112 專技高考高等考試 機械工程技師 流體力學與流體機械 考古題詳解

112 年・專技高考・高等考試・機械工程技師
試題代碼 流體力學與流體機械

第 一 題25 分

一噴泉經由四個內徑為 10 mm10\,\mathrm{mm} 的噴嘴將水噴出，如圖一所示，試求：

(一) 最大高度 hh 與流經 60 mm60\,\mathrm{mm} 直徑管之 EE 點體積流率 QQ 關係。（7 分）

(二) 同樣的，點 EE 之壓力 PEP_E 與高度 hh 之關係為何？（7 分）

(三) 當水柱達到 h=4 mh=4\,\mathrm{m} 之高度時，管內之壓力 PEP_E 及所需的體積流率 QQ。（11 分）

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核心觀念

本題使用連續方程與伯努力方程。假設水為不可壓縮穩定流動、四個噴嘴流量相同，且忽略管路與噴嘴損失；噴嘴出口及管內點 EE 的高程差依圖示理想化為可忽略。噴嘴出口與水柱最高點皆為大氣壓，最高點瞬時速度為零。

解題方法

每個噴嘴直徑為 10 mm10\,\mathrm{mm}，總出口面積為

Aj=4π(0.01)24=π×10−4=3.1416×10−4 m2.A_j=4\frac{\pi(0.01)^2}{4} =\pi\times10^{-4} =3.1416\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}.

60 mm60\,\mathrm{mm} 管子的截面積為

A60=π(0.06)24=2.8274×10−3 m2,AjA60=19.A_{60}=\frac{\pi(0.06)^2}{4} =2.8274\times10^{-3}\,\mathrm{m^2}, \qquad \frac{A_j}{A_{60}}=\frac{1}{9}.

(一) 最大高度 hh 與體積流率 QQ 的關係

由噴嘴出口到水柱最高點套用伯努力方程，噴嘴出口的速度水頭轉換為水柱高度：

vj22g=h,vj=2gh.\frac{v_j^2}{2g}=h, \qquad v_j=\sqrt{2gh}.

連續方程給出 Q=AjvjQ=A_jv_j，因此

Q=Aj2gh=3.1416×10−419.62h m3/s\boxed{Q=A_j\sqrt{2gh} =3.1416\times10^{-4}\sqrt{19.62h}\ \mathrm{m^3/s}}

其中 hh 以公尺計。等價地，

h=12g(QAj)2.\boxed{h=\frac{1}{2g}\left(\frac{Q}{A_j}\right)^2}.

若 QQ 以 L/s\mathrm{L/s} 計，則 Q≈1.392h L/sQ\approx1.392\sqrt{h}\,\mathrm{L/s}。

(二) 點 EE 壓力 PEP_E 與高度 hh 的關係

由點 EE 到水柱最高點套用伯努力方程，以大氣壓為零表壓：

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第 二 題25 分

如圖二所示為一離心泵系統管路圖，將 AA 槽中之水加壓泵送至 BB 槽，兩水槽水面高度差 HaH_a 為 11 m11\,\mathrm{m}。

吸水管長度 l1=10 ml_1=10\,\mathrm{m}，管徑 d1=100 mmd_1=100\,\mathrm{mm}，管路摩擦係數 f1=0.025f_1=0.025，總次要損失係數 CL1=2C_{L1}=2；排水管長度 l2=30 ml_2=30\,\mathrm{m}，管徑 d2=75 mmd_2=75\,\mathrm{mm}，管路摩擦係數 f2=0.027f_2=0.027，總配件損失係數 CL2=12C_{L2}=12。

若此泵之性能曲線近似於：

H=15−0.043Q2H=15-0.043Q^2

式中 HH 單位為 m\mathrm{m}，QQ 單位為 ℓ/s\ell/\mathrm{s}，試求此泵系統之運轉流量（15 分）及揚程（10 分）。

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核心觀念

本題考查離心泵的泵曲線與系統曲線交點。穩定運轉時，泵所提供的揚程等於系統所需揚程：

H泵=H系統H_{\text{泵}}=H_{\text{系統}}

系統揚程包括兩槽水面高差，以及吸水管、排水管的沿程損失與局部損失。各管段的損失水頭為：

hL=(fld+CL)V22gh_L=\left(f\frac{l}{d}+C_L\right)\frac{V^2}{2g}

其中 ff 為管路摩擦係數，CLC_L 為總局部損失係數，VV 為該管段流速。

解題方法

兩槽水面高差為 Ha=11 mH_a=11\,\mathrm{m}。令流量 QQ 以 L/s\mathrm{L/s} 表示，則管內流速可寫成：

V1=Q/1000π(0.1)2/4=0.12732Q m/sV_1=\frac{Q/1000}{\pi(0.1)^2/4}=0.12732Q\ \mathrm{m/s}

V2=Q/1000π(0.075)2/4=0.22635Q m/sV_2=\frac{Q/1000}{\pi(0.075)^2/4}=0.22635Q\ \mathrm{m/s}

吸水管的總損失係數為：

f1l1d1+CL1=0.025100.1+2=4.5f_1\frac{l_1}{d_1}+C_{L1} =0.025\frac{10}{0.1}+2=4.5

排水管的總損失係數為：

f2l2d2+CL2=0.027300.075+12=22.8f_2\frac{l_2}{d_2}+C_{L2} =0.027\frac{30}{0.075}+12=22.8

因此系統曲線為：

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第 三 題25 分

考慮一離心鼓風機如圖三所示，其葉片入口半徑為 20 cm20\,\mathrm{cm}，寬為 8.2 cm8.2\,\mathrm{cm}；出口半徑為 45 cm45\,\mathrm{cm}，寬為 5.6 cm5.6\,\mathrm{cm}。

葉片以 700 rpm700\,\mathrm{rpm} 轉速及 0.70 m3/s0.70\,\mathrm{m^3/s} 的速度送風，假設空氣以徑向方向進入葉片，並以與徑向方向成 50∘50^\circ 的方向離開。設空氣密度為 1.25 kg/m31.25\,\mathrm{kg/m^3}，試計算鼓風機的最小耗電量。（25 分）

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核心觀念

本題用離心鼓風機的歐拉方程計算空氣所獲得的理想功率。鼓風機的理想軸功率為

Pmin⁡=m˙(U2Vθ2−U1Vθ1)P_{\min}=\dot m\left(U_2V_{\theta 2}-U_1V_{\theta 1}\right)

其中 UU 是葉片圓周速度，VθV_\theta 是空氣絕對速度的切向分量。題目假設空氣沿徑向進入，因此入口無預旋，Vθ1=0V_{\theta 1}=0。最小耗電量以理想狀態計算，假設沒有機械或電氣損失。

解題方法

出口流通面積為圓柱面積 A2=2πr2b2A_2=2\pi r_2b_2，由連續方程求出口徑向速度：

A2=2π(0.45)(0.056)=0.1583 m2A_2=2\pi(0.45)(0.056)=0.1583\ \mathrm{m^2} Vr2=QA2=0.700.1583=4.42 m/sV_{r2}=\frac{Q}{A_2} =\frac{0.70}{0.1583} =4.42\ \mathrm{m/s}

出口絕對速度與徑向方向夾角為 50∘50^\circ，所以其切向分量為

Vθ2=Vr2tan⁡50∘=4.42tan⁡50∘=5.27 m/sV_{\theta 2}=V_{r2}\tan 50^\circ =4.42\tan 50^\circ =5.27\ \mathrm{m/s}
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第 四 題25 分

一個由兩個直徑分別為 D1=30 cmD_1=30\,\mathrm{cm} 和 D2=12 cmD_2=12\,\mathrm{cm} 的圓柱形水箱連接組成的系統，如圖四所示，用於決定流經連接管內直徑 D0=5 mmD_0=5\,\mathrm{mm} 孔口的流量係數。

開始時（t=0 st=0\,\mathrm{s}），兩水箱內液位分別為 h1=50 cmh_1=50\,\mathrm{cm}、h2=15 cmh_2=15\,\mathrm{cm}，如圖四所示。兩水箱內液位於 170 s170\,\mathrm{s} 後達到平衡，流量停止時，假設忽略與此流程相關的任何其他損失，試決定孔口的流量係數。（25 分）

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核心觀念

本題利用兩個水箱液位差隨時間的變化，反算孔口流量係數 CdC_d。孔口流量以瞬時液位差 Δh\Delta h 作為驅動水頭：

Q=CdA02gΔhQ=C_d A_0\sqrt{2g\Delta h}

其中 A0A_0 為孔口面積。兩箱液位都在變化，因此要分別套用連續方程，再將液位差的微分方程積分。

解題方法

由圖可知，初始液位差為

Δh0=h1−h2=0.50−0.15=0.35 m\Delta h_0=h_1-h_2=0.50-0.15=0.35\ \mathrm{m}

兩水箱的水平截面積及孔口面積為

A1=πD124,A2=πD224,A0=πD024A_1=\frac{\pi D_1^2}{4},\qquad A_2=\frac{\pi D_2^2}{4},\qquad A_0=\frac{\pi D_0^2}{4}

水由水位較高的 Tank 1 流向 Tank 2，故

dh1dt=−QA1,dh2dt=QA2\frac{dh_1}{dt}=-\frac{Q}{A_1},\qquad \frac{dh_2}{dt}=\frac{Q}{A_2}

令 Δh=h1−h2\Delta h=h_1-h_2，相減可得

d(Δh)dt=−Q(1A1+1A2)=−CdA02g(1A1+1A2)Δh\frac{d(\Delta h)}{dt} =-Q\left(\frac{1}{A_1}+\frac{1}{A_2}\right) =-C_d A_0\sqrt{2g}\left(\frac{1}{A_1}+\frac{1}{A_2}\right)\sqrt{\Delta h}

兩箱在 t=170 st=170\ \mathrm{s} 時達到平衡，亦即液位差由 0.35 m0.35\ \mathrm{m} 降至 00。分離變數並積分：

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