109 專技高考高等考試 工業工程技師 工程經濟 考古題詳解

核心觀念

本題考查利率分段變動時的複利終值計算。每筆存款都要依照它存入後經過的各年度利率逐年複利；不同年度適用不同利率，不能將全期間直接套用單一利率。

設開戶時存入的 $100$ 為期初存款，之後每年年底存入 $50$。前 3 年每年利率為 $4\%$，第 4 年起每年利率為 $3\%$，求第 7 年年底的帳戶總額。

解題方法

以第 7 年年底為計算時點，逐筆將存款累積至該時點：

• 開戶時的 $100$，先經過 3 年的 $4\%$，再經過 4 年的 $3\%$。
• 第 1 年年底存入的 $50$，經過第 2、3 年的 $4\%$，再經過 4 年的 $3\%$。
• 第 2 年年底存入的 $50$，經過第 3 年的 $4\%$，再經過 4 年的 $3\%$。
• 第 3 年年底存入的 $50$，從第 4 年至第 7 年經過 4 年的 $3\%$。
• 第 4 至第 7 年年底存入的各筆 $50$，分別按剩餘的年數以 $3\%$ 複利累積。

因此，第 7 年年底的總額為：

核心觀念

本題考有限預算下的投資方案選擇，屬於資本預算問題。各方案的淨現值（NPV）代表方案對公司價值的增加；在預算限制下，應選擇符合方案關係且總投資成本不超過預算、合計 NPV 最大的組合。

由於方案有互斥與相依條件，不能只依各方案的 NPV 或 NPV／成本比排序，必須逐一比較可行組合。

解題方法

令 $x_A,x_B,x_C,x_D\in\{0,1\}$ 表示是否選擇各方案。目標是最大化總 NPV：

並符合預算限制：

方案關係為：

表示 B、C 互斥；而 D 相依於 A，故：

可依 D 是否選取分兩類比較：

核心觀念

本題考債券的持有期間報酬與終值估價。合理售價是使投資人在持有期間獲得期望報酬率的售價；換言之，購入成本必須等於持有期間各期利息與期末售價按期望報酬率折現後的現值。

每季利息為面額乘票面利率再除以 4；期望報酬率也須換算成每季利率，並與每季現金流的期間一致。本題以年有效報酬率 $7\%$ 換算為季有效利率。

解題方法

面額為 $10{,}000$ 元，年票面利率為 $6\%$，每季利息為：

持有 4 年共 $4\times4=16$ 季。若年期望報酬率為有效年利率 $7\%$，每季有效利率 $i_q$ 滿足：

因此：

設 4 年後合理售價為 $S$。購入價格 $9{,}000$ 元等於 16 季利息與期末售價的現值：

解出期末售價：

核心觀念

本題考查名目年利率換算、現值、年金終值與資金需求時間軸的對齊。

銀行利率為每季複利 $8\%$，視為名目年利率 $8\%$、每年複利 4 次。有效年利率為：

也就是每年約 $8.2432\%$。由於存款與創業資金需求均按年列示，計算時使用有效年利率。

解題方法

以「現在」為第 0 年。每年定額存款共 5 次，分別在第 0、1、2、3、4 年存入；第 5 年創業時提領第一筆資金。創業資金需求如下：

自第 5 年起，每年減少前一年金額的 $10\%$，共提領 3 年。

先把第 5、6、7 年的資金需求折算到第 5 年，求出創業時所需的總資金：

代入 $i=0.08243216$：