109 專技高考高等考試 化學工程技師 程序控制 考古題詳解

109 年・專技高考・高等考試・化學工程技師
試題代碼 程序控制

第 一 題6 分

下圖中的蒸餾塔可被用來分離雙成分混合物，其中 xx、yy 與 zz 代表較易揮發成分的莫耳分率，BB、DD、RR 與 FF 代表莫耳流量。我們希望能在進料流量 FF 有擾動的情況下控制穩定塔頂組成 yy。

假設除了 FF 能被測量以外，所有其他流量皆可被測量且可被操縱（manipulate），另外也假設 yy 可被線上組成分析儀測量。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）繪圖表示此蒸餾塔回饋控制系統。

（二）繪圖表示此蒸餾塔前饋控制系統。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考蒸餾塔的回饋控制與前饋控制。控制目標是讓塔頂易揮發成分莫耳分率 yy 穩定；進料流量 FF 是可量測的擾動，回流量 RR 可作為操縱變數。

  • 回饋控制：量測輸出 yy，將其與設定值比較，再依偏差調整 RR。只有 yy 發生變化後，控制器才會作出修正。
  • 前饋控制：量測擾動 FF，在 yy 尚未偏離設定值前，先調整 RR 抵銷擾動。

解題方法

選擇回流量 RR 作為操縱變數，並以回流量控制器及閥門穩定實際回流量。回流量是蒸餾塔常用的組成控制操縱變數；本題所給條件也允許操縱此流量。

（一）回饋控制系統

塔頂組成分析儀量測 yy，組成控制器將量測值與設定值比較，再調整回流量控制器的設定值。當 FF 改變並使 yy 偏離設定值，控制器便修正 RR。

y 設定值 ──▶ [比較點] ──▶ [組成控制器] ──▶ R 流量設定值
 ▲ │
 │ ▼
 └──── [y 組成分析儀] ◀── [蒸餾塔] ◀── [R 流量控制器、閥]
 ▲
 │
 擾動：F

此圖中，FF 是作用於蒸餾塔的擾動；回饋控制器依 yy 的實際偏差修正 RR。

（二）前饋控制系統

在進料管線量測 FF，將量測訊號送入前饋控制器，直接修正回流量控制器的設定值。前饋控制器須依擾動對 yy 的影響，以及 RR 對 yy 的影響，計算所需的回流量補償。

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第 二 題9 分

考慮下圖中具出口管線手動閥的緩衝槽。若出口流量與液位高度平方根成正比，則相應動態模式可寫為：

Adhdt=qi−Cvh1/2A\frac{dh}{dt}=q_i-C_vh^{1/2}

假設系統在操作開始時處於穩態，即：

qˉi=qˉ=Cvhˉ1/2\bar{q}_i=\bar{q}=C_v\bar{h}^{1/2}

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）推導轉換函數 H′(s)Qi′(s)\frac{H'(s)}{Q_i'(s)}，將此轉換函數改寫成具有穩態增益（steady-state gain）及時間常數（time constant）的標準型式。

（二）推導轉換函數 Q′(s)Qi′(s)\frac{Q'(s)}{Q_i'(s)}，將此轉換函數改寫成具有穩態增益及時間常數的標準型式。

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核心觀念

本題考查非線性槽液位動態的操作點線性化，以及將轉換函數寫成標準型式：

G(s)=Kτs+1G(s)=\frac{K}{\tau s+1}

其中 KK 為穩態增益，τ\tau 為時間常數。手動閥固定，因此出口流量關係中的 CvC_v 視為常數。

解題方法

系統在穩態操作點 hˉ\bar h 附近，定義偏差變數：

h=hˉ+h′,qi=qˉi+qi′,q=qˉ+q′h=\bar h+h',\qquad q_i=\bar q_i+q_i',\qquad q=\bar q+q'

對出口流量關係 q=Cvh1/2q=C_v h^{1/2} 在 hˉ\bar h 附近作一階線性化：

q′≈dqdh∣hˉh′=Cv2hˉh′q'\approx \left.\frac{dq}{dh}\right|_{\bar h}h' =\frac{C_v}{2\sqrt{\bar h}}h'

令

g=Cv2hˉg=\frac{C_v}{2\sqrt{\bar h}}

將動態方程 Adhdt=qi−Cvh1/2A\frac{dh}{dt}=q_i-C_vh^{1/2} 線性化，並利用穩態關係 qˉi=Cvhˉ\bar q_i=C_v\sqrt{\bar h} 消去穩態項，得：

Adh′dt=qi′−gh′A\frac{dh'}{dt}=q_i'-g h'

在偏差初值為零下取拉氏轉換：

(As+g)H′(s)=Qi′(s)(As+g)H'(s)=Q_i'(s)

（一）液位對入口流量的轉換函數

H′(s)Qi′(s)=1As+g=1/g(A/g)s+1\frac{H'(s)}{Q_i'(s)} =\frac{1}{As+g} =\frac{1/g}{(A/g)s+1}

因此標準型式為：

H′(s)Qi′(s)=Khτs+1\boxed{ \frac{H'(s)}{Q_i'(s)} =\frac{K_h}{\tau s+1} }

其中穩態增益與時間常數分別為：

Kh=1g=2hˉCv=2hˉqˉiK_h=\frac{1}{g} =\frac{2\sqrt{\bar h}}{C_v} =\frac{2\bar h}{\bar q_i}
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第 三 題8 分

考慮下圖中兩個液體儲槽，兩個儲槽圓形底部直徑皆為 44 英呎。系統 I 出口閥對流量阻力造成下述關係：

q=8.33hq=8.33h

其中，qq 的單位為 gal/min；hh 的單位為英呎（feet），而在系統 II 中液位 hh 的改變並不會影響出口流量 qq。

假設操作開始時（t=0t=0）每一系統皆處於穩態：

hˉ=6 ft,qˉi=50 gal/min\bar{h}=6\ \text{ft},\qquad \bar{q}_i=50\ \text{gal/min}

且在 t=0t=0 時進口流量突然從 5050 增加到 70 gal/min70\ \text{gal/min}。若已知：

1 US gal=0.1337 ft31\ \text{US gal}=0.1337\ \text{ft}^3

請針對每一系統回答下列問題。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）轉換函數 H′(s)Qi′(s)\frac{H'(s)}{Q_i'(s)}。

（二）動態響應 h(t)h(t)。

（三）在新穩態達到時的液位高度。

（四）若每一儲槽壁高度皆為 8 ft8\ \text{ft}，那一儲槽先發生溢流現象？在什麼時間？

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核心觀念

本題考液槽的物料衡算、偏差變數轉換函數，以及階躍輸入下的一階液位響應。液槽截面積為

A=π(42)2=4π=12.5664 ft2A=\pi\left(\frac{4}{2}\right)^2=4\pi=12.5664\ \text{ft}^2

因流量以 gal/min\text{gal/min} 表示，需乘上 0.1337 ft3/gal0.1337\ \text{ft}^3/\text{gal}，才能與液槽內體積變化率一致。各系統的物料衡算為

Adhdt=0.1337(qi−q)A\frac{dh}{dt}=0.1337(q_i-q)

以偏差變數表示，H′=h−hˉH'=h-\bar h、Qi′=qi−qˉiQ_i'=q_i-\bar q_i。

解題方法與計算

（一）轉換函數 H′(s)Qi′(s)\dfrac{H'(s)}{Q_i'(s)}

系統 I：出口流量受液位影響

題目給定 q=8.33hq=8.33h，因此偏差關係為 Q′=8.33H′Q'=8.33H'。物料衡算寫成

AdH′dt=0.1337(Qi′−8.33H′)A\frac{dH'}{dt}=0.1337(Q_i'-8.33H')

取拉氏轉換並整理：

H′(s)Qi′(s)=0.1337As+0.1337(8.33)=1/8.33[A/(0.1337⋅8.33)]s+1\frac{H'(s)}{Q_i'(s)} =\frac{0.1337}{As+0.1337(8.33)} =\frac{1/8.33}{\left[A/(0.1337\cdot8.33)\right]s+1}

時間常數為

τ=12.56640.1337(8.33)=11.28 min\tau=\frac{12.5664}{0.1337(8.33)}=11.28\ \text{min}

所以

H′(s)Qi′(s)=0.1200511.28s+1\boxed{\frac{H'(s)}{Q_i'(s)} =\frac{0.12005}{11.28s+1}}

系統 II：出口流量不受液位影響

出口流量不隨液位變化，故偏差出口流量 Q′=0Q'=0。因此

AdH′dt=0.1337Qi′A\frac{dH'}{dt}=0.1337Q_i'

取拉氏轉換：

H′(s)Qi′(s)=0.1337As=0.01064s\boxed{\frac{H'(s)}{Q_i'(s)} =\frac{0.1337}{As} =\frac{0.01064}{s}}

（二）動態響應 h(t)h(t)

在 t=0t=0 時，入口流量增加 20 gal/min20\ \text{gal/min}，即 Qi′(t)=20u(t)Q_i'(t)=20u(t)。

系統 I

一階系統的穩態液位增量為

Δh∞=208.33=2.40096 ft\Delta h_{\infty}=\frac{20}{8.33}=2.40096\ \text{ft}

因此

hI(t)=6+2.40096(1−e−t/11.28) ft,t≥0\boxed{h_{\mathrm I}(t) =6+2.40096\left(1-e^{-t/11.28}\right)\ \text{ft},\quad t\geq0}

系統 II

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第 四 題9 分

根據下圖中的單位步階響應（unit step response），建立下列模型：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）利用作圖法找出一階時延（first order plus dead time）模型中參數。

（二）利用下列史密斯（Smith）圖關係圖找出二階（second order）模型中參數。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

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核心觀念

本題從單位步階響應圖估計程序的增益與時間參數。若輸入步階幅度為 11，且輸出穩態值約為 11，則程序增益為

Kp=ΔyssΔu=1.K_p=\frac{\Delta y_{\mathrm{ss}}}{\Delta u}=1.

一階時延模型（FOPDT）為

Gp(s)=Kpe−θsτs+1,G_p(s)=\frac{K_p e^{-\theta s}}{\tau s+1},

其中 θ\theta 是時延，τ\tau 是時間常數。二階模型則依題附 Smith 圖，以 t20/t60t_{20}/t_{60} 查得阻尼比 ζ\zeta 與 t60/τt_{60}/\tau。

（一）作圖法估計一階時延模型

在響應曲線的反曲點作切線，讀取切線與輸出起始值、穩態值兩條水平線的交點時間。由圖估讀：

  • 切線與起始值線交於 t0≈2t_0\approx 2 min，因此 θ≈2\theta\approx 2 min。
  • 切線與穩態值線交於 t1≈15t_1\approx 15 min，因此 τ≈t1−t0=13\tau\approx t_1-t_0=13 min。

故 FOPDT 模型約為

Gp(s)≈e−2s13s+1.G_p(s)\approx\frac{e^{-2s}}{13s+1}.

（二）Smith 圖估計二階模型

由步階響應圖讀取輸出到達最終變化量 20%20\% 與 60%60\% 的時間，約為

t20≈4 min,t60≈9 min.t_{20}\approx 4\text{ min},\qquad t_{60}\approx 9\text{ min}.

因此

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第 五 題8 分

一個液位控制系統可以以下述兩種方式組裝：

  1. 如下圖（a）所示，以控制閥調節輸入流量。
  2. 如下圖（b）所示，以控制閥調節輸出流量。

另外，假設液位發送器（transmitter）都是直接作用的（direct acting）。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）若控制閥是空氣作動開閥（air to open），則相應比例氣動控制器的控制動作（control action）為何？

（二）若控制閥是空氣作動關閥（air to close），則相應比例氣動控制器的控制動作為何？

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核心觀念

液位上升時，控制系統必須讓液位回降，因此要看控制閥應如何改變流量：

  • 控制閥在入口管線：液位上升時，應減少進料。
  • 控制閥在出口管線：液位上升時，應增加出料。

液位發送器為直接作用，表示液位上升時，發送器輸出訊號上升。控制器的動作依「液位上升時，控制器輸出訊號上升或下降」判定：

  • 輸出訊號隨液位上升而上升：直接作用。
  • 輸出訊號隨液位上升而下降：反作用。

空氣作動開閥（air to open，AO）是氣壓上升則閥開度增加；空氣作動關閥（air to close，AC）是氣壓上升則閥開度減少。

解題方法

逐一判斷液位上升時，閥門需要開大或關小，再依閥門的氣壓作用方式，反推出控制器輸出氣壓應上升或下降。

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第 六 題12 分

如下圖所示為一回饋控制系統的方塊圖，請決定使閉迴路系統穩定之 KcK_c 值範圍。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

方塊圖包含下列訊號與方塊：

YspY_{sp} 經由第一加總點進入控制器 KcK_c；第一加總點接受由輸出 YY 經過 1s+10\frac{1}{s+10} 的負回饋。

控制器輸出經由第二加總點，再依序通過 0.50.5、4s+3\frac{4}{s+3} 及 −21−s\frac{-2}{1-s}，最後到達輸出端加總點，形成輸出 YY。

擾動 DD 經由 64s+1\frac{6}{4s+1} 後，輸入輸出端加總點。第二加總點另有一條由 4s+3\frac{4}{s+3} 輸出端回饋至加總點負端的回路。

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核心觀念

本題考查方塊圖化簡與閉迴路穩定性判定。先化簡第二加總點形成的內迴路，再以外迴路的特徵方程建立特徵多項式，最後用三階 Routh–Hurwitz 判據找出 KcK_c 範圍。

外迴路為負回饋時，特徵方程為 1+G(s)H(s)=01+G(s)H(s)=0。對三階多項式 s3+a1s2+a2s+a3s^3+a_1s^2+a_2s+a_3，穩定條件為 a1>0a_1>0、a2>0a_2>0、a3>0a_3>0，且 a1a2>a3a_1a_2>a_3。

解題方法

令 uu 為第二加總點輸出，令 xx 為 4s+3\frac{4}{s+3} 方塊的輸出。由圖中第二加總點的負回饋，以及前向路徑 0.5×4s+30.5\times\frac{4}{s+3}，內迴路等效傳遞函數為

X(s)V(s)=2s+31+2s+3=2s+5,\frac{X(s)}{V(s)} = \frac{\dfrac{2}{s+3}}{1+\dfrac{2}{s+3}} = \frac{2}{s+5},

其中 VV 是控制器 KcK_c 的輸出。

接著串接方塊 −21−s=2s−1\frac{-2}{1-s}=\frac{2}{s-1}，從控制器輸出到輸出加總點的等效前向傳遞函數為

G(s)=2s+5⋅2s−1=4(s+5)(s−1).G(s)=\frac{2}{s+5}\cdot\frac{2}{s-1} =\frac{4}{(s+5)(s-1)}.

外迴路回授方塊為 H(s)=1s+10H(s)=\frac{1}{s+10}，且第一加總點為負回饋，因此特徵方程為

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