109 專技高考高等考試 工業工程技師 工程統計與品質管理 考古題詳解

核心觀念

本題考查集中量數中的平均數與中位數，以及資料分布形狀對兩者的影響。

• 平均數：所有觀測值總和除以觀測值個數，容易受極端值影響。
• 中位數：將資料由小到大排列後，位於中央位置的數值；若觀測值個數為偶數，取中央兩數的平均。中位數較不受極端值影響。

解題方法

共有 $n=10$ 筆資料。

（一）平均數

先將各觀測值加總：

因此平均數為：

（二）中位數

將資料由小到大排列：

因為有偶數筆資料，中位數是第 $5$ 筆與第 $6$ 筆資料的平均：

（三）平均數與中位數有差異的原因

核心觀念

本題考查母體比例 $p$ 的信賴區間，以及在指定信賴水準與區間長度下的樣本數規劃。

樣本中有儲蓄的家庭比例為

在大樣本下，樣本比例 $\hat p$ 近似服從常態分配，因此 $p$ 的 95% 信賴區間採用

其中 95% 信賴水準對應 $\alpha=0.05$，故 $z_{\alpha/2}=z_{0.025}=1.96$。

(一) 95% 信賴區間

先計算標準誤：

誤差界限為

因此信賴區間為

換算為百分比，約為 78.81% 至 84.19%。

(二) 信賴區間的意義

依據這 800 個家庭的樣本資料，估計全體顧客中有儲蓄家庭的母體比例 $p$，其 95% 信賴區間約為 78.81% 至 84.19%。

「95% 信賴」指的是：若以相同方法反覆抽取樣本並建立信賴區間，長期而言約有 95% 的區間會涵蓋真正的母體比例 $p$。這不是指母體比例有 95% 的機率落在本次已算出的區間內。

(三) 區間長度不超過 0.05 所需樣本數

核心觀念

本題考查單因子變異數分析（one-way ANOVA）。因子是「渡假村」，共有 4 個水準；每個渡假村隨機抽取 5 天住房數，共有 $N=20$ 個觀測值。題目提供的自由度也符合組間自由度 $k-1=3$、組內自由度 $N-k=16$。

由於僅依渡假村分組，沒有其他區集或控制因子，因此採用完全隨機設計。檢定使用的統計量為：

解題方法

平方和符合加總關係：

所以誤差平方和為：

4 個渡假村的自由度為 $4-1=3$。再以平方和除以自由度計算均方：

因此：

假設檢定

設虛無假設與對立假設為：

核心觀念

題目給定平均不良率為 $5\%$，抽樣時可用二項分配描述不良品數。令 $X$ 為抽出的 $5$ 件產品中的不良品數，則

其中 $n$ 是樣本數，$p$ 是單件產品為不良品的機率。允收機率即為抽樣結果符合允收條件的機率。

（一）抽樣 $5$ 件均無不良品

允收條件為 $X=0$，因此

故接受該批產品的機率約為 $0.7738$，即 $77.38\%$。

（二）兩件以上不良品即退貨

兩件以上不良品退貨，表示 $X\ge 2$ 時拒收；因此允收條件是 $X=0$ 或 $X=1$。用補事件計算：

核心觀念

$\bar{X}-R$ 管制圖用來監控製程的平均數與變異程度：$\bar{X}$ 圖監控各組平均數，$R$ 圖監控各組全距。樣本大小 $n=5$ 時，依題目提供的係數計算：

解題方法與計算

先逐組計算平均數與全距，並以每組最大值減最小值求全距：

因此：

代入 $A_2=0.577,\ D_4=2.115,\ D_3=0$：

（一）管制圖判讀