110 專技高考高等考試 工業工程技師 工程統計與品質管理 考古題詳解

核心觀念

本題考查樣本平均數、樣本標準差，以及製程能力指標 $C_p$、$C_{pk}$。

規格為 $100\pm5$，因此：

以樣本標準差 $s$ 估計製程標準差，計算式如下：

$C_p$ 衡量製程變異相對於規格寬度的大小，不考慮平均值偏移；$C_{pk}$ 同時考慮變異與平均值位置，因此不會大於 $C_p$。

解題方法與計算

甲廠

甲廠 10 個樣品的總和為 $1000$，所以：

各觀測值相對於平均數的平方離差總和為：

因此樣本標準差為：

甲廠的製程能力指標為：

由於平均值正好在規格中心，兩側至規格界限的距離相同：

乙廠

乙廠 10 個樣品的總和為 $966$，所以：

平方離差總和為：

核心觀念

$p$ 管制圖用來監控每組樣本中的不良率。若每次抽樣件數固定為 $n$，樣本不良率為 $\hat p$，則在製程不良率為 $p$ 時，

三倍標準差管制界限為中心線上下各三個標準差；下管制限若小於 0，取 0，上管制限若大於 1，取 1。

本題以 25 組樣本的合併資料估計製程不良率，再計算管制界限。第二小題則在製程不良率變動後，計算單一樣本落在管制界限外的機率。

解題方法

（一）三倍標準差管制界限

每組抽樣件數 $n=200$，25 組共查得 60 個不良品，因此合併估計的不良率為

中心線為

標準差估計值為

因此三倍標準差管制界限為

由於不良率不能小於 0，故下管制限取 0。換算成每 200 件的比例表示，管制界限為：

核心觀念

單次抽樣計畫以樣本數 $n$ 與允收數 $Ac$ 表示。抽取 $n$ 件，若不良品數不超過 $Ac$，即允收該批。

本題指定以卜瓦松分配近似不良品數。令不良率為 $p$，則不良品數 $X$ 近似服從平均數 $\lambda=np$ 的卜瓦松分配：

當 $Ac=2$ 時，允收機率為：

在允收品質水準 AQL 下，生產者風險 $\alpha$ 是「品質達 AQL 時，批被拒收的機率」，因此需滿足：

在拒收水準 LTPD 下，消費者風險 $\beta$ 是「品質達 LTPD 時，批仍被允收的機率」，即 $P_a(\text{LTPD})$。

解題方法

已知 AQL $=0.015$、$\alpha=0.05$、$Ac=2$。先在 AQL 下尋找符合 $P_a\ge 0.95$ 的整數樣本數 $n$。由於 $Ac$ 固定，$n$ 愈大，平均不良數 $np$ 愈大，允收機率愈低；因此比較臨界附近的整數即可。

在 $n=54$ 時：

核心觀念

柏拉圖分析（Pareto analysis）依各類不良項目的發生次數由高至低排列，並計算累積次數與累積百分比，找出應優先改善的項目。累積百分比公式為：

題目共蒐集 $65$ 次不良項目，改善重點須涵蓋至少 $80\%$ 的不良次數。

解題方法

先統計各字母出現次數，再依次數由高至低排列。統計結果如下：

核心觀念

本題考驗母體標準差已知時，單一母體平均數的單尾 $Z$ 檢定，以及檢定力的計算。產品使用時數為常態分配，母體標準差 $\sigma=2{,}600$ 小時已知，因此以樣本平均數的標準化統計量進行檢定。

廠商宣稱「平均使用時數至少為 50,000 小時」，其檢定假設為：

這是左尾檢定。計算檢定統計量時，以虛無假設的邊界值 $\mu_0=50{,}000$ 為基準。

解題方法

一、檢定廠商宣稱

已知 $n=25$、$\bar{x}=49{,}000$、$\sigma=2{,}600$，顯著水準 $\alpha=0.01$。樣本平均數的標準誤為：

計算檢定統計量：

左尾檢定在 $\alpha=0.01$ 下的臨界值為 $z_{0.01}=-2.326$。由於

檢定統計量未落入拒絕域，故不拒絕 $H_0$。等價地，$p$ 值約為 $\Phi(-1.923)=0.0273>0.01$。