114 專技高考高等考試 機械工程技師 流體力學與流體機械 考古題詳解

114 年・專技高考・高等考試・機械工程技師
試題代碼 流體力學與流體機械

第 一 題25 分

請回答下列各題（每小題 55 分，共 2525 分）：

（一）拉格朗日（Lagrangian）描述法以及尤拉（Eulerian）皆可用來描述流場，請說明這兩種描述法及解釋其不同處。

（二）連續假說（continuum hypothesis）為古典力學之重要基礎假說，請描述解釋此假說之內涵，並說明所帶來的好處及何時此假說會不適用（invalid）？

（三）管路系統損失可分為兩種，請說明解釋這兩種損失及其不同處。

（四）計算管路系統損失時常使用莫迪圖（Moody chart），請說明何謂莫迪圖與其功能。

（五）比速度（specific speed）是流體機械常應用之無因次參數，請寫出其定義並詳細說明物理意涵，以及它在選用適當流體機械型式之功能。

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（一）拉格朗日描述法與尤拉描述法

核心觀念

兩種描述法都是描述流體運動的方法，差別在於觀察流場的立場：拉格朗日法追蹤流體質點；尤拉法則觀察固定空間位置上的流動狀態。

解題方法

  • 拉格朗日描述法（Lagrangian description）：標記每一個流體質點，追蹤它隨時間的位置、速度、加速度等性質。若以質點初始位置 a\boldsymbol{a} 作為標記，其位置可寫成 x=x(a,t)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(\boldsymbol{a},t)。
  • 尤拉描述法（Eulerian description）：在固定空間座標 x\boldsymbol{x} 上，描述流體性質如何隨時間與位置變化，例如速度場 V=V(x,t)\boldsymbol{V}=\boldsymbol{V}(\boldsymbol{x},t)、壓力場 p=p(x,t)p=p(\boldsymbol{x},t)。

兩者的轉換由物質導數連結。以速度場為例，流體質點所感受的加速度為

DVDt=∂V∂t+(V⋅∇)V\frac{D\boldsymbol{V}}{Dt} = \frac{\partial\boldsymbol{V}}{\partial t} + (\boldsymbol{V}\cdot\nabla)\boldsymbol{V}

其中 ∂V/∂t\partial\boldsymbol{V}/\partial t 是局部加速度，(V⋅∇)V(\boldsymbol{V}\cdot\nabla)\boldsymbol{V} 是對流加速度。

解題技巧

可用「追人」和「守點」區分：跟著流體質點走是拉格朗日法；固定在管路某處測量流速、壓力是尤拉法。工程分析常採尤拉法，因為較容易建立控制體積的質量與動量平衡式。

（二）連續假說

核心觀念

連續假說（continuum hypothesis）將流體視為連續分布的物質，假定密度、壓力、速度與溫度等性質，在空間中可定義為連續場。這不代表流體由分子構成的事實消失，而是把足夠大的微小體積視為均勻的宏觀流體。

解題方法

在微觀尺度，流體由分子組成，分子間有空隙且持續碰撞；若取一個尺度足夠大、包含大量分子的微小體積，便可用其中的平均值代表該處流體性質。此體積又須相對於整個流場尺度夠小，才可視為局部量。據此，密度可寫為場函數 ρ(x,t)\rho(\boldsymbol{x},t)，速度可寫為 V(x,t)\boldsymbol{V}(\boldsymbol{x},t)，並可使用微積分建立控制方程。

連續假說適用與否，常以克努森數判斷：

Kn=λLKn=\frac{\lambda}{L}

其中 λ\lambda 為分子平均自由程，LL 為特徵長度。當 Kn≪1Kn\ll1 時，連續介質近似良好；當 KnKn 增大、流體分子平均自由程與問題尺度相近時，連續假說失效，須採分子動力學或稀薄氣體動力學方法處理。

解題技巧

作答時須兼顧假說的「內容、好處、失效條件」：內容是宏觀性質可視為連續場；好處是可用微分方程描述；失效情況則是稀薄氣體、極低壓或微尺度流動等分子效應明顯的情形。

（三）管路系統的兩種損失

核心觀念

管路損失分為沿程損失與局部損失，兩者都是機械能因黏滯作用而耗散，通常以水頭表示。

解題方法

  1. 沿程損失（major loss）：流體沿直管流動時，因管壁摩擦及流體黏滯效應造成的能量損失。達西－魏斯巴赫式為
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第 二 題20 分

如圖所示，水從一個大水箱流出，其環境之大氣壓為 100 kPa100\ \mathrm{kPa} 且蒸氣壓為 11 kPa11\ \mathrm{kPa}。若忽略黏性效應，請回答下列問題：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中管徑為：

D1=0.025 mD_1=0.025\ \mathrm{m}

D2=0.05 mD_2=0.05\ \mathrm{m}

D3=0.1 mD_3=0.1\ \mathrm{m}

（一）在什麼高度 hh，會開始產生空蝕（或稱為空化；cavitation）現象？（1010 分）

（二）為避免空蝕，請解釋 D1D_1 的值應該增加還是減少？（55 分）

（三）為避免空蝕，請解釋 D2D_2 的值應該增加還是減少？（55 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查伯努力方程、連續方程與空蝕判據。液體局部絕對壓力降至蒸氣壓時，開始產生空蝕；因此要找出管內最低壓力所在處，並令該處壓力等於水的蒸氣壓。

依圖，管線最小截面為 D1D_1，出口截面為 D2D_2，出口與管軸等高；水箱水面及管出口均受大氣壓作用。忽略黏性且水箱很大，水面流速可視為零。

解題方法

先對水箱自由液面與管出口套用伯努力方程。令 V2V_2 為出口流速，則

patmρg+h=patmρg+V222g\frac{p_{\mathrm{atm}}}{\rho g}+h = \frac{p_{\mathrm{atm}}}{\rho g}+\frac{V_2^2}{2g}

所以

V2=2gh.V_2=\sqrt{2gh}.

由連續方程，喉部流速 V1V_1 為

V1=V2A2A1=V2(D2D1)2=4V2,V_1=V_2\frac{A_2}{A_1} =V_2\left(\frac{D_2}{D_1}\right)^2 =4V_2,

因為 D2/D1=0.05/0.025=2D_2/D_1=0.05/0.025=2。

再對自由液面與 D1D_1 喉部套用伯努力方程。令喉部絕對壓力為 p1p_1：

patm+ρgh=p1+12ρV12.p_{\mathrm{atm}}+\rho gh = p_1+\frac{1}{2}\rho V_1^2.

代入 V1=42ghV_1=4\sqrt{2gh}：

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第 三 題20 分

一穩定水流（steady flow）流經一多孔平板（porous flat plate），同時流體是以均勻之速度流入平板，而 acac 曲線為邊界層之邊界，且邊界層內之水流速度分布為

uU∞=3[yδ]−[yδ]3\frac{u}{U_\infty}=3\left[\frac{y}{\delta}\right]-\left[\frac{y}{\delta}\right]^3

其中 δ\delta 為邊界層厚度，U∞U_\infty 為入口流速。假設平板之長與寬為 10 m10\ \mathrm{m}（L=10 mL=10\ \mathrm{m}）和 1 m1\ \mathrm{m}（W=1 mW=1\ \mathrm{m}），且流體密度為 ρ=1,000 kg/m3\rho=1{,}000\ \mathrm{kg/m^3}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中另有：

U∞=3 m/sU_\infty=3\ \mathrm{m/s}

δ=2 mm\delta=2\ \mathrm{mm}

Vˉ=−0.1 j^ mm/s\bar{\mathbf V}=-0.1\,\hat{\mathbf j}\ \mathrm{mm/s}

（一）請計算出流經 bcbc 截面之質量流率。

（二）acac 曲線是否為一條流線？請解釋判斷之理由。

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核心觀念

本題考查邊界層速度分布的截面積分，以及用控制體質量守恆判斷一條曲線是否為流線。

流經截面的質量流率為

m˙=ρ∫AV⋅n dA\dot m=\rho\int_A \mathbf V\cdot\mathbf n\,dA

若速度沿截面寬度方向均勻，且截面寬度為 WW，則可寫成 m˙=ρW∫u(y) dy\dot m=\rho W\int u(y)\,dy。流線上的速度必與曲線相切，因此流體不會穿越流線。

解題方法

（一）流經 bcbc 截面的質量流率

依圖取 y=0y=0 為平板表面，bcbc 高度為 δ=2 mm=0.002 m\delta=2\ \mathrm{mm}=0.002\ \mathrm{m}，寬度 W=1 mW=1\ \mathrm{m}。由題目給定的速度分布，

u(y)=U∞[3yδ−(yδ)3]u(y)=U_\infty\left[3\frac{y}{\delta}-\left(\frac{y}{\delta}\right)^3\right]

將速度對截面積分：

m˙bc=ρW∫0δu(y) dy=ρWU∞∫0δ[3yδ−(yδ)3]dy=ρWU∞δ(32−14)=ρWU∞δ(54)\begin{aligned} \dot m_{bc} &=\rho W\int_0^\delta u(y)\,dy\\ &=\rho WU_\infty\int_0^\delta \left[3\frac{y}{\delta}-\left(\frac{y}{\delta}\right)^3\right]dy\\ &=\rho WU_\infty\delta\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{4}\right)\\ &=\rho WU_\infty\delta\left(\frac{5}{4}\right) \end{aligned}

代入 ρ=1000 kg/m3\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3}、U∞=3 m/sU_\infty=3\ \mathrm{m/s}、W=1 mW=1\ \mathrm{m}、δ=0.002 m\delta=0.002\ \mathrm{m}：

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第 四 題15 分

一速度場可表示為

V⃗=−y(2x+1)ı^−[x(x+1)−2y2]ȷ^\vec V=-y(2x+1)\hat{\imath}-\left[x(x+1)-2y^2\right]\hat{\jmath}

請回答下列問題（每小題 55 分，共 1515 分）：

（一）計算其 xx 方向之加速度（the x-direction acceleration）。

（二）此流場是否為無漩流（irrotational flow）？

（三）勢函數（potential function）是否存在？如果存在，請求出勢函數。

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核心觀念

令速度場為 V⃗=uı^+vȷ^\vec V=u\hat{\imath}+v\hat{\jmath}，則

u=−y(2x+1),v=−[x(x+1)−2y2]=−x(x+1)+2y2u=-y(2x+1),\qquad v=-\left[x(x+1)-2y^2\right]=-x(x+1)+2y^2

本題考查：

  • 物質加速度：穩態速度場的加速度為對流加速度，xx 方向分量是
ax=u∂u∂x+v∂u∂ya_x=u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}
  • 無漩流判斷：二維流場的 zz 方向渦度為
ωz=∂v∂x−∂u∂y\omega_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}

若 ωz=0\omega_z=0，流場即為無漩流。

  • 速度勢函數：若存在勢函數 ϕ\phi，使 V⃗=∇ϕ\vec V=\nabla\phi，則
u=∂ϕ∂x,v=∂ϕ∂yu=\frac{\partial\phi}{\partial x},\qquad v=\frac{\partial\phi}{\partial y}

解題方法

（一）計算 xx 方向加速度

題目給定的速度場未含時間變化，因此為穩態流，局部加速度為零，只需計算對流加速度。

先求速度分量的偏導數：

∂u∂x=−2y,∂u∂y=−(2x+1)\frac{\partial u}{\partial x}=-2y,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-(2x+1)

代入加速度公式：

ax=u∂u∂x+v∂u∂y=[−y(2x+1)](−2y)+[−x(x+1)+2y2][−(2x+1)]=2y2(2x+1)+x(x+1)(2x+1)−2y2(2x+1)=x(x+1)(2x+1)\begin{aligned} a_x &=u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y}\\ &=\big[-y(2x+1)\big](-2y) +\big[-x(x+1)+2y^2\big]\big[-(2x+1)\big]\\ &=2y^2(2x+1)+x(x+1)(2x+1)-2y^2(2x+1)\\ &=x(x+1)(2x+1) \end{aligned}

因此，xx 方向加速度為

ax=x(x+1)(2x+1)\boxed{a_x=x(x+1)(2x+1)}

（二）判斷是否為無漩流

計算二維渦度：

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第 五 題20 分

如圖所示，直徑為 dd 的小顆粒被速度為 VV 的移動流體輸送時，它從高度 hh 開始下降後，並於水平移動距離 ℓ\ell 後接觸地面。由經驗得知

ℓ=f(d,V,γ,h,μ)\ell=f(d,V,\gamma,h,\mu)

其中 γ\gamma 是顆粒之比重（specific weight），μ\mu 是流體摩擦係數（dynamic viscosity）。當使用相同的流體、縮小尺度為 0.10.1 的模型進行研究時：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）請講因次分析（dimensional analysis）與白金漢 Π\Pi 定理（Buckingham Pi theorem），並選取流體速度 VV、顆粒比重 γ\gamma 與顆粒之高度 hh 為重複參數（repeating parameters），求得三組無因次參數組合。（1010 分）

（二）如果原型（prototype）之 V=80 km/hrV=80\ \mathrm{km/hr}，則模型（model）測試應採用速度為何？（55 分）

（三）當模型測試發現 ℓ模型=0.24 m\ell_{\text{模型}}=0.24\ \mathrm{m}，則該測試相當於原型的距離 ℓ\ell 是多少？（55 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查因次分析與白金漢 Π\Pi 定理。因次分析將物理量以基本因次表示；白金漢 Π\Pi 定理指出，若問題包含 nn 個物理量，且這些量涉及 rr 個相互獨立的基本因次，則可組成 n−rn-r 個獨立無因次參數。

本題有 ℓ,d,V,γ,h,μ\ell,d,V,\gamma,h,\mu 六個物理量，涉及質量 MM、長度 LL、時間 TT 三個基本因次，因此可得到 6−3=36-3=3 組無因次參數。

各物理量因次為：

[ℓ]=[d]=[h]=L,[V]=LT−1[\ell]=[d]=[h]=L,\qquad [V]=LT^{-1} [γ]=ML−2T−2,[μ]=ML−1T−1[\gamma]=ML^{-2}T^{-2},\qquad [\mu]=ML^{-1}T^{-1}

其中 γ\gamma 為比重（單位體積的重量），因次為力除以體積；μ\mu 為動力黏度。

解題方法

依題意選 V,γ,hV,\gamma,h 為重複參數。三者的因次彼此獨立，且涵蓋 M,L,TM,L,T，可作為重複參數。

對其餘三個變數分別組合無因次參數：

  1. 對 ℓ\ell，設 Π1=ℓVaγbhc\Pi_1=\ell V^a\gamma^b h^c。由質量因次得 b=0b=0，時間因次得 a=0a=0，長度因次得 1+c=01+c=0，所以：
Π1=ℓh\Pi_1=\frac{\ell}{h}
  1. 對 dd，同理可得：
Π2=dh\Pi_2=\frac{d}{h}
  1. 對 μ\mu，設 Π3=μVaγbhc\Pi_3=\mu V^a\gamma^b h^c。由質量、時間、長度因次依序得：
1+b=0,−1−a−2b=0,−1+a−2b+c=01+b=0,\qquad -1-a-2b=0,\qquad -1+a-2b+c=0

解得 b=−1, a=1, c=−2b=-1,\ a=1,\ c=-2，因此：

Π3=μVγh2\Pi_3=\frac{\mu V}{\gamma h^2}

三組無因次參數為：

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