113 專技高考高等考試 工業工程技師 工程統計與品質管理 考古題詳解

113 年・專技高考・高等考試・工業工程技師
試題代碼 工程統計與品質管理

第 一、 題30 分

一、工程統計估計與檢定：

(一) 隨機抽出 2525 位學生參加英文測驗，其成績平均 6060 分，變異數 1010 分，假設數學測驗分數呈常態分配，試求變異數之 98%98\% 的信賴區間。（16 分）

(二) 某高中體育室，今自該校學生隨機抽取 5050 位學生，經計算其平均身高為 172172 公分，標準差 66 公分。設顯著水準為 1%1\%，試檢定該高中體育室宣稱其學生平均身高高於 170170 公分是否屬實？（14 分）

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核心觀念

母體分配為常態且母體變異數未知時，樣本變異數 S2S^2 滿足

(n−1)S2σ2∼χn−12.\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}.

因此，母體變異數 σ2\sigma^2 的雙尾 100(1−α)%100(1-\alpha)\% 信賴區間為

((n−1)S2χ1−α/2, n−12,(n−1)S2χα/2, n−12),\left( \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\ n-1}}, \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2,\ n-1}} \right),

其中 χp,ν2\chi^2_{p,\nu} 表示自由度 ν\nu 的卡方分配第 pp 分位數。

解題方法

題目給 n=25n=25、樣本變異數 S2=10S^2=10，信賴水準為 98%98\%，故 α=0.02\alpha=0.02，自由度為 n−1=24n-1=24。平均數 6060 分不會用於母體變異數的區間估計。

查卡方分配表：

χ0.99,242≈42.980,χ0.01,242≈10.856.\chi^2_{0.99,24}\approx42.980,\qquad \chi^2_{0.01,24}\approx10.856.

代入公式：

σ2 的 98% 信賴區間=(24(10)42.980,24(10)10.856)≈(5.58, 22.11).\begin{aligned} \sigma^2\text{ 的 }98\%\text{ 信賴區間} &=\left( \frac{24(10)}{42.980}, \frac{24(10)}{10.856} \right)\\ &\approx(5.58,\ 22.11). \end{aligned}

解題技巧

估計變異數時，卡方區間的分母分位數次序容易寫反：區間下限使用較大的卡方分位數，區間上限使用較小的卡方分位數。如此可確保下限小於上限。

（二）單一母體平均數的右尾檢定

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第 二、 題24 分

二、日本科技聯盟歸納出的一套品質管制工具，稱新品管七大手法有別於傳統的品管七大手法中：

(一) 請寫出新品管七大手法名稱。（14 分）

(二) 運用直方圖進行產線資料分析，下圖 1、2、3 分別都是在產線製程穩定下各自分開蒐集三個產線部門數據，各自分開繪製直方圖，圖 1 為產線製程穩定下圖示。請說明圖 2 及圖 3 當初蒐集數據時發生何種狀況導致出現這樣的圖示，而不是出現如圖 1 的樣態。（10 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查新品管七大手法的名稱，以及直方圖的分布形狀與資料蒐集、分層方式之間的關係。直方圖呈現資料的次數分布；若資料來自不同來源或不同條件，卻合併繪圖，形狀可能偏離單一穩定製程常見的單峰分布。

解題方法

（一）新品管七大手法

日本科技聯盟所歸納的新品管七大手法為：

  1. 親和圖法（KJ 法）
  2. 關聯圖法
  3. 系統圖法
  4. 矩陣圖法
  5. 矩陣資料解析法
  6. 過程決策計畫圖法（PDPC）
  7. 箭線圖法

（二）圖 2、圖 3 的資料蒐集狀況

圖 2：偏態型分布，右側長尾。 資料集中在較小的數值一側，往較大的數值方向逐漸拖尾，屬於正偏態。

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第 三、 題16 分

三、某油封內徑變化蒐集 2525 組樣本，每組樣本大小為 55，經統計資料得：

xˉˉ=49.52 mm,Rˉ=0.46 mm。\bar{\bar{x}}=49.52\ \mathrm{mm},\qquad \bar{R}=0.46\ \mathrm{mm}。

請計算出平均數管制圖的管制上限及下限，全距管制圖的管制上限及下限。（16 分）

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核心觀念

本題考查以樣本平均數與樣本全距建立 Xˉ\bar{X} 管制圖及 RR 管制圖。每組樣本大小為 n=5n=5，故使用 n=5n=5 對應的管制圖係數：

A2=0.577,D3=0,D4=2.114。A_2=0.577,\qquad D_3=0,\qquad D_4=2.114。

管制界限公式為：

Xˉ 管制圖：UCLXˉ=xˉˉ+A2Rˉ,LCLXˉ=xˉˉ−A2Rˉ\bar{X}\text{ 管制圖：}\quad UCL_{\bar{X}}=\bar{\bar{x}}+A_2\bar{R},\qquad LCL_{\bar{X}}=\bar{\bar{x}}-A_2\bar{R} R 管制圖：UCLR=D4Rˉ,LCLR=D3RˉR\text{ 管制圖：}\quad UCL_R=D_4\bar{R},\qquad LCL_R=D_3\bar{R}

其中 xˉˉ\bar{\bar{x}} 為各組樣本平均數的總平均，Rˉ\bar{R} 為各組樣本全距的平均。

解題方法與計算

先依樣本大小 n=5n=5 查得 A2=0.577A_2=0.577、D3=0D_3=0、D4=2.114D_4=2.114，再代入題目提供的 xˉˉ=49.52 mm\bar{\bar{x}}=49.52\ \mathrm{mm} 與 Rˉ=0.46 mm\bar{R}=0.46\ \mathrm{mm}。

一、平均數管制圖

UCLXˉ=49.52+0.577(0.46)=49.52+0.26542=49.78542 mm≈49.79 mm\begin{aligned} UCL_{\bar{X}} &=49.52+0.577(0.46)\\ &=49.52+0.26542\\ &=49.78542\ \mathrm{mm}\approx49.79\ \mathrm{mm} \end{aligned}
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第 四、 題18 分

四、技高家具桌面厚度規格為 2±0.1 cm2\pm0.1\ \mathrm{cm}，而製程中實際厚度平均數 2.05 cm2.05\ \mathrm{cm}、標準差 0.080.08，請計算 CaC_a、CpC_p、CpkC_{pk} 值各為多少。（18 分）

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核心觀念

本題考驗程能力指標的計算與解讀。規格為 2±0.1 cm2\pm0.1\ \mathrm{cm}，因此：

  • 規格中心 m=2.00 cmm=2.00\ \mathrm{cm}
  • 上限規格 USL=2.10 cmUSL=2.10\ \mathrm{cm}
  • 下限規格 LSL=1.90 cmLSL=1.90\ \mathrm{cm}
  • 製程平均數 μ=2.05 cm\mu=2.05\ \mathrm{cm}
  • 製程標準差 σ=0.08 cm\sigma=0.08\ \mathrm{cm}

各指標定義如下：

Ca=∣μ−m∣(USL−LSL)/2,Cp=USL−LSL6σ,Cpk=min⁡{USL−μ3σ,μ−LSL3σ}.C_a=\frac{\left|\mu-m\right|}{(USL-LSL)/2}, \qquad C_p=\frac{USL-LSL}{6\sigma}, \qquad C_{pk}=\min\left\{\frac{USL-\mu}{3\sigma},\frac{\mu-LSL}{3\sigma}\right\}.

CaC_a 衡量製程平均數偏離規格中心的程度；CpC_p 衡量製程變異相對於規格寬度的大小；CpkC_{pk} 則同時考慮製程變異及平均數偏移。

解題方法

一、計算 CaC_a

規格半寬為：

USL−LSL2=2.10−1.902=0.10 cm.\frac{USL-LSL}{2}=\frac{2.10-1.90}{2}=0.10\ \mathrm{cm}.

平均數距離規格中心 ∣2.05−2.00∣=0.05 cm|2.05-2.00|=0.05\ \mathrm{cm}，故：

Ca=∣2.05−2.00∣0.10=0.050.10=0.50.C_a=\frac{|2.05-2.00|}{0.10} =\frac{0.05}{0.10} =\boxed{0.50}.

二、計算 CpC_p

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第 五、 題8 分

五、雙次抽樣計畫中，n1n_1＝第一次抽樣的樣本大小、c1c_1＝第一次抽樣的允收數、r1r_1＝第一次抽樣的拒收數、n2n_2＝第二次抽樣的樣本大小、c2c_2＝第二次抽樣的允收數、r2r_2＝第二次抽樣的拒收數。請解釋當 n1=50n_1=50、c1=1c_1=1、r1=4r_1=4 與 n2=100n_2=100、c2=3c_2=3、r2=4r_2=4 時之抽樣計畫操作判定允收或拒收之過程，假設第一次檢驗不良品數為 d1d_1、第二次檢驗不良品數為 d2d_2。（8 分）

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核心觀念

雙次抽樣計畫先檢查第一批樣本，依第一次的不良品數 d1d_1 決定立即允收、立即拒收，或再抽第二批。若需第二次抽樣，則以兩次樣本合計的不良品數 d1+d2d_1+d_2，與第二次的允收數 c2c_2、拒收數 r2r_2 比較，作最後判定。

其中，允收數是判定允收的上限；拒收數是判定拒收的門檻。介於第一次允收與拒收界線之間時，進入第二次抽樣。

解題方法

本題參數為 n1=50, c1=1, r1=4n_1=50,\ c_1=1,\ r_1=4，以及 n2=100, c2=3, r2=4n_2=100,\ c_2=3,\ r_2=4。依序判斷如下：

  1. 第一次抽取 5050 件，檢驗得到不良品數 d1d_1。
  • 若 d1≤c1=1d_1\leq c_1=1，允收該批。
  • 若 d1≥r1=4d_1\geq r_1=4，拒收該批。
  • 若 c1<d1<r1c_1<d_1<r_1，即 d1=2d_1=2 或 33，第一次結果未達允收或拒收界線，須再抽第二批。
  1. 若進入第二次抽樣，再抽 100100 件，檢驗得到不良品數 d2d_2。將兩次樣本的不良品數合計為 d1+d2d_1+d_2：
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第 六、 題4 分

六、影響量測系統精確度為那兩個元素。（4 分）

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核心觀念

量測系統的「精確度」著重量測結果的一致性，主要由兩個變異來源構成：

  1. 再現性（Repeatability）：同一位作業者使用同一量具，對同一工件在相同條件下重複量測，結果之間的變異。
  2. 再生性（Reproducibility）：不同作業者使用同一量具，對同一工件量測，結果之間的變異。

在量測系統分析中，兩者合稱 Gage R&R，用來評估量測系統的精確度變異。

解題方法

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