114 專技高考高等考試 工業工程技師 工程經濟 考古題詳解

核心觀念

本題考現金流量的現值等值。將各年現金流依年利率 $i=10\%$ 折算到 $t=0$，流入取正、流出取負；$P_0$ 等於所有未來現金流的現值總和。

解題方法

各年折現至 $t=0$ 的公式為：

依圖中現金流，$t=1,2,3,5,6,7,9,10$ 各流入 $100$，$t=4,8$ 各流出 $100$，因此：

核心觀念

本題考查等值年值（annual worth, AW）、投資平衡圖、內部報酬率（IRR）、互斥方案的增額 IRR 判斷，以及外部報酬率（ERR）。

• AW：先把現金流換算成同一基準的等值年值。本題兩案年限同為 5 年，且最低投資報酬率為 $12\%$。
• 投資平衡圖：以案 1 的 IRR 作為餘額利率，逐年計算尚未回收的投資餘額。
• 互斥方案的 IRR 判斷：不能只比較兩案各自的 IRR；應先以增額現金流（案 2 減案 1）求 $IRR_{\Delta}$，再與 MARR 比較。
• ERR：將各期正現金流按指定再投資率累積至期末，再計算等值年報酬率。

（一）案 1 的等值年值 AW

案 1 第 1 至 5 年各有 $750$ 的基本收入，第 5 年另有 $2{,}000$，故：

因為

所以

案 1 的年值為正，表示以 $12\%$ 為最低報酬要求時，案 1 的經濟價值高於不投資。

（二）案 1 的投資平衡圖

先求案 1 的 IRR。令淨現值為零：

解得

以此利率計算期末投資餘額，遞推式為：

其中 $CF_t$ 是第 $t$ 年收到的現金流。各年餘額如下：

投資平衡圖可表示為：

投資餘額
2,500 ┤●
 │ ╲
2,442 ┤ ●
 │ ╲
2,368 ┤ ●
 │ ╲
2,274 ┤ ●
 │ ╲
2,154 ┤ ●
 │ ╲
 0 ┼─────────────────●
 0 1 2 3 4 5 年末

每年先將前一年餘額按 $27.687\%$ 計息，再扣除當年收入；第 5 年收入抵銷全部餘額，終值為零。

（三）以增額現金流求 $IRR_{\Delta}$

兩案互斥，增額現金流以「案 2 減案 1」計算：

核心觀念

本題考查等值年值法（Annual Worth, AW）下的傳統利益／成本比率，以及互斥方案的增額利益／成本分析。

傳統 $B/C$ 比率為：

其中 $AW(I)$ 是期初投資的年值，$AW(O\&M)$ 是每年維運成本。若有殘值，應納入成本年值的計算；本題未提供殘值，依無殘值計算。

互斥方案不能只比較各方案各自的 $B/C$ 比率，應按成本由低至高進行增額 $B/C$ 分析。增額比率大於 $1$，表示增加的成本可帶來足夠的新增利益；小於 $1$，則不值得增加投資。

解題方法與計算

三種消防車的使用年限皆為 6 年，利率為 $10\%$。依題目因子表：

因此，各車輛的期初投資年值為「期初投資 $\times 0.22961$」，再加上每年維運成本。

（一）傳統 $B/C$ 公式

若以現值計算，則為：

使用年值或現值，前提是分子、分母都換算到相同的等值基準。

（二）消防車 A 的傳統 $B/C$

消防車 A 的年成本為：

每年利益為 $20{,}000$，所以：

消防車 A 的傳統 $B/C$ 約為 1.189。

（三）互斥方案的增額 $B/C$ 分析

先列出各方案年值，供互斥比較使用：