111 專技高考高等考試 機械工程技師 機動學與機械設計 考古題詳解

核心觀念

本題考查平面連桿機構的連桿與接頭辨識，以及自由度計算。使用平面機構的 Grübler–Kutzbach 公式：

其中 $n$ 為包含固定架在內的連桿數，$J_1$ 為低對偶接頭數，例如轉動接頭與滑動接頭；$J_2$ 為高對偶接頭數。本題各接頭均視為低對偶，故 $J_2=0$。

簡化機構與接頭辨識

將車架視為固定架，後懸吊可簡化為四連桿機構，並將伸縮式避震器視為連接車架與搖臂的支鏈：

 連接桿
 R────────────R
 搖臂 搖臂連桿
 R────────────R
 固定架（車架）

避震器支鏈：固定架 ─R─ 避震器筒 ─P─ 活塞桿 ─R─ 搖臂連桿

主機構的四個連桿為固定架、後搖臂、搖臂連桿及連接桿，彼此以四個轉動接頭（R）連接。

核心觀念

在凸輪機構的工程設計中，決定凸輪實體幾何尺寸最關鍵的參數為基圓半徑（Base Circle Radius, $R_b$）與節圓半徑（Prime Circle Radius, $R_p$）。凸輪尺寸不能任意選定，必須同時兼顧運動傳遞效率、加工可行性、結構強度以及裝配空間。

決定凸輪尺寸大小的三大設計限制主要源於以下力學與幾何原理：

1. 壓力角公式（以對心平移直動滾子從動件為例）： $\tan \phi = \frac{v / \omega}{R_p + s} = \frac{1}{R_p + s} \frac{ds}{d\theta}$ 其中 $\phi$ 為壓力角、$s$ 為從動件位移、$\frac{ds}{d\theta}$ 為從動件形狀速度（凸輪每轉過單位弧度之從動件位移）、$\omega$ 為凸輪角速度、$R_p$ 為節圓半徑（$R_p = R_b + R_r$，$R_r$ 為滾子半徑）。
2. 節曲線曲率半徑與底切條件（Radius of Curvature & Undercutting）：

• 對滾子從動件，節曲線（Pitch Curve）的最小曲率半徑 $\rho_p$ 必須大於滾子半徑 $R_r$（$\rho_{\min} > R_r$）。
• 對平板從動件，凸輪工作輪廓的曲率半徑為 $\rho = R_b + s + \frac{d^2 s}{d\theta^2}$，必須滿足 $\rho > 0$。

3. 軸徑與輪轂結構尺寸限制（Camshaft Diameter & Structural Space Limits）： 凸輪基圓必須能容納驅動軸徑、鍵槽及具備足夠的輪轂肉厚，同時外形受到機械空間與旋轉動態質量的限制。

解題方法

評估凸輪機構尺寸時，工程實務主要從「傳動效能下限」、「幾何外廓成形下限」與「物理空間及動態平衡」三大切入點進行綜合限制分析：

限制一：最大容許壓力角限制（Maximum Allowable Pressure Angle Constraint）

• 原理說明： 壓力角 $\phi$ 定義為「從動件接觸點所受作用力的方向線」與「該接觸點絕對速度方向線」之間的夾角。傳遞至從動件的有效推力為法向力之分力 $F \cos\phi$，而側向分力 $F \sin\phi$ 則會推擠從動件導路（Guide），產生摩擦阻力與力矩。
• 與凸輪尺寸之關係： 由公式 $\tan \phi = \frac{ds/d\theta}{R_p + s}$ 可知，在相同的運動曲線規律 $\frac{ds}{d\theta}$ 與行程 $s$ 下，節圓半徑 $R_p$（或基圓半徑 $R_b$）愈小，壓力角 $\phi$ 愈大。
• 工程設計邊界：

• 若凸輪尺寸過小，會導致最大壓力角 $\phi_{\max}$ 超過容許值，使導路產生過大側向負載，引發摩擦、劇烈磨損，甚至造成機構卡死（Jamming）。
• 設計準則：為維持機構正常運轉，直動平移從動件通常限制 $\phi_{\max} \le 30^\circ$（極限不大於 $35^\circ$）；擺動從動件則限制 $\phi_{\max} \le 35^\circ \sim 40^\circ$。此限制決定了凸輪尺寸的幾何最小下限。

限制二：凸輪外廓曲率半徑與底切限制（Radius of Curvature & Undercutting Constraint）

• 原理說明： 凸輪外廓在凸面（Convex）區域的幾何曲率，受從動件加速度 $\frac{d^2s}{d\theta^2}$ 與凸輪尺寸共同支配。

• 對滾子從動件：凸輪實際工作輪廓的曲率半徑 $\rho_c$ 與節曲線曲率半徑 $\rho_p$ 的關係為 $\rho_c = \rho_p - R_r$。若 $\rho_p < R_r$，則 $\rho_c < 0$，凸輪輪廓將發生自我交錯與幾何尖點（Cusp），在加工時會被刀具削去預定曲面，此現象稱為「底切」（Undercutting）。
• 對平板從動件：曲率半徑 $\rho = R_b + s + \frac{d^2 s}{d\theta^2}$。

核心觀念

1. 瞬時中心（Instantaneous Center of Velocity, 簡稱瞬心）： 兩個進行相對平面運動的剛體上，在某一特定瞬間，相對速度為零之重合點（即該點在兩剛體上具有完全相同的絕對速度）。若以其中一剛體為參考坐標系，該點即為另一剛體相對於該參考體的瞬時旋轉中心。
2. 甘迺迪定理（Kennedy’s Theorem，又稱三心定理 Theorem of Three Centers 或 Aronhold-Kennedy Theorem）： 凡三個彼此具有相對平面運動的剛體（設為構件 1、2、3），其三個相對瞬時中心（$I_{12}$、$I_{23}$、$I_{13}$）必共線，即三點恆位於同一直線上。
3. 平面機構瞬心總數： 若機構由 $n$ 個構件組成，依排列組合，其互相關聯的瞬心總數為： $N = \frac{n(n - 1)}{2}$

解題方法

本題為申論與幾何證明題，採用反證法（Proof by Contradiction）與速度向量相等原理進行推導並繪圖說明。

1. 幾何推導模型與繪圖說明

假設空間中有三個構件（剛體 1、2、3）進行平面相對運動。為便於分析，選取構件 1 為參考機架（Frame），構件 2 與構件 3 相對構件 1 作平面運動。

• 構件 2 對構件 1 之瞬心為 $I_{12}$，構件 2 之角速度為 $\omega_2$。
• 構件 3 對構件 1 之瞬心為 $I_{13}$，構件 3 之角速度為 $\omega_3$。
• 現欲尋找構件 2 與構件 3 的相對瞬心 $I_{23}$。

【圖一：反證法——若瞬心 P 不在連心線上】

 構件 2 構件 3
 (角速度 ω₂) (角速度 ω₃)
 ● ●
 I₁₂ I₁₃
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 ● P (假設為 I₂₃，未落在連心線上)
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 / \
 ↙ ↘
 V_P2 V_P3
 (V_P2 ⊥ I₁₂P) (V_P3 ⊥ I₁₃P)
 兩向量方向不同，故 V_P2 ≠ V_P3（矛盾！）
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【圖二：正解——瞬心 I₂₃ 必落在 I₁₂ 與 I₁₃ 之連心線上】

 構件 1 (機架) 連心線
 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
 ● ● ●
 I₁₂ I₂₃ I₁₃
 │
 │ ↑ V_I23
 │ (同時垂直於連心線)
 
 條件滿足：
 1. 方向一致：V_P2 ⊥ 線 I₁₂-I₁₃ 且 V_P3 ⊥ 線 I₁₂-I₁₃
 2. 大小相等：ω₂ × (I₁₂I₂₃) = ω₃ × (I₁₃I₂₃)

2. 理論推導與證明步驟

1. 依瞬心定義設定等速條件： 若點 $P$ 為構件 2 與構件 3 之相對瞬心 $I_{23}$，則點 $P$ 同時屬於構件 2 與構件 3，且對參考體 1 必須具有相同之速度向量： $\mathbf{V}_{P2} = \mathbf{V}_{P3}$

2. 向量分析與矛盾排除（反證法）：

• 將點 $P$ 視為構件 2 上的點，其對構件 1 的速度為： $\mathbf{V}_{P2} = \boldsymbol{\omega}_2 \times \mathbf{r}_{I_{12} \to P} \implies \mathbf{V}_{P2} \perp \overline{I_{12}P}$
• 將點 $P$ 視為構件 3 上的點，其對構件 1 的速度為： $\mathbf{V}_{P3} = \boldsymbol{\omega}_3 \times \mathbf{r}_{I_{13} \to P} \implies \mathbf{V}_{P3} \perp \overline{I_{13}P}$
• 若點 $P$ 不在連線 $\overline{I_{12}I_{13}}$ 上（如圖一），則線段 $\overline{I_{12}P}$ 與 $\overline{I_{13}P}$ 不共線，其法線方向亦不平行：

核心觀念

本題考查有兩個受力平面的軸之支承反力、彎矩圖與扭矩圖。軸承 A、B 不傳遞扭矩；皮帶張力的合力造成橫向力，張力差乘皮帶輪半徑則造成扭矩。

依原圖，C 處的 $550\ \mathrm{N}$、$400\ \mathrm{N}$ 張力沿 $-z$ 方向；D 處的 $300\ \mathrm{N}$、$200\ \mathrm{N}$ 張力沿同一橫向方向，合力取 $+y$。圖中的 $200\ \mathrm{N}$ 屬於 D 處皮帶張力，B 為軸承位置。兩皮帶輪半徑分別為 $r_C=0.050\ \mathrm{m}$、$r_D=0.075\ \mathrm{m}$。

解題方法

令 A 為 $x=0$，則

先將各處皮帶張力分解為橫向合力及軸扭矩：

兩皮帶輪的扭矩大小相等、方向相反，因此軸段 C 至 D 傳遞 $7.50\ \mathrm{N\,m}$ 扭矩。

自由體圖與支承反力

以原圖的座標方向為準，軸承反力為 $A_y,A_z,B_y,B_z$。將兩個平面分別列平衡式。

在 $x$-$z$ 平面：

在 $x$-$y$ 平面：

自由體圖可整理如下；$C$、$D$ 處的力偶方向相反：

核心觀念

1. 延性與脆性材料之判定標準：

• 應變分界：工程機械設計（如 Shigley's Mechanical Engineering Design）通常以破壞時的拉伸伸長率（strain at fracture, $\varepsilon_f$）$5\%$（即 $\varepsilon_f = 0.05$）作為分界標準。$\varepsilon_f \ge 0.05$ 歸為延性材料，$\varepsilon_f < 0.05$ 歸為脆性材料。
• 強度特徵：
• 延性材料受拉伸與壓縮時的降伏強度大致相等（$S_{yt} \approx S_{yc}$），破壞以剪切（滑移）引起的塑性變形為主，設計指標為降伏強度（Yield Strength, $S_y$）。
• 脆性材料無明顯降伏階段，破壞由最大正應力引起的微裂紋擴展與劈裂主導，其抗壓能力遠高於抗拉能力（$S_{uc} \gg S_{ut}$，常為 3 至 10 倍），設計指標為極限強度（Ultimate Strength, $S_u$）。

2. 延性材料之靜力失效理論（Static Failure Theories for Ductile Materials）：

• 等拉壓強度延性材料（$S_{yt} = S_{yc} = S_y$）：
• 最大剪應力理論（Maximum Shear Stress Theory, MSS / Tresca Criterion）：材料在多軸應力狀態下的最大剪應力達單軸拉伸降伏時之最大剪應力即發生降伏。
• 畸變能理論（Distortion Energy Theory, DE / von Mises Criterion）：材料之單位體積形變能（剪切變形能）達到單軸拉伸降伏時的形變能即發生降伏。
• 非等拉壓強度延性材料（$S_{yt} \neq S_{yc}$）：
• 延性庫侖－莫爾理論（Ductile Coulomb-Mohr Theory, DCM / Internal Friction Theory）。
• 保守性（Conservatism）評估：MSS 理論在雙軸應力座標系（$\sigma_1$-$\sigma_2$）下的降伏包絡線為六角形，全落在 DE 理論的橢圓形包絡線內部。MSS 預測之容許應力範圍最小，屬於最保守的設計理論。

解題方法

(一) 延性材料與脆性材料之差異性分析

從「材料強度」與「拉延之最大容許應變範圍」兩方面進行系統性比較：

1. 從拉延之最大容許應變範圍（伸長率）說明：

• 延性材料（Ductile Materials）：
• 應變範圍：在室溫拉伸試驗中，斷裂伸長率 $\varepsilon_f \ge 5\%$（$\varepsilon_f \ge 0.05$），常見結構鋼、鋁合金之斷裂伸長率可達 $15\% \sim 35\%$。
• 形變特徵：超過降伏點後具有明顯的塑性變形階段，並在破壞前會出現顯著的局部「頸縮（necking）」現象，斷口常呈現 $45^\circ$ 剪切唇（cup-and-cone）特徵，具備高韌性（能吸收較大的形變功）。
• 脆性材料（Brittle Materials）：
• 應變範圍：斷裂伸長率 $\varepsilon_f < 5\%$（$\varepsilon_f < 0.05$），如鑄鐵、陶瓷、高碳淬火鋼等，通常伸長率僅約 $0.5\% \sim 2\%$。
• 形變特徵：受拉伸時幾乎沒有塑性變形階段，無頸縮現象，應力達到極限強度後便突然發生脆斷，斷口粗糙平直且垂直於最大拉應力方向。

2. 從材料強度說明：

• 延性材料：
• 控制指標：以**降伏強度（$S_y$）**為設計失效準則。
• 對稱性：抗拉降伏強度與抗壓降伏強度大致相等，即： $S_{yt} \approx S_{yc} = S_y$
• 抗剪能力：破壞機制受剪應力控制，其抗剪降伏強度 $S_{sy}$ 約為抗拉降伏強度的 $0.5 \sim 0.577$ 倍（$S_{sy} = 0.5 S_y$ 至 $0.577 S_y$）。
• 脆性材料：
• 控制指標：無明顯降伏點，直接以**極限抗拉強度（$S_{ut}$）及極限抗壓強度（$S_{uc}$）**為設計失效準則。
• 不對稱性：極限抗壓強度遠大於極限抗拉強度，即： $S_{uc} \gg S_{ut} \quad (\text{常見比例 } S_{uc} / S_{ut} \approx 3 \sim 10)$
• 抗剪能力：材料內部微裂紋在拉應力下極易張開擴展，因此抗拉能力是其最薄弱環節。

(二) 延性材料的靜力失效理論及最保守理論

1. 常見的延性材料靜力失效理論：

• 最大剪應力理論（Maximum Shear Stress Theory, 簡稱 MSS 理論 / Tresca 準則）：
• 認為剪應力是引發延性材料塑性滑移的主因。

核心觀念

本題考查機械傳動系統中「接觸傳動副（Contact Drive Pairs）」的幾何特性、運動公差與消隙機構設計，重點涵蓋以下核心觀念：

1. 背隙（Backlash / 齒隙）的本質：傳動副非工作接觸面間的游隙（Clearance）。幾何上可分為圓周背隙（Circumferential Backlash）$c_t$ 與法向背隙（Normal Backlash）$c_n$。
2. 設計與製造物理限制：運轉中為容納潤滑油膜厚度、吸收加工與安裝公差，並防止因運轉發熱熱膨脹造成機構「咬死（Jamming）」，標準機構設計中必須預留理論最小背隙。
3. 動態逆轉效應（Reversal Dynamic Effect）：在單向穩定傳動中，背隙不破壞連續接觸；但在運動換向時，傳動鏈產生幾何空行程（Deadband），引發定位遲滯、衝擊負載與控制系統極限環震盪。
4. 預壓拘束原理（Preload Constraint Principle）：消除背隙的機械核心手段在於藉由外力（彈簧力、液壓力）或幾何干涉（過盈滾珠、墊片對頂）在傳動接觸面建立預載荷（Preload），使正反向受力面隨時保持緊密接觸。

解題方法

本題為典型的工程分析與機構設計申論題，答題切入點分為三層架構：

1. 背隙來源剖析：從「被動成因（製造誤差、組裝公差、摩耗老化）」與「主動成因（熱膨脹補償、潤滑預留）」兩大維度進行系統化歸納。
2. 運動形式定位：精準指出「正反轉往復運動（Frequent Reversal / Reciprocating Motion）」與「高精度伺服閉迴路定位運動」，並從動力傳遞交替脫離、空轉死區及碰撞衝擊解釋其敏感性。
3. 機構消隙對策分類：針對題幹提及之齒輪、螺桿、凸輪等傳動元件，分別列出工業界標準消隙機制（如剪刀齒輪、雙螺帽墊片預壓、共軛凸輪等），展現機械設計實務能力。

選項分析

本題為高等考試專技人員工程申論題，非選擇題，故無個別選項。作答時依題旨劃分為三大核心問題，逐一給予明確且標準之工學解答。

解題技巧

1. 破題口訣——「單向不在乎，換向必衝擊」：單向旋轉或單向持續受載時，動力始終由同一側面傳遞，背隙隱藏不顯；一旦「方向改變（換向）」或「負載反轉（Overhauling load）」，背隙立即化為運動誤差與衝擊雜音。
2. 消隙核心原則——「以預壓換剛性與零間隙」：解答降低背隙時，所有機構手法的底層邏輯皆為「施加預壓（Preload）」，答題時務必強調預壓機制的構造（如彈簧、調整墊片、偏心套）。
3. 避免常見盲點：切忌回答「將齒輪或螺桿公差做成完全零間隙」。機械上若無預壓彈性補償而硬性追求零間隙，元件一旦溫升發熱即刻膨脹卡死，這是機械設計上的致命錯誤。

【答案】

一、背隙（Backlash）的來源

背隙主要由下列五項物理與幾何因素構成：

1. 功能性預留設計（熱膨脹與潤滑需求）：

• 傳動元件（如齒輪齒面、螺桿螺紋）於高速運轉下因摩擦生熱產生熱膨脹。為避免齒面或滾道受熱膨脹後互相擠壓咬死（Jamming），設計上必須預留最小間隙。
• 保證流體動力潤滑油膜（Hydrodynamic Lubrication Film）能均勻分佈於齒面間，防止乾摩擦與膠合（Scuffing）。

2. 加工製造公差：

• 齒輪齒厚減薄量、齒形誤差、螺桿導程誤差、節距誤差（Pitch Error）及真圓度公差。

3. 裝配與中心距偏差：

• 齒輪軸心距公差 $\Delta a$：當嚙合軸心距增大時，嚙合角 $\alpha$ 增大，產生法向背隙增量 $\Delta c_n = 2 \Delta a \sin\alpha$。
• 軸承徑向游隙、軸系平行度偏角與偏心安裝誤差。

4. 受載彈性變形：

• 傳動軸系彎曲、機殼剛性不足，在受負載時引起嚙合幾何位置微幅偏移。

核心觀念

本題屬於機械設計中「複合應力之靜力破壞」與「變動應力之多軸疲勞破壞（Multiaxial Fatigue）」的經典整合題型，主要考核以下核心理論與公式：

1. 畸變能理論（Distortion Energy Theory, DET / von Mises 準則）： 適用於延性材料（鋼料）。在二維平面的正應力 $\sigma$ 與剪應力 $\tau$ 作用下，von Mises 等效應力（有效應力）定義為： $\sigma' = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2}$ 靜力安全係數 $n_s$ 依據降伏強度 $S_y$ 計算： $n_s = \frac{S_y}{\sigma'_{\max}}$

2. 多軸疲勞等效應力分解： 將正應力與剪應力分別拆解為交變成分（Alternating component, 下標 $a$）與平均成分（Mean component, 下標 $m$），並依畸變能理論合成等效交變應力 $\sigma'_a$ 與等效平均應力 $\sigma'_m$： $\sigma'_a = \sqrt{\sigma_a^2 + 3\tau_a^2}$ $\sigma'_m = \sqrt{\sigma_m^2 + 3\tau_m^2}$

3. 修正古德曼準則（Modified Goodman Criterion）： 評估具平均應力之疲勞破壞準則，其無窮壽命設計之安全係數方程式為： $\frac{\sigma'_a}{S_e} + \frac{\sigma'_m}{S_{ut}} = \frac{1}{n_f}$ 其中 $S_e$ 為耐久限（Endurance limit），$S_{ut}$ 為抗拉極限強度（Ultimate tensile strength）。

解題方法

步驟一：分析應力狀態

題目給定之負載條件如下：

• 交變彎矩應力：為完全反覆應力（Completely reversed stress），故無平均成分。

• 彎矩交變應力：$\sigma_a = 172\ \mathrm{MPa}$

• 彎矩平均應力：$\sigma_m = 0\ \mathrm{MPa}$

• 週期中之最大彎矩應力：$\sigma_{\max} = \sigma_m + \sigma_a = 172\ \mathrm{MPa}$

• 穩定扭轉剪應力：為恆定剪應力（Steady shear stress），故無交變成分。

• 扭轉交變剪應力：$\tau_a = 0\ \mathrm{MPa}$

• 扭轉平均剪應力：$\tau_m = 103\ \mathrm{MPa}$

• 週期中之最大扭轉剪應力：$\tau_{\max} = \tau_m + \tau_a = 103\ \mathrm{MPa}$

步驟二：利用畸變能理論計算靜力安全係數（$n_s$）

靜力破壞取週期中發生之最大應力狀態（$\sigma_{\max}, \tau_{\max}$）進行檢核：

1. 計算最大 von Mises 等效應力 $\sigma'_{\max}$： $\sigma'_{\max} = \sqrt{\sigma_{\max}^2 + 3\tau_{\max}^2}$ 代入數值： $\sigma'_{\max} = \sqrt{(172)^2 + 3(103)^2} = \sqrt{29584 + 3(10609)} = \sqrt{29584 + 31827} = \sqrt{61411} \approx 247.81\ \mathrm{MPa}$

2. 計算靜力安全係數 $n_s$：