114 專技高考高等考試 機械工程技師 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

核心觀念

平面桁架的靜力平衡方程式可用來判定桁架是否靜定。對有 $j$ 個節點、$m$ 個桿件、$r$ 個支承反力的桁架，若幾何穩定，靜定條件為

若 $m+r>2j$，桁架具有內部靜不定性；僅靠節點與整體平衡方程式，通常無法唯一求出各桿件力，還需要桿件軸向剛度等變形相容資料。

解題方法

依圖計數：桁架有 $15$ 個節點，上、中、下弦桿件共 $12$ 根，直桿共 $10$ 根，斜桿共 $8$ 根，因此

圖示左上 $A$ 為鉸支承，左下 $K$ 為靠垂直牆面的滾輪支承，故支承反力數為 $r=3$。因此

核心觀念

本題考剛桿兩端分別受水平、垂直滑軌拘束時的平衡。以桿長 $l$ 與角度 $\theta$ 表示滑塊位移，再令系統總位能對 $\theta$ 的導數為零，即可求平衡條件。

解題方法

以 $\theta=0$ 時彈簧未變形作為基準。當桿向下轉過 $\theta$：

• 水平投影由 $l$ 變成 $l\cos\theta$，故彈簧壓縮量為 $l(1-\cos\theta)$。
• 均勻細桿的重心在中點，下降高度為 $\frac{l}{2}\sin\theta$。

因此，系統總位能可寫為

平衡時 $\frac{dV}{d\theta}=0$：

整理得

數值計算

核心觀念

車輛沿曲線行駛時，將加速度分成切線與法線分量：

• 切線加速度 $a_t=\dfrac{dv}{dt}$，使車速改變。
• 法線加速度 $a_n=\dfrac{v^2}{\rho}$，使速度方向改變。

本題依車程運動學採用恆定切線加速度。由圖可知 $AB$ 為半徑 $150\ \mathrm{m}$ 的四分之一圓弧，因此弧長為 $\dfrac{\pi}{2}(150)$；$BC$ 為直線段，長 $100\ \mathrm{m}$。

解題方法

先把 $C$ 點車速換算成 SI 單位：

路段長度為

車輛由靜止出發，切線加速度恆定，使用 $v^2=v_0^2+2a_ts$，可得

（一）$B$ 點速度

由 $A$ 至 $B$ 使用同一運動公式：

核心觀念

延性（ductility）是材料在斷裂前能產生顯著塑性變形的能力；延性材料受力時通常會先屈服、變形，最後以剪切方式破壞。脆性（brittleness）材料在斷裂前塑性變形很少，通常由最大拉伸主應力控制破壞。

判斷破壞型態的關鍵，是比較材料對剪應力與拉伸應力的抵抗能力：

• 延性材料的剪切強度相對較低，受力後容易沿最大剪應力面產生塑性滑移。
• 脆性材料的拉伸強度相對較低，容易沿垂直於最大拉伸主應力的平面脆裂。

純剪應力狀態下，主應力方向與剪切面呈 $45^\circ$ 關係，主應力大小為 $\tau$，一拉一壓。此關係可用莫耳圓，或應力轉換式說明：

解題方法

依各小題的受力狀態，辨認哪一種應力主導破壞，再用材料特性判斷破壞方式：

1. 若材料主要因剪切滑移破壞，對應延性材料。
2. 若材料主要因拉伸主應力破壞，對應脆性材料。
3. 扭轉時，軸表面處於純剪應力狀態；延性材料依最大剪應力破壞，脆性材料依最大主拉應力破壞。
4. 軸向拉伸時，脆性材料通常沿垂直於拉力方向的平面斷裂；延性材料則常出現縮頸及杯錐狀斷口。

各小題說明

(1) 較無法承受剪切應力的材料：延性材料

延性材料的剪切強度相對於拉伸強度較低。當剪應力達到材料的屈服條件時，材料會沿最大剪應力面產生滑移與塑性變形，因此可說延性材料較不耐剪切破壞。

純剪狀態的元素示意如下；最大主拉應力方向與原剪切面成 $45^\circ$：

 ↑ τ
 ┌─────┐
 τ ← │ │ → τ
 └─────┘
 ↓ τ

最大剪切滑移面：沿剪應力作用方向
主應力面方向：相對原面旋轉 45°

(2) 較無法承受拉伸應力的材料：脆性材料

脆性材料的塑性變形能力低，受拉時不易藉由屈服或縮頸重新分配應力；當拉伸主應力達到材料強度，裂縫便會迅速擴展。因此，脆性材料較無法承受拉伸應力。

拉力方向
 ↑
 │
 ┌─┼─┐
 │ ──│ ← 典型斷裂面：垂直拉力方向
 └─┼─┘
 │
 ↓

(3) 扭轉破壞斷面：脆性材料呈約 $45^\circ$ 螺旋面；延性材料呈垂直軸線的斷面

核心觀念

本題考查圓軸的扭轉角，以及分段軸上的內扭矩。均質圓軸在扭矩 $T$ 作用下的扭轉角為

其中 $L$ 為軸段長度、$G$ 為剪變模數、$J$ 為截面的極慣性矩。實心圓軸與空心圓軸的極慣性矩分別為

解題方法

依圖中箭頭，$T_A$ 與 $T_B$ 方向相同。先對各段切面列扭矩平衡：$AB$ 段只承受 $T_A$；$BC$、$CD$ 段承受 $T_A+T_B$。因此

固定端 $D$ 的反力扭矩大小為 $2400\ \mathrm{N\cdot m}$，方向與外加扭矩相反。

統一使用 $\mathrm{N\cdot mm}$、$\mathrm{mm}$ 與 $\mathrm{N/mm^2}$。各段極慣性矩為