113 專技高考高等考試 工業工程技師 作業研究 考古題詳解

113 年・專技高考・高等考試・工業工程技師
試題代碼 作業研究

第 一 題25 分

永靖超市共有三個結帳櫃台，店經理依當時顧客數量，決定結帳櫃台開放數量，規則如下：

來店顧客數結帳櫃台開設數量
1 至 2 位1
3 至 4 位2
5 位（含）以上3

顧客抵達結帳櫃台是依據平均每小時 20 位顧客的普瓦松分配（Poisson Distribution），結帳時間則是依據平均每位顧客 6 分鐘的指數分配（Exponential Distribution）。

(一) 若 pnp_n 代表 nn 位顧客在店內的穩態機率（Steady-state Probability），試求完全沒有顧客狀況的機率（i.e., p0p_0）。（15 分）

(二) 試求剛好兩個結帳櫃台被開放的機率。（5 分）

(三) 為衡量永靖超市之營運績效，試求閒置結帳櫃台數量的期望值。（5 分）

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核心觀念

這題是狀態相依服務台的 M/M/sM/M/s 生滅過程。顧客以平均每小時 2020 人抵達，因此到達率為 λ=20\lambda=20；平均服務時間為 66 分鐘，即每位開放櫃台的服務率為 μ=10\mu=10 人／小時。

顧客數為 nn 時，開放櫃台數依題目規則改變。總服務率是開放櫃台數與顧客數兩者較小值乘以 μ\mu：

μn=min⁡(n,cn)μ\mu_n=\min(n,c_n)\mu

其中 cnc_n 是狀態 nn 下開放的櫃台數。穩態機率依生滅過程的平衡關係計算：

pn=pn−1λμnp_n=p_{n-1}\frac{\lambda}{\mu_n}

解題方法：先求各狀態機率

依各狀態的開放櫃台數，可得總服務率：

  • n=1,2n=1,2：開放 1 台，總服務率為 1010 人／小時。
  • n=3,4n=3,4：開放 2 台，總服務率為 2020 人／小時。
  • n≥5n\geq 5：開放 3 台，總服務率為 3030 人／小時。

因此：

p1=p02010=2p0p_1=p_0\frac{20}{10}=2p_0 p2=p12010=4p0p_2=p_1\frac{20}{10}=4p_0 p3=p22020=4p0,p4=p32020=4p0p_3=p_2\frac{20}{20}=4p_0,\qquad p_4=p_3\frac{20}{20}=4p_0

由狀態 4 到狀態 5 時，櫃台數增加為 3 台，因此服務率也增加：

p5=p42030=83p0p_5=p_4\frac{20}{30}=\frac{8}{3}p_0

對 n≥5n\geq 5，相鄰狀態機率比固定為 λ/(3μ)=2/3\lambda/(3\mu)=2/3，故尾端機率為等比級數：

∑n=5∞pn=p51−23=8p0\sum_{n=5}^{\infty}p_n =\frac{p_5}{1-\frac{2}{3}} =8p_0

穩態機率總和為 1：

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第 二 題25 分

花田市政府希望透過發行公債（long-term bond）的方式來替新建市政府大樓工程籌措經費，預計此新建工程計畫需耗時三年，且每年所需經費分別為 1 億、1.5 億與 1.2 億，每年所需經費均須於該年度之始支付給相關廠商。

此外，花田市政府不論在那一個年度銷售之公債，都將於計畫結束一年後開始給付投資者利息，並持續支付 20 年，而各年度銷售之公債其利率分別為第一年 8%、第二年 7.5% 與第三年 7%。

若每年公債出現溢售，花田市政府會將多餘款項以一年期定存（one-year term deposit）的方式賺取利息，其利率分別為第一年 6.5% 及第二年 6%，而最後一年則不投資於一年期定存。

請建構該問題之數學模式，藉以描述花田市政府的最佳投資策略。（25 分）

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核心觀念

本題考的是跨期資金配置與現值最小化的線性規劃。市政府須在各年度年初支付工程款，可透過發行不同年度、不同利率的長期公債籌措資金；若當年籌資超過工程支出，盈餘可存入一年期定存。目標是選擇各年度公債發行量，使承諾支付投資者的利息現值最小。

題目未提供折現率，也未指定公債本金的償還方式。以下依常見建模假設：公債於計畫結束一年後起，按年支付票面利息共 20 年；本金償還方式不納入目標，且以各年度發行量的票面利率計算利息。由於公債發行年度各異，利息支付期間相同，目標函數可直接用各年度年利息總額表示。

解題方法

以「億元」為金額單位，令：

  • xix_i：第 ii 年年初發行公債的面額，i=1,2,3i=1,2,3。
  • sis_i：第 ii 年年初工程支出後，投入一年期定存的金額，i=1,2i=1,2。
  • 第三年不存定存，因此不設 s3s_3。

工程款分別在三年年初支付 11、1.51.5、1.21.2 億元。第一年若公債收入超過當年工程款，餘額存一年、利率 6.5%6.5\%，於第二年年初連本利取回；第二年同理以 6%6\% 存一年，於第三年年初取回。因此各年度資金平衡式為：

x1=1+s1x_1=1+s_1 x2+1.065s1=1.5+s2x_2+1.065s_1=1.5+s_2 x3+1.06s2=1.2x_3+1.06s_2=1.2

三式分別表示：第一年發債收入支付工程款並形成定存；第二年發債收入加上第一年定存本利，支付第二年工程款並形成第二年定存；第三年發債收入加上第二年定存本利，支付最後一年工程款。

各年度公債利率依序為 8%8\%、7.5%7.5\%、7%7\%。每年利息支出分別為 0.08x10.08x_1、0.075x20.075x_2、0.07x30.07x_3 億元，持續 20 年，故利息總額為：

20(0.08x1+0.075x2+0.07x3)20(0.08x_1+0.075x_2+0.07x_3)

因乘以常數 20 不影響最適解，目標亦可簡化為最小化每年利息總額：

min⁡0.08x1+0.075x2+0.07x3\min \quad 0.08x_1+0.075x_2+0.07x_3

完整線性規劃模式為：

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第 三 題25 分

其林國總統大選進入倒數計時階段，民調顯示主要競爭對手民調極為接近。其中一位候選人欲透過電視廣告提升其競爭力，所以打算在全國三個不同區域中總共購買四個時段播放電視廣告。

同時根據民調結果，在三個不同地區中，播放電視廣告的數量所可能吸引到的額外票數如下表所示（票數單位為萬票）：

廣告數量地區 1地區 2地區 3
0000
1653
2798
3101312
4121114

請使用動態規劃（Dynamic Programming）決定這四支電視廣告應如何分派到這三個地區中，以使該候選人贏得最多的選票支持？（25 分）

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核心觀念

這題是有限資源分配問題：將 4 支廣告分配到 3 個地區，各地區的額外票數取決於分配到的廣告數量。用動態規劃逐一加入地區，計算每個廣告總數下的最大票數。

令 vi(x)v_i(x) 表示地區 ii 分配 xx 支廣告可增加的票數，單位為萬票；令 Fi(n)F_i(n) 表示將 nn 支廣告分配給前 ii 個地區所能得到的最大票數。遞迴式為

Fi(n)=max⁡0≤x≤n{Fi−1(n−x)+vi(x)},F_i(n)=\max_{0\le x\le n}\bigl\{F_{i-1}(n-x)+v_i(x)\bigr\},

其中 xx 是分配給第 ii 個地區的廣告數，初始條件為 F0(0)=0F_0(0)=0。

解題方法

先計算只考慮地區 1 的結果，再依序加入地區 2、地區 3。

第一階段只分配給地區 1，因此

F1(n)=v1(n),n=0,1,2,3,4.F_1(n)=v_1(n),\qquad n=0,1,2,3,4.
廣告總數 nn01234
F1(n)F_1(n)（萬票）0671012

第二階段加入地區 2。逐一比較地區 2 的廣告數量：

nn比較結果（依序分給地區 2 的數量 x=0,…,nx=0,\ldots,n）F2(n)F_2(n)（萬票）
0000
1max⁡(6,5)=6\max(6,5)=66
2max⁡(7,6+5,9)=11\max(7,6+5,9)=1111
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第 四 題25 分

奇奇公司為一設備製造廠商，今天接到顧客之訂單欲採購一批新設備，於是公司成立一專案進行該訂單之生產。該專案所需執行之各項作業（Activity）與相關資訊如下表：

作業（Activity）先行作業（Predecessor）預估作業時間（Duration）
1—2
2—1
314
421
53、42
63、47
75、65

(一) 請描繪出此專案之節點作業網路（Activity-on-Node Network）。（5 分）

(二) 請計算該專案中每項作業之最早開始時間（Earliest Start Time, EST）、最晚開始時間（Latest Start Time, LST）、最早完成時間（Earliest Finish Time, EFT）、最晚完成時間（Latest Finish Time, LFT）、總浮時（Total Float Time, TFT）、自由浮時（Free Float Time, FFT），並依此找出此專案網路之要徑（Critical Path）及專案完成時間（Project Makespan）。（20 分）

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核心觀念

本題考驗節點作業網路（Activity-on-Node, AON）與要徑法（Critical Path Method, CPM）。作業的先後關係以箭線表示，作業時間標示在節點上。

  • 向前推算：作業最早開始時間（EST）為所有前置作業最早完成時間的最大值；最早完成時間（EFT）為開始時間加作業時間。 ESTi=max⁡(EFT前置作業),EFTi=ESTi+di\mathrm{EST}_i=\max(\mathrm{EFT}_{\text{前置作業}}),\qquad \mathrm{EFT}_i=\mathrm{EST}_i+d_i 沒有前置作業的作業，EST 設為 00。
  • 向後推算：從專案完成時間往前計算。作業最晚完成時間（LFT）為所有後續作業最晚開始時間的最小值；最晚開始時間（LST）為完成時間減作業時間。 LFTi=min⁡(LST後續作業),LSTi=LFTi−di\mathrm{LFT}_i=\min(\mathrm{LST}_{\text{後續作業}}),\qquad \mathrm{LST}_i=\mathrm{LFT}_i-d_i
  • 總浮時（TFT）：作業延後而不影響專案完工的時間。 TFTi=LSTi−ESTi=LFTi−EFTi\mathrm{TFT}_i=\mathrm{LST}_i-\mathrm{EST}_i=\mathrm{LFT}_i-\mathrm{EFT}_i
  • 自由浮時（FFT）：作業延後而不影響任何緊接後續作業最早開始的時間。 FFTi=min⁡(EST後續作業)−EFTi\mathrm{FFT}_i=\min(\mathrm{EST}_{\text{後續作業}})-\mathrm{EFT}_i

解題方法

先依前置關係畫出 AON 網路，再由起點向終點推算 EST、EFT；接著以專案完工時間為基準反向推算 LST、LFT。總浮時為 00 的作業構成要徑。

（一）節點作業網路

(1, 2) → 3 ─┬→ 5 ─┐
 └→ 6 ─┴→ 7
(2, 1) → 4 ─┴→ 5、6

各節點括號內依序為「作業編號、作業時間」。依題目先後關係，33、44 均須完成後，55、66 才能開始；55、66 均須完成後，77 才能開始。

（二）時間計算、要徑與專案完成時間

向前推算：

作業 11、22 沒有前置作業，因此 EST1=EST2=0\mathrm{EST}_1=\mathrm{EST}_2=0。接著：

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