110 專技高考高等考試 機械工程技師 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

110 年・專技高考・高等考試・機械工程技師
試題代碼 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）

第 一、 題25 分

梁 ABCABC 受一分布負荷作用，其中 ABAB 與 BCBC 在 BB 點處用銷接合（Pin joint）方式連接，AA 為鉸支撐（Hinge），CC 為一滑輪（Roller），g(x)g(x) 為單位長度之分布力。試求：

(一) 分布負荷之合力及其離 AA 點之距離。（10 分）

(二) 梁 ABCABC 之剪力分布圖（請標示剪力為零之位置及剪力在不連續處的值）。（15 分）

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核心觀念

本題考查分布力的等效合力、帶內鉸梁的支承反力，以及剪力圖的分段計算。依原圖，B 點銷接處下方另有滾輪支承；因此 B 點有向上的外部支承反力。銷接不傳遞彎矩，故可分別對 AB、BC 取矩。

令 xx 自 A 點向右量。AB 上分布力為 g(x)=x2g(x)=x^2；BC 上分布力由 B 點的 4 kN/m4\ \mathrm{kN/m} 線性降至 C 點的 2 kN/m2\ \mathrm{kN/m}，全程向下。

（一）分布負荷合力及其作用位置

AB 長 2 m2\ \mathrm m，合力為

WAB=∫02x2 dx=83 kN.W_{AB}=\int_0^2 x^2\,dx=\frac{8}{3}\ \mathrm{kN}.

其對 A 點的力矩為

MA,AB=∫02x⋅x2 dx=4 kN⋅m.M_{A,AB}=\int_0^2 x\cdot x^2\,dx=4\ \mathrm{kN\cdot m}.

BC 長 3 m3\ \mathrm m，分布力為梯形，合力等於梯形面積：

WBC=4+22(3)=9 kN.W_{BC}=\frac{4+2}{2}(3)=9\ \mathrm{kN}.

以 B 點為力矩中心，其力矩為

MB,BC=∫03s(4−23s)ds=12 kN⋅m,M_{B,BC}=\int_0^3 s\left(4-\frac{2}{3}s\right)ds =12\ \mathrm{kN\cdot m},

所以 BC 合力距 B 點 12/9=4/3 m12/9=4/3\ \mathrm m，也就是距 A 點 2+4/3=10/3 m2+4/3=10/3\ \mathrm m。

因此全梁分布負荷合力為

W=83+9=353 kN（向下）.W=\frac{8}{3}+9=\frac{35}{3}\ \mathrm{kN}\quad\text{（向下）}.

其對 A 點力矩為 4+12+2(9)=34 kN⋅m4+12+2(9)=34\ \mathrm{kN\cdot m}，故合力作用位置距 A 點

xˉ=3435/3=10235≈2.914 m.\bar{x}=\frac{34}{35/3}=\frac{102}{35}\approx 2.914\ \mathrm m.

（二）剪力分布圖

先求支承反力。AB 段對 B 點取矩，AB 分布力對 B 點的力矩為

∫02(2−x)x2 dx=43 kN⋅m.\int_0^2(2-x)x^2\,dx=\frac{4}{3}\ \mathrm{kN\cdot m}.

故 A 點反力為

2Ay−43=0⇒Ay=23 kN.2A_y-\frac{4}{3}=0 \quad\Rightarrow\quad A_y=\frac{2}{3}\ \mathrm{kN}.

BC 段對 B 點取矩：

3Cy−12=0⇒Cy=4 kN.3C_y-12=0 \quad\Rightarrow\quad C_y=4\ \mathrm{kN}.

全梁垂直力平衡得 B 點滾輪反力

By=353−23−4=7 kN.B_y=\frac{35}{3}-\frac{2}{3}-4=7\ \mathrm{kN}.

剪力以向上為正，且採「截面左側外力的代數和」表示。

AB 段：0≤x<20\le x<2

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第 二、 題25 分

兩根中空圓形薄管 ABAB 和 BCBC（長度 L=100 mmL=100\ \mathrm{mm}）藉一塊鋼板於 BB 點用焊接方式連接起來，CC 點為固定端，AA 點為一鋼板且為自由端。中空管 ABAB 和 BCBC 內的管壁厚度為 t=2 mmt=2\ \mathrm{mm}，管內半徑分別為 r1=50 mmr_1=50\ \mathrm{mm} 和 r2=60 mmr_2=60\ \mathrm{mm}，氣壓分別為 pp 和 2p2p，且受分布的扭力矩 T(x)T(x) 作用。令 p=10 N/mm2p=10\ \mathrm{N/mm^2}，剪切模數 G=10 GPaG=10\ \mathrm{GPa}，初始的分布扭力矩 T0=100 N⋅m/mT_0=100\ \mathrm{N\cdot m/m}，試求：

(一) AA 點的扭轉角。（10 分）

(二) 用一應力元素（Stress element）來表示 ABAB 管壁中最大的張應力和剪切應力，並標示其與 xx 軸之角度。（15 分）

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核心觀念

本題結合薄壁圓管的內壓應力與圓軸扭轉：

  • 封閉端薄壁圓管的環向應力與軸向應力為 σθ=prt,σx=pr2t\sigma_\theta=\frac{pr}{t},\qquad \sigma_x=\frac{pr}{2t}
  • 圓管的極慣性矩及扭轉剪應力為 J=π2(ro4−ri4),τxθ=TroJJ=\frac{\pi}{2}\left(r_o^4-r_i^4\right),\qquad \tau_{x\theta}=\frac{Tr_o}{J}
  • 扭轉角由各截面的內力矩沿管長積分： ϕ=∫T內(x)GJ dx\phi=\int\frac{T_{\mathrm{內}}(x)}{GJ}\,dx
  • 管壁表面可視為平面應力狀態，利用應力轉換求主應力與最大剪應力。

圖中分布扭矩由 AA 至 BB 線性增加至 T0T_0，再由 BB 至 CC 線性降至零；ABAB、BCBC 長度均為 LL。

解題方法

1. 求各段內力矩與 A 點扭轉角

取 x=0x=0 於 AA、x=Lx=L 於 BB、x=2Lx=2L 於 CC。由左側分布扭矩累積，內力矩大小為

T內(x)={T0x22L,0≤x≤L,T0L2+T0[(x−L)−(x−L)22L],L≤x≤2L.T_{\mathrm{內}}(x)= \begin{cases} \dfrac{T_0x^2}{2L},&0\le x\le L,\\[6pt] \dfrac{T_0L}{2}+T_0\left[(x-L)-\dfrac{(x-L)^2}{2L}\right],&L\le x\le 2L. \end{cases}

因此 ABAB 段的內力矩在 BB 達最大值：

T內,B=T0L2=(100 N)(100 mm)2=5,000 N mm.T_{\mathrm{內},B}=\frac{T_0L}{2} =\frac{(100\ \mathrm{N})(100\ \mathrm{mm})}{2} =5{,}000\ \mathrm{N\,mm}.

兩段的極慣性矩分別為

J1=π2(524−504)=1.6676×106 mm4,J_1=\frac{\pi}{2}(52^4-50^4) =1.6676\times10^6\ \mathrm{mm^4}, J2=π2(624−604)=2.8531×106 mm4.J_2=\frac{\pi}{2}(62^4-60^4) =2.8531\times10^6\ \mathrm{mm^4}.

固定端 CC 的轉角為零；沿全長積分後，AA 相對 CC 的轉角大小為

∣θA∣=1G[1J1∫0LT0x22L dx+1J2∫L2LT內(x) dx]=T0L26G(1J1+5J2).\begin{aligned} |\theta_A| &=\frac{1}{G}\left[ \frac{1}{J_1}\int_0^L\frac{T_0x^2}{2L}\,dx +\frac{1}{J_2}\int_L^{2L}T_{\mathrm{內}}(x)\,dx \right]\\ &=\frac{T_0L^2}{6G}\left(\frac{1}{J_1}+\frac{5}{J_2}\right). \end{aligned}

代入 G=10 GPa=10,000 N/mm2G=10\ \mathrm{GPa}=10{,}000\ \mathrm{N/mm^2}：

∣θA∣=3.92×10−5 rad=0.00225∘.|\theta_A|=3.92\times10^{-5}\ \mathrm{rad} =0.00225^\circ.

AA 點轉向與圖示分布扭矩的方向一致。

2. 求 AB 管壁的最大張應力與剪應力

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第 三、 題25 分

一平面半圓形剛體由三根連桿支撐，半圓形剛體的質量為 10 kg10\ \mathrm{kg}，連桿質量可忽略不計，連桿長度 ℓ=120 mm\ell=120\ \mathrm{mm}，半圓形剛體的半徑 r=200 mmr=200\ \mathrm{mm}。當連桿 CDCD 突然斷裂時，試求在這分離的時刻：

(一) 半圓形剛體的瞬時加速度及作用方向。（10 分）

(二) 連桿 AHAH 和 BGBG 所產生的內力。（15 分）

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核心觀念

本題考查連桿約束下剛體的瞬時加速度，以及剛體的平移與轉動運動方程。連桿質量忽略，故連桿只傳遞軸力；半圓形剛體質心位於平直直徑向弧面一側，距直徑

d=4r3πd=\frac{4r}{3\pi}

斷裂瞬間視為剛體由靜止開始運動，因此各連桿的角速度為零，可用連桿角加速度求端點加速度。

解題方法

取 xx 軸向右、yy 軸向上。令 AA、BB 為半圓直徑的上、下端點。圖中 AHAH、BGBG 兩桿平行，且各與水平線成 45∘45^\circ。

（一）半圓形剛體的瞬時加速度

以 αAH\alpha_{AH}、αBG\alpha_{BG} 表示兩桿的角加速度。由於斷裂瞬間連桿角速度為零，端點加速度為

aA=ℓαAH2(i+j),aB=ℓαBG2(i+j)\mathbf a_A=\frac{\ell\alpha_{AH}}{\sqrt2}(\mathbf i+\mathbf j), \qquad \mathbf a_B=\frac{\ell\alpha_{BG}}{\sqrt2}(\mathbf i+\mathbf j)

剛體角加速度記為 α\alpha。因為 rB/A\mathbf r_{B/A} 沿鉛直方向，剛體加速度關係為

aB−aA=αk×rB/A\mathbf a_B-\mathbf a_A=\alpha\mathbf k\times\mathbf r_{B/A}

左式的 yy 分量為零，因此 αAH=αBG\alpha_{AH}=\alpha_{BG}；左右兩端的 xx 分量關係則得 α=0\alpha=0。所以半圓形剛體在此瞬間作平移，且

ax=aya_x=a_y

令兩桿的拉力分別為 TAHT_{AH}、TBGT_{BG}，拉力方向均由半圓形剛體指向固定端，故合力的分量為

∑Fx=−TAH+TBG2=max\sum F_x=-\frac{T_{AH}+T_{BG}}{\sqrt2}=ma_x ∑Fy=TAH+TBG2−mg=may\sum F_y=\frac{T_{AH}+T_{BG}}{\sqrt2}-mg=ma_y

代入 ax=aya_x=a_y，可得

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第 四、 題25 分

軸環 BB 在連桿 OAOA 上可自由滑行。連桿的轉角設為 θ=0.2t2\theta=0.2t^2（radian），軸環與原點之距為 r=1−0.1t2 mr=1-0.1t^2\ \mathrm{m}，tt 為時間（秒）。用單位向量 eθ\mathbf e_\theta 和 er\mathbf e_r 來作運算。若軸環的位置向量為 R=rer\mathbf R=r\mathbf e_r，試求：

(一) 推導軸環加速度的計算公式。（10 分）

(二) 連桿轉了 45∘45^\circ 時，軸環相對於連桿的相對加速度及方向。（15 分）

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核心觀念

軸環的位置以極座標表示為 R=rer\mathbf R=r\mathbf e_r。由於連桿會轉動，單位向量也隨時間改變：

e˙r=θ˙eθ,e˙θ=−θ˙er.\dot{\mathbf e}_r=\dot\theta\mathbf e_\theta, \qquad \dot{\mathbf e}_\theta=-\dot\theta\mathbf e_r.

因此，軸環的絕對加速度包含徑向加速度、向心加速度、切向加速度及科氏加速度。軸環相對於連桿的加速度，則是沿連桿方向的 r¨er\ddot r\mathbf e_r。

解題方法

由位置向量微分，先求速度：

v=ddt(rer)=r˙er+rθ˙eθ.\mathbf v=\frac{d}{dt}(r\mathbf e_r) =\dot r\mathbf e_r+r\dot\theta\mathbf e_\theta.

再對時間微分，得到加速度公式：

a=r¨er+r˙e˙r+(r˙θ˙+rθ¨)eθ+rθ˙e˙θ=(r¨−rθ˙2)er+(rθ¨+2r˙θ˙)eθ.\begin{aligned} \mathbf a &=\ddot r\mathbf e_r+\dot r\dot{\mathbf e}_r +(\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)\mathbf e_\theta +r\dot\theta\dot{\mathbf e}_\theta\\ &=(\ddot r-r\dot\theta^2)\mathbf e_r +(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\mathbf e_\theta. \end{aligned}

其中 −rθ˙2er-r\dot\theta^2\mathbf e_r 是向心加速度，rθ¨eθr\ddot\theta\mathbf e_\theta 是切向加速度，2r˙θ˙eθ2\dot r\dot\theta\mathbf e_\theta 是科氏加速度。

（一）軸環加速度公式

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