111 專技高考高等考試 工業工程技師 工程統計與品質管理 考古題詳解

核心觀念

本題旨在評量統計學中最核心之極限定理及其在實際抽樣模擬中的圖形呈現：

1. 中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）： 設隨機變數序列 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 獨立且同分布（i.i.d.），其母體期望值為 $E[X_i] = \mu$、變異數為 $Var(X_i) = \sigma^2$（滿足 $0 < \sigma^2 < \infty$）。當樣本數 $n$ 趨近於無窮大時，樣本總和 $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ 或樣本平均數 $\bar{X}_n = \frac{1}{n}S_n$ 的標準化隨機變數，其極限分配將收斂至標準常態分配： $Z_n = \frac{S_n - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} = \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1)$ 其關鍵在於：不論母體母數原本屬於何種機率分配（離散、連續、偏態或均勻），只要具有有限的期望值與變異數，其樣本和（或平均數）之分配皆會隨 $n$ 增加而漸近常態分配。

2. 單顆公正六面骰子之母體分配特徵： 設隨機變數 $X$ 代表擲一顆公正六面骰子之點數，其可能值為 $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$，各點數機率皆為 $P(X = x) = \frac{1}{6}$（離散均勻分配）：

• 母體平均數： $\mu = E[X] = \sum_{x=1}^{6} x \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5$
• 母體變異數： $\sigma^2 = Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} - (3.5)^2 = \frac{91}{6} - 12.25 = \frac{35}{12} \approx 2.917$
• 母體標準差： $\sigma = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx 1.708$

3. 大數法則與直方圖之關係： 每回進行 $10{,}000$ 次重複試驗，由大數法則（Law of Large Numbers），高達 $10{,}000$ 次的試驗頻率確保直方圖之形狀能高度精準逼近理論機率分配，排除小樣本抽樣波動的干擾。

解題方法

一、中央極限定理之定義說明

1. 定義陳述： 設自任意母體抽出容量為 $n$ 之獨立且同分布（i.i.d.）樣本 $X_1, X_2, \dots, X_n$，該母體具有有限平均數 $\mu$ 與有限變異數 $\sigma^2$。當 $n \to \infty$ 時，樣本和 $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ 的抽樣分配漸近服從常態分配： $S_n \xrightarrow{approx} N\left(n\mu, \; n\sigma^2\right)$ 等價地，樣本平均數 $\bar{X}_n$ 之抽樣分配漸近服從常態分配： $\bar{X}_n \xrightarrow{approx} N\left(\mu, \; \frac{\sigma^2}{n}\right)$
2. 成立要件與性質：

• 樣本必須具備獨立性與相同分配特性（i.i.d.）。
• 母體變異數必須有限（$0 < \sigma^2 < \infty$）。
• 實務經驗法則中，當樣本數 $n \ge 30$ 時，常態逼近之精確度通常已被視為相當良好；若母體本身即為對稱分配，收斂至常態所需之 $n$ 甚至遠小於 30。

二、擲骰子實驗中直方圖之演變分析

每回試驗固定重複 $10{,}000$ 次，令 $n$ 代表同時投擲的骰子個數，點數總和為 $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$。隨著 $n$ 由 1 逐步遞增，點數總和的直方圖呈現以下階段性與特徵性變化：

1. 依骰子個數 $n$ 之漸進變化過程

• $n = 1$（單顆骰子）：
• 總和 $S_1 \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$。
• 每個點數出現機率均為 $1/6$。
• 直方圖外觀：呈現離散均勻分配（Discrete Uniform Distribution），為 6 個柱高相近（各約 $10{,}000 \times \frac{1}{6} \approx 1{,}667$ 次）的平坦長方形柱。
• $n = 2$（兩顆骰子）：
• 總和 $S_2 \in \{2, 3, \dots, 12\}$，共 11 個可能取值。
• 點數總和 7 的組合最多（共 6 種，機率 $6/36$），向兩端（2 與 12）呈線性對稱遞減。

核心觀念

本題考樣本平均數的抽樣分配。若 36 部機器的壽命可視為獨立抽樣，則樣本平均壽命 $\bar X$ 的平均數為母體平均數 $\mu$，標準誤為 $\sigma/\sqrt n$：

依中央極限定理，樣本數為 36 時，可用常態分配近似樣本平均壽命的分配。

解題方法

已知 $\mu=2600$ 小時、$\sigma=100$ 小時、$n=36$，因此：

（一）平均壽命在 2550 小時保證期限內的機率

將 2550 小時標準化：

所以：

核心觀念

本題考查製程能力分析。規格下限、上限及目標值分別為：

常用指標定義如下：

• $C_a$：製程平均值偏離目標值的程度，反映製程是否居中。
• $C_p$：製程變異相對於規格寬度的程度，假設製程平均值位於規格中心。
• $C_{pk}$：同時考慮製程變異與平均值偏移，取距離較近的規格界限計算。

本題以 60 筆資料的樣本標準差 $s$ 作為製程標準差估計。

解題方法

先由全部樣本計算平均值與標準差，再代入能力指標公式。將資料以 300 g 為基準，計算得到：

因此平均值為：

樣本變異數為：

故樣本標準差為：

（一）計算 $C_a$、$C_p$、$C_{pk}$

1. 製程準確度指標 $C_a$

以半規格寬度 10 g 作為分母：

製程平均值比目標值高 $0.2333$ g；若保留偏移方向，可表示為 $+2.33\%$。

2. 製程能力指標 $C_p$

3. 製程能力指標 $C_{pk}$

核心觀念

本題考查平均數管制圖（$\bar X$ 管制圖）及全距管制圖（$R$ 管制圖）的計算與判讀。每組有 $n=5$ 個觀測值，共 $k=12$ 組。平均數管制圖的中心線與管制界限為：

因每組樣本數為 $5$，查表得 $A_2=0.577$。判斷製程穩定時，先檢查 $R$ 管制圖，再檢查 $\bar X$ 管制圖。

解題方法與計算

先計算 12 組平均數的總平均：

再計算平均全距：

代入 $A_2=0.577$：

取至小數點後四位：

平均數管制圖與穩定性判斷

各組平均數及管制界限如下。第 3 組平均數 $0.1660$ 低於下管制界限 $0.1778$。