+2Δhq_o \approx q_{os}+2\Delta h =16+2\Delta h

將其代入物料衡算，並使用槽截面積 A=3 ft2A=3\ \mathrm{ft^2}：

3dΔhdt=Δq−2Δh3\frac{d\Delta h}{dt}=\Delta q-2\Delta h

這就是穩態操作點附近的線性化動態模式。取拉氏轉換，可得進料流率至液位的傳遞函數：

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第 三 題20 分

請寫出圖三所示之時域（time domain）之工作方程式（working equations）。

其中，PI 為比例積分控制器，其轉移函數為

GPI(s)=3(1+12s)G_{PI}(s)=3\left(1+\frac{1}{2s}\right)

且

R(s)=2sR(s)=\frac{2}{s}

N(s)=1sN(s)=\frac{1}{s}

τF=3\tau_F=3

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圖三　控制迴路方塊圖

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核心觀念

本題考查將方塊圖中的各個轉移函數轉換成時域方程式，並依加總點的正負號寫出訊號關係。圖三包含 PI 控制器、含純延遲的一階程序、輸出端加性擾動，以及含增益與一階濾波器的回授路徑。

以下假設各方塊初始條件為零。令 x(t)x(t) 為程序本身的輸出，c(t)c(t) 為加入擾動後的總輸出，v(t)v(t) 為回授濾波器輸出，m(t)m(t) 為控制器輸出。

解題方法

由題目給定的輸入：

r(t)=2u(t),n(t)=u(t)r(t)=2u(t),\qquad n(t)=u(t)

其中 u(t)u(t) 為單位階躍函數。

1. 誤差與回授濾波器

圖中的第一個加總點為參考輸入減去回授訊號，因此：

e(t)=r(t)−v(t)e(t)=r(t)-v(t)

回授路徑由增益 0.50.5 與轉移函數 1/(τFs+1)1/(\tau_Fs+1) 串接而成，且 τF=3\tau_F=3：

V(s)=0.53s+1C(s)V(s)=\frac{0.5}{3s+1}C(s)

轉換為時域微分方程：

3dv(t)dt+v(t)=0.5c(t)3\frac{dv(t)}{dt}+v(t)=0.5c(t)

2. PI 控制器

由

GPI(s)=3(1+12s)=3+1.5sG_{PI}(s)=3\left(1+\frac{1}{2s}\right) =3+\frac{1.5}{s}

可得控制器輸出：

m(t)=3e(t)+1.5∫0te(λ) dλm(t)=3e(t)+1.5\int_0^t e(\lambda)\,d\lambda

等價的微分形式為：

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第 四 題20 分

試以圖四來執行一比例積分控制器

Gc(s)=M(s)E(s)=Kc(1+1τIs)G_c(s)=\frac{M(s)}{E(s)}=K_c\left(1+\frac{1}{\tau_I s}\right)

(一) 請證明圖四之方塊圖即是在執行上述式。

(二) 如何在個人電腦內以圖四方塊圖之設計寫一軟體控制器？

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圖四　比例積分控制器方塊圖

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本題考查比例積分控制器（PI controller）的方塊圖化簡，以及如何將連續時間控制器離散化後，寫成個人電腦可執行的程式。

圖四的第一個加減點產生誤差 E(s)=R(s)−C(s)E(s)=R(s)-C(s)；KcK_c 方塊產生比例項；第二個加法點將比例項與 MI(s)M_I(s) 相加，得到控制器輸出 M(s)M(s)。M(s)M(s) 再經過 1τIs+1\dfrac{1}{\tau_I s+1} 回授至第二個加法點。

解題方法

由方塊圖的訊號關係，第一個加減點輸出為 E(s)E(s)，經過 KcK_c 後為 KcE(s)K_cE(s)。第二個加法點的輸出為：

M(s)=KcE(s)+MI(s)M(s)=K_cE(s)+M_I(s)

由回授路徑上的傳遞函數：

MI(s)=1τIs+1M(s)M_I(s)=\frac{1}{\tau_I s+1}M(s)

代入輸出關係：

M(s)=KcE(s)+M(s)τIs+1M(s)=K_cE(s)+\frac{M(s)}{\tau_I s+1}

移項整理：

M(s)(1−1τIs+1)=KcE(s)M(s)\left(1-\frac{1}{\tau_I s+1}\right)=K_cE(s)

因為

1−1τIs+1=τIsτIs+11-\frac{1}{\tau_I s+1} =\frac{\tau_I s}{\tau_I s+1}

所以：

M(s)E(s)=KcτIs+1τIs=Kc(1+1τIs)\frac{M(s)}{E(s)} =K_c\frac{\tau_I s+1}{\tau_I s} =K_c\left(1+\frac{1}{\tau_I s}\right)

這正是題目所要求的比例積分控制器傳遞函數。

個人電腦內的軟體控制器

以取樣時間 Δt\Delta t 定期讀取設定值 r[k]r[k] 與量測值 c[k]c[k]，計算誤差：

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第 五 題20 分

在圖五中，若

GP(s)=25s+1G_P(s)=\frac{2}{5s+1}

且閉迴路控制要求為

C(s)R(s)=10.5s+1\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1}{0.5s+1}

請設計一PI控制器

Gc(s)=Kc(1+1τIs)G_c(s)=K_c\left(1+\frac{1}{\tau_I s}\right)

並求其 KcK_c 與 τI\tau_I。

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圖五　一控制迴路方塊圖

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核心觀念

圖五是單位負回授控制系統，閉迴路傳遞函數為

C(s)R(s)=Gc(s)GP(s)1+Gc(s)GP(s).\frac{C(s)}{R(s)} =\frac{G_c(s)G_P(s)}{1+G_c(s)G_P(s)}.

PI 控制器含有一個零點；可令此零點抵消被控程序 GP(s)G_P(s) 的極點，再依指定的閉迴路時間常數求控制器增益。

解題方法

被控程序為

GP(s)=25s+1,G_P(s)=\frac{2}{5s+1},

其極點由 5s+1=05s+1=0 決定。PI 控制器可寫成

Gc(s)=Kc(1+1τIs)=KcτIs+1τIs.G_c(s)=K_c\left(1+\frac{1}{\tau_I s}\right) =K_c\frac{\tau_I s+1}{\tau_I s}.

為抵消程序的極點 5s+15s+1，令 PI 控制器的零點滿足

τIs+1=5s+1,\tau_I s+1=5s+1,

因此

τI=5.\tau_I=5.

代入後，開迴路傳遞函數化簡為

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