111 專技高考高等考試 工業工程技師 工程經濟 考古題詳解

核心觀念

本題測驗工程經濟中**「現金流量週期與計息週期不一致」**之等額系列終值計算，包含三大核心觀念：

1. 計息期利率（Period Interest Rate）：名義年利率（Nominal Interest Rate, $r$）與每年計息次數（$m$）之關係： $i = \frac{r}{m}$
2. 付款期有效利率（Effective Interest Rate per Payment Period）：當付款間隔（半年）大於計息間隔（季）時，必須將計息期利率轉換為與付款週期一致之有效利率 $i_e$： $i_e = (1 + i)^k - 1$ 其中 $k$ 為每個付款週期包含的計息期數。
3. 等額均付終值公式（Uniform Series Compound Amount Factor）： $F = A(F/A, i_e, n) = A \left[ \frac{(1 + i_e)^n - 1}{i_e} \right]$

解題方法

步驟一：求每季實質利率 $i_q$

題目給定年名義利率 $r = 8\%$，每季複利一次（一年計息 $m = 4$ 次）： $i_q = \frac{r}{m} = \frac{8\%}{4} = 2\% = 0.02$

步驟二：換算為每期（每半年）有效利率 $i_s$

存款頻率為每 6 個月（半年）一次，每個存款週期包含 2 個季度（$k = 2$）： $i_s = (1 + i_q)^2 - 1 = (1 + 0.02)^2 - 1 = 1.0404 - 1 = 0.0404 = 4.04\%$

步驟三：確定期數與現金流型態

• 現在不存錢（$t=0$ 無現金流），從今起每 6 個月存入一次，共存 5 年。
• 總存款期數 $n = 5 \times 2 = 10$ 期。
• 此為標準普通年金（Ordinary Annuity），最後一次存款發生在第 10 期期末（第 5 年底）。求「最後一次存款後」之本利和，即求第 10 期期末之終值 $F$。

核心觀念

本題評估三個互斥投資方案（Mutually Exclusive Alternatives），研究期限相同（$N = 15$ 年），核心觀念涵蓋：

1. 現值法（Present Worth Method, $PW$）：將方案整個生命週期內的所有現金流量，按最低可接受報酬率（$MARR$）折算至第 0 期之現值總和。互斥方案之評估準則為：選取 $PW \ge 0$ 且現值最大者。
2. 現值增量法（Incremental Present Worth Method, $\Delta PW$）：互斥方案追求的是「資金效益的最大化」，若追加額外投資所帶來的增額現值大於零（$\Delta PW > 0$），代表額外投資有利可圖，應由資金規模較大之方案取代較小者。
3. 殘值等於原投資額之特性：當資產殘值 $SV$ 等於原投資額 $I$ 時，資本回收的本金部分在期末全額收回，每年的資金成本僅等於本金利息 $i \times I$。現值計算式可化簡為： $PW = (A - i \cdot I) \times (P/A, i, N)$

解題方法

一、折現因子計算

依題意，$MARR = i = 10\%$，研究年限 $N = 15$ 年：

• 一次給付現值因子： $(P/F, 10\%, 15) = (1 + 0.1)^{-15} \approx 0.23939$
• 等額年金現值因子： $(P/A, 10\%, 15) = \frac{(1 + 0.1)^{15} - 1}{0.1 \times (1 + 0.1)^{15}} \approx 7.60608 \quad (\text{查表四位小數取 } 7.6061)$

二、方法一：現值法（$PW$ 法）評估

各方案之現值一般計算式為： $PW = -I + A \times (P/A, 10\%, 15) + SV \times (P/F, 10\%, 15)$

因題目假設殘值 $SV = I$，代入化簡公式 $PW = (A - 0.10 \times I) \times (P/A, 10\%, 15)$：

1. 方案 1（修建現有停車場）：

• 資金投資 $I_1 = 200{,}000$ 元，淨年收入 $A_1 = 20{,}000$ 元，殘值 $SV_1 = 200{,}000$ 元。 $PW_1 = (20{,}000 - 0.10 \times 200{,}000) \times 7.6061 = 0 \text{ 元}$ （以標準展開式計算：$PW_1 = -200{,}000 + 20{,}000 \times 7.6061 + 200{,}000 \times 0.2394 = 2 \approx 0$ 元）

2. 方案 2（改建成一層學生宿舍）：

• 資金投資 $I_2 = 4{,}000{,}000$ 元，淨年收入 $A_2 = 600{,}000$ 元，殘值 $SV_2 = 4{,}000{,}000$ 元。 $PW_2 = (600{,}000 - 0.10 \times 4{,}000{,}000) \times 7.6061 = 200{,}000 \times 7.6061 = 1{,}521{,}220 \text{ 元}$

3. 方案 3（改建成二層學生宿舍）：

• 資金投資 $I_3 = 5{,}000{,}000$ 元，淨年收入 $A_3 = 800{,}000$ 元，殘值 $SV_3 = 5{,}000{,}000$ 元。 $PW_3 = (800{,}000 - 0.10 \times 5{,}000{,}000) \times 7.6061 = 300{,}000 \times 7.6061 = 2{,}281{,}830 \text{ 元}$

• 現值法決策： $PW_3 (2{,}281{,}830) > PW_2 (1{,}521{,}220) > PW_1 (0) \ge 0$ 三方案之現值皆大於或等於 0，皆屬經濟可行；其中以方案 3 之淨現值最大，故選擇方案 3。

三、方法二：現值增量法（$\Delta PW$ 法）評估

增量分析步驟為將可行方案依「初期投資額」由小到大排序，進行兩兩逐級比對： $\text{基準（Do-Nothing 或方案 1）} \to \text{方案 1} \to \text{方案 2} \to \text{方案 3}$

1. 基本可行性檢驗（方案 1 vs. 不做）： $\Delta PW_{1-0} = PW_1 - 0 = 0 \ge 0$ 方案 1 達最低投資報酬門檻，可作為基礎防禦方案（Defender）。

2. 第一階段增量分析：方案 2（挑戰者） vs. 方案 1（防禦者）：

• 增額投資：$\Delta I_{2-1} = 4{,}000{,}000 - 200{,}000 = 3{,}800{,}000$ 元
• 增額年收入：$\Delta A_{2-1} = 600{,}000 - 20{,}000 = 580{,}000$ 元

核心觀念

本題評量工程經濟中「內部投資報酬率（Internal Rate of Return, IRR）」與「等差漸變級數（Arithmetic Gradient Series）」之資金等值運算。涉及之關鍵定義與公式如下：

1. 內部投資報酬率（IRR）定義： 使投資方案之淨現值（$NPV$）或淨終值（$NFV$）等於零之折現率 $i^*$。即在 $i = 15\%$ 時，現金流入之等值總額必須等於現金流出之等值總額： $PW(\text{現金流入}) = PW(\text{現金流出}) \iff FW(\text{現金流入}) = FW(\text{現金流出})$
2. 等差漸變級數拆解： 現金流量從第 1 年之基準額 $A_1$ 開始，其後每年等額遞增 $G$，可拆解為「基準等額年金（Uniform Series, $A_1$）」與「等差漸變額（Gradient, $G$）」。
3. 複利利息因子公式（期數 $n = 10$，利率 $i = 15\%$）：

• 一次支付終值因子：$(F/P, i, n) = (1+i)^n$
• 等額年金終值因子：$(F/A, i, n) = \dfrac{(1+i)^n - 1}{i}$
• 等差漸變轉等額年金因子：$(A/G, i, n) = \dfrac{1}{i} - \dfrac{n}{(1+i)^n - 1}$
• 等差漸變終值因子：$(F/G, i, n) = \dfrac{(F/A, i, n) - n}{i}$

解題方法

因待求變數為第 10 年期末的出售價格（位於終值時點），直接採用**終值法（Future Worth, $FW$）**切入最為簡捷，可避免多次折現與反推產生的累計進位誤差。

步驟一：整理各項現金流量

• 期初購地支出（$t = 0$）：$P = 2{,}000{,}000$ 元（現金流出）
• 年度地價稅支出（$t = 1 \sim 10$）：
• 第 1 年底支出：$A_1 = 40{,}000$ 元
• 年遞增額：$G = 4{,}000$ 元
• 年數：$n = 10$ 年
• 土地出售價格（$t = 10$）：設為 $S$ 元（現金流入）
• 目標內部投資報酬率：$i = 15\%$

步驟二：建立收支平衡方程式

依 IRR 定義，第 10 年底的總收益終值必須等於總成本終值： $S = FW(\text{購地成本}) + FW(\text{地價稅支出})$

步驟三：計算各項利息因子（取至小數點後 6 位）

• $(F/P, 15\%, 10) = (1 + 0.15)^{10} = 4.045558$
• $(F/A, 15\%, 10) = \dfrac{4.045558 - 1}{0.15} = 20.303718$
• $(F/G, 15\%, 10) = \dfrac{20.303718 - 10}{0.15} = 68.691455$

步驟四：數值帶入與計算

1. 購地成本之終值： $FW(\text{購地成本}) = 2{,}000{,}000 \times (F/P, 15\%, 10) = 2{,}000{,}000 \times 4.045558 = 8{,}091{,}115.48 \text{ 元}$

2. 地價稅支出之終值： $FW(\text{地價稅支出}) = A_1 \times (F/A, 15\%, 10) + G \times (F/G, 15\%, 10)$ $FW(\text{地價稅支出}) = 40{,}000 \times 20.303718 + 4{,}000 \times 68.691455$

核心觀念

本題考查工程經濟學中的內部投資報酬率（Internal Rate of Return, $IRR$）計算、現金流量之認定，以及折舊在工程經濟分析中的角色。

1. 內部投資報酬率（$IRR$）定義： $IRR$（記為 $i^*$）係指使投資方案在其生命週期內之淨現值等於零（$NPV = 0$），或使「未來現金流入之現值總和」等於「現金流出之現值總和」的折現率： $NPV(i^*) = \sum_{t=0}^{n} \frac{CF_t}{(1+i^*)^t} = 0$ 決策準則為：當 $IRR \ge MARR$ 時，方案具經濟可行性。

2. 現金流量認定與折舊（Depreciation）的本質：

• 折舊為非現金費用（Non-cash Expense），本身並無實質現金流出。
• 稅前分析（Before-Tax Analysis）：現金流量僅考量實質收入與支出，折舊不影響稅前現金流量。
• 稅後分析（After-Tax Analysis）：折舊可作為費用扣抵所得稅，產生「折舊租稅扣抵（Depreciation Tax Shield）」。然而本題未提供營利事業所得稅率，依國家考試慣例，標準解法應以稅前現金流量進行計算，折舊條件屬題目之干擾資訊；解題時亦可補充若考量台灣法定稅率時之稅後結果，以保答案周全。

3. 幣值基礎（Constant Dollars）： 題目說明「價格皆以第一年幣值為基礎」，代表現金流量為實質現金流量（Real Cash Flows），所求得之內部投資報酬率即為實質內部投資報酬率（Real $IRR$）。

解題方法

將金額單位統一設定為「萬元」（1 億元 $= 10,000$ 萬元）。

步驟一：彙整各期實質現金流量（稅前）

• 第 0 年底（期初投資）： $CF_0 = -10,000 \text{ 萬元}$
• 第 1 至 3 年底（工程營運期間）： 每年淨現金流入 $= \text{工程收入} - \text{支出費用} = 4,000 - 1,000 = +3,000 \text{ 萬元}$ $CF_1 = CF_2 = CF_3 = +3,000 \text{ 萬元}$
• 第 4 年底（工程完工並出售設備）： 第 4 年淨現金流入包含營運淨收入與二手設備變現售價： $CF_4 = (4,000 - 1,000) + 3,000 = +6,000 \text{ 萬元}$

步驟二：建立 $IRR$ 特徵方程式

令淨現值 $NPV(i^*) = 0$： $NPV(i^*) = -10,000 + 3,000(P/A, i^*, 4) + 3,000(P/F, i^*, 4) = 0$

以各期折現值展開： $-10,000 + \frac{3,000}{1+i^*} + \frac{3,000}{(1+i^*)^2} + \frac{3,000}{(1+i^*)^3} + \frac{6,000}{(1+i^*)^4} = 0$

同除以 $1,000$ 簡化運算： $-10 + \frac{3}{1+i^*} + \frac{3}{(1+i^*)^2} + \frac{3}{(1+i^*)^3} + \frac{6}{(1+i^*)^4} = 0$

步驟三：試誤法與線性內插法求解

1. 選定試誤折現率 $i_1 = 16\%$：

• $1.16^1 = 1.1600 \implies \frac{3}{1.16} \approx 2.5862$
• $1.16^2 = 1.3456 \implies \frac{3}{1.3456} \approx 2.2295$
• $1.16^3 = 1.5609 \implies \frac{3}{1.5609} \approx 1.9220$
• $1.16^4 = 1.8106 \implies \frac{6}{1.8106} \approx 3.3137$

計算淨現值： $NPV(16\%) = -10 + (2.5862 + 2.2295 + 1.9220 + 3.3137) = -10 + 10.0514 = +0.0514 \text{（即 }+51.4 \text{ 萬元）} > 0$