111 專技高考高等考試 機械工程技師 流體力學與流體機械 考古題詳解

核心觀念

本題考的是多孔性介質中的達西定律。流體由外側腔室徑向穿過圓柱形濾網，流動面積會隨半徑改變，因此不能直接使用平板介質的定面積公式。

半徑 $r$ 處的圓柱流動面積為 $A(r)=2\pi rL$，達西定律可寫為

其中 $k$ 為滲透性，$\mu$ 為動力黏滯性。

解題方法

令濾網內、外半徑分別為

流體由外向內流動，沿半徑方向積分達西定律。壓力由外側的 $p_{\mathrm{in}}$ 降至內側的 $p_{\mathrm{out}}$，因此

先將流率換算為 SI 單位：

核心觀念

本題評量泵（Pump）之**氣蝕現象（Cavitation）與淨正吸水頭（Net Positive Suction Head, NPSH）**的熱力流體力學基礎與工程應用，核心包含：

1. 氣蝕（Cavitation）發生機制：當流體流經泵吸入口或葉輪葉片吸入側最低壓力點時，若局部絕對壓力降至液體在該運轉溫度下的飽和蒸氣壓力（$p \le p_v$），液體將發生局部汽化產生氣泡；當氣泡被帶至高壓區瞬間潰滅，會引發高頻水擊衝擊波，導致葉輪表面孔蝕損壞、劇烈振動、噪音及揚程與流量急遽衰退。
2. 淨正吸水頭（NPSH）定義：泵進口截面處，流體所具有的總絕對水頭高出液體飽和蒸氣壓水頭之差值。
3. 可用淨正吸水頭（$\text{NPSH}_A$）與所需淨正吸水頭（$\text{NPSH}_R$）之本質差異：

• $\text{NPSH}_A$ 由管路配置系統決定，隨流量增加而下降。
• $\text{NPSH}_R$ 由泵自身內部幾何構造與轉速決定，隨流量增加而上升。

4. 不發生氣蝕之充要條件與運轉極限：$\text{NPSH}_A \ge \text{NPSH}_R$，兩曲線交點即為泵安全運轉之最大極限流量。

解題方法

1. 定義 NPSH：從能線理論出發，寫出絕對總水頭公式，並扣除飽和蒸氣壓水頭，闡明其代表「防止液體汽化的能量餘裕」。
2. 闡述 $\text{NPSH}_R$ 與 $\text{NPSH}_A$：

• 分別說明兩者的物理意義、決定者（泵製造廠 vs. 系統工程師）及隨流量 $Q$ 變化的函數特徵。
• 列出管路系統的能量方程式以表達 $\text{NPSH}_A$。
• 透過比較表條理化二者差異。

3. 求取最高運轉流量：

• 繪製/分析 $\text{NPSH}-Q$ 座標圖。
• 闡明 $\text{NPSH}_A$ 曲線（向下傾斜）與 $\text{NPSH}_R$ 曲線（向上揚升）交點的力學意義，判定安全運轉區間並推導 $Q_{\max}$。

試題詳細解析

(一) 淨正吸水頭（NPSH）之定義與意義

1. 數學與物理定義 淨正吸水頭（Net Positive Suction Head, NPSH）定義為：液體流經泵吸入口基準截面處，其所具備的絕對總水頭（包含靜壓力水頭與動水頭），高出液體在運轉溫度下飽和蒸氣壓水頭之多餘能量值。

其數學表示式如下： $\text{NPSH} = \left( \frac{p_s}{\gamma} + \frac{V_s^2}{2g} \right) - \frac{p_v}{\gamma} = \frac{p_{s,\text{total}} - p_v}{\gamma}$

式中各項物理量定義為：

• $p_s$：泵吸入端中心截面處的流體靜壓力（絕對壓力，$\text{N/m}^2$）。
• $V_s$：泵吸入端管路內的平均流速（$\text{m/s}$）。
• $g$：重力加速度（$\text{m/s}^2$）。
• $\gamma$：輸送液體的比重量（$\gamma = \rho g$，$\text{N/m}^3$）。
• $p_v$：液體在運轉流體溫度下的飽和蒸氣壓力（絕對壓力，$\text{N/m}^2$）。
• $p_{s,\text{total}}$：吸入口之絕對總壓力。

2. 物理與工程意義

• 抗氣蝕之能量安全餘裕：流體進入泵葉輪入口（Impeller Eye）後，因流道收縮、方向轉折及流速增加，壓力會進一步下降至局部最低點。NPSH 代表流體進入泵前擁有的「緩衝能量」，用以確保流體在進入葉輪內部最低壓區域時，壓力不致跌破飽和蒸氣壓 $p_v$。
• 運轉安全性指標：NPSH 值越大，代表液體在泵吸入端的絕對總能量越充裕，泵運轉時越不易發生氣蝕現象；反之，若 NPSH 不足，液體將在葉輪葉片吸入面汽化產生氣泡，引發氣蝕，造成管路震動、噪音、金屬表面剝蝕剝落及水力性能急遽劣化。

(二) $\text{NPSHR}$ 與 $\text{NPSHA}$ 之詳細說明、差異與最高運轉流量求取

1. 所需淨正吸水頭（$\text{NPSH}_R$ / $\text{NPSHR}$）

• 定義：為避免泵內部產生影響性能之氣蝕現象，由泵製造廠根據標準水力性能試驗所測定之泵入口「最低必須具備」的淨正吸水頭。工程上常以揚程下降 3% 作為臨界氣蝕判定標準（即 $\text{NPSH}_{3\%}$）。
• 影響因素：取決於泵葉輪入口流道幾何形狀、葉片型式、轉速（$N$）及流經葉輪的流量（$Q$）。
• 特徵趨勢：隨流量 $Q$ 增加，葉輪入口的局部流速增加，引起的動壓降增大，故 $\text{NPSH}_R$ 隨流量增加呈遞增趨勢（曲線隨 $Q$ 向上揚升）。

2. 可用淨正吸水頭（$\text{NPSH}_A$ / $\text{NPSHA}$）

• 定義：在特定的吸入管路系統與吸水水池配置下，流體輸送至泵吸入口截面處，系統實際能夠提供高於飽和蒸氣壓水頭的多餘水頭。
• 計算公式：自吸入端蓄水池表面（點 0）至泵吸入口（點 $s$）建立穩態能線方程式： $\text{NPSH}_A = \frac{p_0}{\gamma} \pm z_s - h_{L,s} - \frac{p_v}{\gamma}$ 式中：
• $p_0$：吸入水槽液面之絕對壓力（若為大氣開放水槽，則為大氣壓力 $p_{\text{atm}}$）。
• $z_s$：液面至泵吸入口基準面的靜水頭差（液面高於泵進口時取正值，即灌注水頭；液面低於泵進口時取負值，即吸上水頭）。

核心觀念

本題考查角動量守恆與開放系統的角動量流率。馬達斷電後，外力矩為零；但水仍從半徑 $R$ 的兩端噴出，水流會帶走角動量，使灑水器減速。

流體在管內隨灑水器轉動，距旋轉軸 $r$ 處的切向速度為 $\omega r$；因此，從半徑 $R$ 噴出的水，其絕對切向速度為 $\omega R$，每單位質量帶走的角動量為 $R(\omega R)=\omega R^2$。

解題方法

令管截面積為

計算灑水器與管內水相對旋轉軸的總轉動慣量。兩側管臂各長 $R$，固體管壁的線質量為 $\sigma$，管內水的線質量為 $\rho A$，所以

管內水的質量維持不變，因此此轉動慣量固定。進水沿旋轉軸進入，對該軸的角動量為零。兩端各以 $\dot m/2$ 排水，總排水質量流率為 $\dot m$；出口水流帶走的角動量流率為

以灑水器及管內水為控制體，角動量方程為

由於 $I$ 為常數，

整理並代入 $I$：

核心觀念

本題考查離心泵的淨正吸水頭（NPSH）與吸水管路損失。為避免空蝕，泵的可用淨正吸水頭必須不小於規格要求值：

以蓄水池自由液面與泵吸入口間的伯努力方程式計算。自由液面速度可視為零，且吸水管路的總損耗以 $K_L$ 表示。

解題方法

設泵吸入口高於蓄水池水面的高度為 $z_1$。伯努力方程式為

其中 $p_s$ 是泵吸入口壓力，$V$ 是吸水管內平均流速，$h_L$ 是吸水管路總損失水頭。可用淨正吸水頭定義為

將伯努力方程式代入，可得

由於 $h_L=K_L V^2/(2g)$，先計算管內流速：