114 專技高考高等考試 化學工程技師 程序控制 考古題詳解

114 年・專技高考・高等考試・化學工程技師
試題代碼 程序控制

第 一 題21 分

程序控制為工廠自動化與製程穩定運轉的重要技術手段，透過適當的控制策略與控制器設計，可提升產品品質、一致性與生產效率。請回答下列有關常見控制架構與控制原理的問題：

(一) 請解釋何謂「串級控制」（Cascade Control）。畫出其基本架構（含主、副迴路），並闡述使用此種控制策略的主要優點與一項關鍵的應用限制。

(二) 請比較「開迴路控制」（Open-Loop Control）與「閉迴路控制」（Closed-Loop Control）的定義與優缺點。

(三) 請比較「回饋控制」（Feedback Control）與「前饋控制」（Feedforward Control）的控制原理與操作侷限性。

(四) 在 PID 控制器中，P（比例）、I（積分）、D（微分）三個控制單元各自的主要功能為何？

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核心觀念

本題考查程序控制的四種基本架構與 PID 各控制單元的作用：串級控制、開迴路與閉迴路控制、回饋與前饋控制，以及比例、積分、微分控制。作答時要分清「有無量測回授」、「控制動作依據是偏差還是可量測擾動」，並說明各方法的優點與適用限制。

解題方法

先辨認各控制架構的訊號路徑，再比較其控制依據與效果：

  • 串級控制：主控制器的輸出設定副控制器的設定值，形成主、副兩個回授迴路。
  • 開迴路與閉迴路：看控制動作是否根據受控變數的量測結果修正。
  • 回饋與前饋：看控制器是依受控變數偏差修正，或依可量測的擾動預先補償。
  • PID：依比例、積分、微分分別說明對當下偏差、累積偏差及偏差變化率的作用。

（一）串級控制

定義與架構

串級控制（Cascade Control）是將兩個回授控制迴路串接：主迴路控制主要受控變數；主控制器的輸出作為副迴路的設定值；副迴路再調整操縱變數，使副受控變數追蹤該設定值。

主設定值 r₁
 │
 ▼
 (+) ◄──────────────────────── 主受控變數 y₁
 │ e₁
 ▼
主控制器 C₁
 │ 副設定值 r₂
 ▼
 (+) ◄──────────────────────── 副受控變數 y₂
 │ e₂
 ▼
副控制器 C₂
 │
 ▼
操縱變數 u → 製程 → 主受控變數 y₁
 └→ 副受控變數 y₂

圖中副迴路量測副受控變數 y2y_2，並由副控制器 C2C_2 調整操縱變數 uu；主迴路則量測主要受控變數 y1y_1，由主控制器 C1C_1 產生副迴路設定值 r2r_2。實際製程中，y2y_2 通常是主變數變化的中間變數，例如蒸汽流量，而 y1y_1 是最終要控制的槽溫。

主要優點

若擾動先影響副受控變數，再影響主受控變數，副迴路可在主變數明顯偏離設定值前迅速修正，減少主變數的波動。由於副迴路通常較快，串級控制也能改善主迴路的動態反應，提升抗擾能力。

關鍵應用限制

副受控變數必須可量測，且副迴路的動態速度須明顯快於主迴路；否則副迴路無法及時處理擾動，串級架構便難以發揮效益。副變數也必須能代表會影響主變數的製程變化。

（二）開迴路控制與閉迴路控制

比較項目開迴路控制（Open-Loop Control）閉迴路控制（Closed-Loop Control）
定義控制動作不依受控變數的量測結果修正，通常依預設指令或操作程序輸出量測受控變數，將其與設定值比較，依偏差調整控制動作
優點架構簡單、成本較低，沒有回授引起的穩定性問題能修正部分製程變化及外部擾動造成的偏差，控制精度與抗擾能力通常較佳
缺點製程或擾動改變時不會自行修正，結果仰賴模型與操作條件準確需要感測器與回授設備；若控制器設計不當，可能造成振盪或不穩定

閉迴路控制常以誤差表示：

e(t)=r(t)−y(t)e(t)=r(t)-y(t)

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第 二 題16 分

一個液位控制器採用 PI 控制模式，其輸出 p(t)p(t) 的數學式為：

p(t)=Kce(t)+KcτI∫0te(t′) dt′+psp(t)=K_c e(t)+\frac{K_c}{\tau_I}\int_0^t e(t')\,dt'+p_s

其中，控制器參數設定為：比例增益（Proportional Gain）Kc=2K_c=2（%\% 輸出／%\% 誤差），積分時間 τI=4\tau_I=4 分鐘。

系統最初處於穩定狀態（t<0t<0），誤差 e(t)=0e(t)=0，控制器輸出穩定在偏置值（bias）ps=40%p_s=40\%。

在時間 t=0t=0 時，因上游擾動，使得液位開始下降，產生一個大小為 +5%+5\% 的階級誤差（即 e(t)=5%e(t)=5\% for t≥0t\geq 0）。

請計算：

(一) 在誤差發生瞬間（t=0+t=0^+），控制器輸出 p(t)p(t) 為何？

(二) 在誤差發生 2 分鐘後（t=2 mint=2\ \mathrm{min}），控制器輸出 p(t)p(t) 為何？

(三) 從 t=0t=0 開始，需要經過多少時間，控制器的輸出會達到飽和上限 100%100\%？

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核心觀念

本題考查比例積分（PI）控制器對階級誤差的響應。控制器輸出由偏置、比例作用與積分作用三部分組成：

p(t)=Kce(t)+KcτI∫0te(t′) dt′+psp(t)=K_c e(t)+\frac{K_c}{\tau_I}\int_0^t e(t')\,dt'+p_s

其中比例作用會在誤差發生時立即改變輸出；積分作用則隨誤差累積而逐漸改變輸出。

解題方法

誤差在 t≥0t\geq 0 時維持 5%5\%，因此：

e(t)=5%,∫0te(t′) dt′=5t %⋅mine(t)=5\%,\qquad \int_0^t e(t')\,dt'=5t\ \%\cdot\mathrm{min}

代入 Kc=2K_c=2、τI=4 min\tau_I=4\ \mathrm{min}、ps=40%p_s=40\%：

p(t)=2(5%)+24 min(5t %⋅min)+40%=50%+2.5t%\begin{aligned} p(t) &=2(5\%)+\frac{2}{4\ \mathrm{min}}(5t\ \%\cdot\mathrm{min})+40\%\\ &=50\%+2.5t\% \end{aligned}

此處 tt 以分鐘計。

（一）誤差發生瞬間的輸出

在 t=0+t=0^+，積分項尚未累積，故輸出只包含偏置與比例作用：

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第 三 題17 分

一間教室的自動冷氣溫控系統使用比例控制（P control）。

冷氣系統的穩態增益（steady-state gain）為 Kp=1.5K_p=1.5，表示冷氣輸出每增加 1 單位，室溫在穩態會下降 1.5∘C1.5^\circ\mathrm{C}。最初設定溫度為 27∘C27^\circ\mathrm{C}，因為太熱所以現在將設定改為 25∘C25^\circ\mathrm{C}。

若控制器增益（proportional gain）KcK_c 可調整，請計算在不同 KcK_c 下的穩態偏差（offset）與最終室溫：

案例控制器增益
A2
B5
C8

請完成下列計算：

(一) 各案例的穩態偏差 esse_{ss}。

(二) 各案例的最終室溫。

(三) 比較哪一個控制器增益能讓溫度最接近設定值。

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核心觀念

比例控制器的輸出與誤差成正比：

Δu=Kce\Delta u=K_c e

其中 Δu\Delta u 為冷氣輸出的變化量，KcK_c 為控制器增益，ee 為設定值與實際溫度的差。題目所給的冷氣系統穩態增益表示冷氣輸出增加 1 單位，室溫穩態下降 1.5∘C1.5^\circ\mathrm{C}，所以冷氣輸出增加 Δu\Delta u 單位時，室溫下降 KpΔuK_p\Delta u。

此題採用冷氣輸出增加代表室溫下降的方向約定，因此溫度降低量與控制器輸出變化量的大小關係為：

ΔT=KpΔu\Delta T=K_p\Delta u

比例控制通常留下穩態偏差；偏差愈小，最終室溫愈接近設定值。

解題方法

設定值由 27∘C27^\circ\mathrm{C} 降至 25∘C25^\circ\mathrm{C}，溫度變化需求為：

ΔT需求=27−25=2∘C\Delta T_{\text{需求}}=27-25=2^\circ\mathrm{C}

設穩態偏差 esse_{ss} 為設定溫度減去最終室溫。比例控制使冷氣輸出增加 KcessK_c e_{ss}，因此穩態溫度下降量為：

ΔT=KpKcess\Delta T=K_pK_c e_{ss}

穩態時，實際溫度下降量等於設定值要求的下降量扣除剩餘偏差：

2=ΔT+ess2=\Delta T+e_{ss}

代入 ΔT=KpKcess\Delta T=K_pK_c e_{ss}：

2=KpKcess+ess=(1+KpKc)ess2=K_pK_c e_{ss}+e_{ss} =(1+K_pK_c)e_{ss}

故：

ess=21+KpKce_{ss}=\frac{2}{1+K_pK_c}

最終室溫則為設定值加上穩態偏差：

Tss=25+essT_{ss}=25+e_{ss}

題目給定 Kp=1.5K_p=1.5，逐案計算如下。

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第 四 題16 分

在一個蒸餾塔中，利用回流比（RR）和蒸汽流率（SS）以控制餾出物（xDx_D）與底部產品（xBx_B）的組成。當控制迴路被打開，以進行如上所述的控制實驗，並收集到以下數據：

實驗RR（kg/min）SS（kg/min）xDx_DxBx_B
180250.960.05
290250.940.06
3100250.920.08
490200.950.06
590300.970.03

請計算此系統的相對增益矩陣（relative gain array），以及判斷操控變數（RR、SS）與被控變數（xDx_D、xBx_B）之間，哪一個配對方式是最佳的配對。

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核心觀念

相對增益矩陣（relative gain array, RGA）用來衡量多變數系統中，操控變數與被控變數配對後的相對交互作用。對二輸入、二輸出系統，定義為

Λ=K∘(K−1)T\Lambda = K \circ (K^{-1})^{T}

其中 KK 是穩態增益矩陣，∘\circ 表示元素對元素相乘。穩態增益由開迴路實驗數據估算：

Kij=ΔyiΔuj∣其他操控變數固定K_{ij}=\left.\frac{\Delta y_i}{\Delta u_j}\right|_{\text{其他操控變數固定}}

本題操控變數為 R,SR,S，被控變數為 xD,xBx_D,x_B。

解題方法

先分別由實驗中「一次改變一個操控變數」的數據計算各穩態增益。

1. 計算穩態增益

固定 S=25S=25，由實驗 1、2、3 計算回流比對各產品組成的增益。使用端點差分：

∂xD∂R≈0.92−0.96100−80=−0.002\frac{\partial x_D}{\partial R} \approx \frac{0.92-0.96}{100-80} =-0.002 ∂xB∂R≈0.08−0.05100−80=0.0015\frac{\partial x_B}{\partial R} \approx \frac{0.08-0.05}{100-80} =0.0015

固定 R=90R=90，由實驗 2、4、5 計算蒸汽流率對各產品組成的增益：

∂xD∂S≈0.97−0.9530−20=0.002\frac{\partial x_D}{\partial S} \approx \frac{0.97-0.95}{30-20} =0.002 ∂xB∂S≈0.03−0.0630−20=−0.003\frac{\partial x_B}{\partial S} \approx \frac{0.03-0.06}{30-20} =-0.003

因此，依輸出排列為 (xD,xB)(x_D,x_B)、輸入排列為 (R,S)(R,S)，穩態增益矩陣為

K=[−0.0020.0020.0015−0.003]K= \begin{bmatrix} -0.002 & 0.002\\ 0.0015 & -0.003 \end{bmatrix}

2. 計算相對增益矩陣

對二乘二矩陣，令

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第 五 題30 分

圖中的線路中，乙苯以 950 gpm950\ \mathrm{gpm} 流動，並且溫度為 445∘F445^\circ\mathrm{F}（密度為 42.0 lb/ft342.0\ \mathrm{lb/ft^3}）。點 1 與點 2 之間的摩擦壓降為 12.4 psi12.4\ \mathrm{psi}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中可辨識資訊：

  • 儲槽壓力：68 psig68\ \mathrm{psig}
  • 點 1 壓力：152 psia152\ \mathrm{psia}
  • 點 1、點 2 之間高程差：140 ft140\ \mathrm{ft}
  • 管線中設有控制閥 A
  • 管線與泵浦配置請對照原卷附圖

(一) 假設在 100%100\% 過量容量情況，計算標示處閥（圖中 A）的流量係數。

(二) 在其他條件不變的情況下，只將該閥的 CvC_v 改為 250，且該閥為線性。計算閥門完全打開時通過閥門的流量。

提示：

ΔPo=(1Cv2+kl)Gf2\Delta P_o=\left(\frac{1}{C_v^2}+k_l\right)Gf^2

(三) 承（二），計算控制閥的可調範圍能力（Valve rangeability）。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考控制閥液體容量係數 CvC_v、管線與閥門的串聯壓降，以及線性閥的安裝特性。

液體通過控制閥時，使用

Q=CvΔPvGfQ=C_v\sqrt{\frac{\Delta P_v}{G_f}}

其中 QQ 的單位為 gpm、ΔPv\Delta P_v 為閥門壓降（psi），GfG_f 為液體比重。乙苯比重為

Gf=42.062.4=0.6731G_f=\frac{42.0}{62.4}=0.6731

線路中閥門與管線串聯，總壓降可寫成題目提示的形式：

ΔPo=(1Cv2+kl)GfQ2\Delta P_o=\left(\frac{1}{C_v^2}+k_l\right)G_fQ^2

其中 klk_l 代表管線摩擦損失係數。題目未提供閥門的最低可控制開度，因此第三小題採常用的 5%5\% 至 95%95\% 行程作為可用範圍。

解題方法與計算

先由點 1 至儲槽液面的壓力平衡，計算系統可用壓降。儲槽壓力須由表壓換成絕對壓力：

PT=68+14.7=82.7 psiaP_T=68+14.7=82.7\ \mathrm{psia}

點 1 至點 2 的高程壓降為

ΔPz=42.0(140)144=40.83 psi\Delta P_z=\frac{42.0(140)}{144}=40.83\ \mathrm{psi}

因此，扣除高程差後，點 1 與儲槽間可供管線及閥門使用的總壓降為

ΔPo=152−82.7−40.83=28.47 psi\Delta P_o=152-82.7-40.83=28.47\ \mathrm{psi}

在 950 gpm950\ \mathrm{gpm} 下，管線摩擦壓降為 12.4 psi12.4\ \mathrm{psi}，所以閥門在該流量下的壓降為

ΔPv=28.47−12.4=16.07 psi\Delta P_v=28.47-12.4=16.07\ \mathrm{psi}

（一）100% 過量容量時的 CvC_v

100% 過量容量表示以額定流量的兩倍作為閥門選型流量，亦即 Qsize=2(950)=1900 gpmQ_{\mathrm{size}}=2(950)=1900\ \mathrm{gpm}；依常用選型法，採用上述設計點的閥門壓降：

Cv=QsizeGfΔPv=19000.673116.07≈388.9C_v=Q_{\mathrm{size}}\sqrt{\frac{G_f}{\Delta P_v}} =1900\sqrt{\frac{0.6731}{16.07}} \approx 388.9

故選型所需的流量係數約為 389389。

（二）Cv=250C_v=250 且閥門全開時的流量

由設計流量時的管線摩擦壓降求 klk_l：

12.4=klGf(950)212.4=k_lG_f(950)^2
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