110 專技高考高等考試 機械工程技師 機械製造 考古題詳解

核心觀念

線材抽製的總真應變由截面積變化決定：

$$\varepsilon=\ln\frac{A_0}{A_f} =2\ln\frac{d_0}{d_f}$$

忽略摩擦且假設均勻變形時，抽製所需的理想軸向應力可由單位體積塑性變形功求得：

$$\sigma_d=\int_0^{\varepsilon}\sigma\,d\varepsilon$$

抽製負荷則為成品截面積乘上抽製應力：

$$F=\sigma_d A_f$$

解題方法

已知初始直徑 $d_0=10\ \mathrm{mm}$，成品直徑 $d_f=8\ \mathrm{mm}$。由於圓形截面面積與直徑平方成正比，

$$\frac{A_0}{A_f} =\left(\frac{d_0}{d_f}\right)^2 =\left(\frac{10}{8}\right)^2 =1.5625$$

（一）線材所經受的總應變

$$\varepsilon=\ln\frac{A_0}{A_f} =\ln(1.5625) =0.4463$$

因此，線材所經受的總真應變為 $0.4463$，為無因次量。

（二）所需的軸向抽製負荷

應變硬化關係為

$$\sigma=500\varepsilon^{0.25}\ \mathrm{MPa}$$

將流動應力對應變積分，得到單位體積塑性變形功，也就是理想抽製應力：

核心觀念

深引伸時，圓形板材外緣的材料徑向流入模穴，最後形成杯壁；理想條件下可用兩個關係求解：

1. 最大可深引伸比由沖頭圓角附近的最大拉應力達到材料降服條件決定。
2. 最大引伸負荷由杯壁承受的軸向拉力決定；在均勻變形、厚度不變的假設下，杯壁面積為 $\pi d_1t$。

題目採用 Tresca 降服準則。若以 $\sigma_y=150\ \mathrm{MPa}$ 表示單軸降服強度，Tresca 準則為最大剪應力達到單軸拉伸降服時的值；本題的理想深引伸推導中，徑向應力取零、環向應力為壓應力，故可用 $\sigma_r-\sigma_\theta=\sigma_y$ 作為降服條件。

解題方法

設初始圓板直徑為 $D_0=36\ \mathrm{mm}$，杯狀物直徑為 $d_1$，板厚為 $t=1\ \mathrm{mm}$。

(一) 理想可深引伸的最小杯徑

取杯壁的徑向微小元素，令其半徑為 $r$，環向應力為 $\sigma_\theta$。忽略摩擦、模具圓角處彎曲與反彎曲功，且採均勻變形模型，徑向平衡給出

$$\frac{d\sigma_r}{dr}+\frac{\sigma_r-\sigma_\theta}{r}=0.$$

在極限引伸狀態，徑向應力由杯口處的 $0$ 增至沖頭圓角附近的最大值；套用 Tresca 降服條件 $\sigma_r-\sigma_\theta=\sigma_y$，積分可得杯壁所能承受的最大徑向應力：

$$\sigma_{r,\max}=\sigma_y\ln\!\left(\frac{D_0}{d_1}\right).$$

沖頭圓角附近材料達到降服時，最大徑向應力等於降服強度，因此

$$\sigma_y\ln\!\left(\frac{D_0}{d_1}\right)=\sigma_y.$$

核心觀念

本題考查正交切削的力分析與剪切變形。動力計量得切削力 $F_c$ 與推力 $F_t$，可由切削速度求切削功率；再以刀具斜角 $\alpha$、切屑厚度比 $r$ 與剪切區幾何關係，求剪切面角、剪應變及剪應變率。

已知：

• 切屑厚度 $t_2=0.4\ \mathrm{mm}$
• 未變形切屑厚度（切深）$t_1=0.2\ \mathrm{mm}$
• 切屑寬度 $b=6\ \mathrm{mm}$
• 切削速度 $V=3\ \mathrm{m/s}$
• 刀具斜角 $\alpha=10^\circ$
• 剪切區厚度 $\delta=0.02\ \mathrm{mm}$
• 切削力 $F_c=2700\ \mathrm{N}$、推力 $F_t=810\ \mathrm{N}$

解題方法

（一）切削所需功率

切削方向的力與切削速度同方向，故切削功率為

$$P=F_cV$$

代入數值：

$$P=(2700\ \mathrm{N})(3\ \mathrm{m/s}) =8100\ \mathrm{W} =8.10\ \mathrm{kW}$$

推力方向垂直於切削速度，不對切削方向作功，因此不納入此功率計算。

（二）剪切面剪應變與剪應變率

先求切屑厚度比：

$$r=\frac{t_1}{t_2} =\frac{0.2}{0.4}=0.5$$

正交切削幾何關係為

$$\tan\phi=\frac{r\cos\alpha}{1-r\sin\alpha}$$

因此

$$\tan\phi =\frac{0.5\cos 10^\circ}{1-0.5\sin 10^\circ} \approx 0.539$$ $$\phi\approx 28.3^\circ$$

剪切面上的工程剪應變為

$$\gamma=\cot\phi+\tan(\phi-\alpha)$$

核心觀念

加工效率定義為材料實際吸收、用於移除材料的能量，除以電子束輸入的加工能量。先由溝槽體積求出材料移除量，再以金屬由常溫升至氣化所需能量計算理論加工功率。

解題方法

溝槽截面積為 $0.05\times0.05=0.0025\ \mathrm{mm^2}$。電子束每分鐘移除的體積為

$$\dot V=0.0025\times100=0.25\ \mathrm{mm^3/min}$$

將密度換成 $\mathrm{g/mm^3}$：

$$20\ \mathrm{g/cm^3}=0.02\ \mathrm{g/mm^3}$$

因此質量移除率為

$$\dot m=0.25\times0.02=0.005\ \mathrm{g/min}$$

將氣化所需的能量換算為理論功率：

$$P_{\mathrm{材料}} =\frac{0.005\times6300}{60} =0.525\ \mathrm{W}$$

故加工效率為

$$\eta=\frac{P_{\mathrm{材料}}}{P_{\mathrm{束}}} =\frac{0.525}{6.3} =0.0833$$

解題技巧

功率與材料移除率都要使用相同時間單位；此處將每分鐘的能量除以 $60$，換成瓦特。密度換算時，$1\ \mathrm{cm^3}=1000\ \mathrm{mm^3}$。

（二）電子束能量密度

核心觀念

脈衝能量密度為單一脈衝能量除以電子束照射面積。由平均功率與脈衝頻率，可求得每個脈衝的能量。

解題方法

每個脈衝的能量為

$$E_p=\frac{P_{\mathrm{平均}}}{f} =\frac{6.3}{50} =0.126\ \mathrm{J}$$

電子束直徑為 $0.05\ \mathrm{mm}$，圓形照射面積為

$$A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(0.05)^2}{4} =1.9635\times10^{-3}\ \mathrm{mm^2}$$

所以能量密度為

$$H=\frac{E_p}{A} =\frac{0.126}{1.9635\times10^{-3}} =64.17\ \mathrm{J/mm^2}$$

換算成 $\mathrm{J/cm^2}$：

$$H=6.417\times10^3\ \mathrm{J/cm^2}$$

解題技巧

脈衝寬度可用來求占空比與峰值功率，但求「每個脈衝能量」時，直接用平均功率除以頻率即可。此題占空比為 $20\times10^{-6}\times50=0.001$，對應峰值功率 $6.3/0.001=6300\ \mathrm{W}$，乘以脈衝寬度同樣得到 $0.126\ \mathrm{J}$。

（三）電化學加工材料移除率

核心觀念

依據法拉第定律，電流所提供的電量可換算成溶解金屬的莫耳數。金屬每溶解 $z$ 個電子所需的電量為 $zF$，因此莫耳溶解率為 $I/(zF)$。

解題方法

金屬的莫耳溶解率為