109 專技高考高等考試 機械工程技師 機動學與機械設計 考古題詳解

109 年・專技高考・高等考試・機械工程技師
試題代碼 機動學與機械設計

第 一 題24 分

如下圖所示，為一正齒輪差速器機構，圖中 S1S_1 及 S2S_2 表示太陽齒輪、P1P_1 及 P2P_2 表示行星齒輪、CC 表示行星齒輪架（planet carrier）。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

試分析此機構，說明機構的桿數、機構的獨立迴轉接頭（revolute joint）數、機構的齒輪對（gear pair）數、機構的自由度及計算式。

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核心觀念

本題考查平面齒輪機構的構件與接頭計數，並以平面機構自由度公式計算自由度。圖中固定架（機架）、兩個太陽齒輪、兩個行星齒輪及行星齒輪架，都是分開計數的構件；齒輪嚙合則屬於高對接頭。

平面機構的自由度公式為：

F=3(n−1)−2J1−J2F=3(n-1)-2J_1-J_2

其中 nn 為構件數（含機架）、J1J_1 為低對接頭數（此題為迴轉接頭）、J2J_2 為高對接頭數（此題為齒輪對數）。

解題方法

先依圖辨認構件，再逐一列出構件間的迴轉接頭與齒輪嚙合關係：

  1. 桿數：6 桿 包括機架、S1S_1、S2S_2、P1P_1、P2P_2 及行星齒輪架 CC。
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第 二 題26 分

如下圖所示，為一具有直動式平頂從動件的盤式凸輪。

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試以非參數式包絡理論推導此凸輪的輪廓座標，並列出平頂斜（直）線族（family of straight lines）關係式 F(x,y,θ)=0F(x,y,\theta)=0、對 F(x,y,θ)=0F(x,y,\theta)=0 參數 θ\theta 的偏微分式、盤式凸輪的輪廓座標 xx 及輪廓座標 yy。

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核心觀念

本題考查盤式凸輪的包絡線。從動件的平頂工作面在凸輪座標系中形成一族隨凸輪轉角 θ\theta 改變位置的直線；凸輪輪廓就是這族直線的包絡線。

依圖示取凸輪中心為原點，xx 軸向右、yy 軸向上；令 θ\theta 為凸輪順時針轉角，從 +y+y 軸朝左量起。設 s(θ)s(\theta) 為從動件位移，rbr_b 為基圓半徑，則從動件平頂至凸輪中心的法向距離為

h(θ)=rb+s(θ).h(\theta)=r_b+s(\theta).

解題方法

從動件平頂在固定座標系中保持水平，距基圓基準的高度為 h(θ)h(\theta)。轉到凸輪座標系後，平頂直線的法向量為 (−sin⁡θ,cos⁡θ)(-\sin\theta,\cos\theta)，因此直線族關係式為

F(x,y,θ)=−xsin⁡θ+ycos⁡θ−rb−s(θ)=0.\boxed{F(x,y,\theta)=-x\sin\theta+y\cos\theta-r_b-s(\theta)=0.}

包絡線上的接觸點同時位於直線族上，且該點對參數 θ\theta 的變化滿足包絡條件：

∂F∂θ=−xcos⁡θ−ysin⁡θ−dsdθ=0.\boxed{\frac{\partial F}{\partial\theta} =-x\cos\theta-y\sin\theta-\frac{ds}{d\theta}=0.}

令 s′(θ)=ds/dθs'(\theta)=ds/d\theta，聯立兩式：

−xsin⁡θ+ycos⁡θ=rb+s(θ),-x\sin\theta+y\cos\theta=r_b+s(\theta), −xcos⁡θ−ysin⁡θ=s′(θ).-x\cos\theta-y\sin\theta=s'(\theta).

解此二元一次方程組，得到盤式凸輪輪廓座標：

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第 三 題24 分

有一滾珠軸承一百萬轉額定壽命的型錄基本動態額定負荷 C10C_{10} 為 20.3 kN20.3\ \mathrm{kN}，試計算此軸承分別在期望徑向負荷為 18 kN18\ \mathrm{kN} 及 30 kN30\ \mathrm{kN} 所對應之期望壽命轉數。

若此軸承在期望徑向負荷為 18 kN18\ \mathrm{kN}，使用了 200,000200{,}000 轉後，期望徑向負荷增大為 30 kN30\ \mathrm{kN}，試計算此滾珠軸承的剩餘壽命轉數。

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核心觀念

  1. 滾動軸承的負荷－壽命關係式（Load-Life Relationship） 依據 ISO 281 及 ANSI/ABMA 標準，滾動接觸軸承之基本動態額定負荷 C10C_{10}、當量動負荷 PP（純徑向負荷時 P=FrP = F_r）與額定壽命 LL（以轉數表示）的關係為： L=(C10P)a×106 轉L = \left( \frac{C_{10}}{P} \right)^a \times 10^6 \ \text{轉} 其中壽命指數 aa 取決於滾動體幾何形狀：
  • 滾珠軸承（Ball Bearing，點接觸）：a=3a = 3
  • 滾子軸承（Roller Bearing，線接觸）：a=103≈3.33a = \frac{10}{3} \approx 3.33
  1. 變動負荷與累積疲勞損傷（Palmgren-Miner 線性累積損傷法則） 當軸承在不同階段承受變動負荷時，各階段所造成的疲勞損傷具線性累積性。設軸承在負荷 FiF_i 下的額定總壽命為 LiL_i，而實際運轉轉數為 lil_i，則累積損傷分數（Damage Fraction）總和滿足： ∑liLi=l1L1+l2L2=1\sum \frac{l_i}{L_i} = \frac{l_1}{L_1} + \frac{l_2}{L_2} = 1 已知第 1 階段已運轉 l1l_1 轉，則第 2 階段的剩餘壽命轉數 l2l_2 為： l2L2=1−l1L1  ⟹  l2=L2(1−l1L1)\frac{l_2}{L_2} = 1 - \frac{l_1}{L_1} \implies l_2 = L_2 \left( 1 - \frac{l_1}{L_1} \right)

解題方法

第一部分：計算不同徑向負荷下的期望壽命轉數

題目明確指出為「滾珠軸承」，因此壽命指數取 a=3a = 3。基準額定負荷 C10=20.3 kNC_{10} = 20.3\ \mathrm{kN}。

  1. 期望徑向負荷 F1=18 kNF_1 = 18\ \mathrm{kN} 之期望壽命 L1L_1： L1=(C10F1)3×106=(20.318)3×106L_1 = \left( \frac{C_{10}}{F_1} \right)^3 \times 10^6 = \left( \frac{20.3}{18} \right)^3 \times 10^6 計算底數比值： 20.318≈1.1278\frac{20.3}{18} \approx 1.1278 代入計算： L1≈(1.1278)3×106≈1.4344×106 轉≈1,434,400 轉L_1 \approx (1.1278)^3 \times 10^6 \approx 1.4344 \times 10^6 \ \text{轉} \approx 1{,}434{,}400 \ \text{轉}

  2. 期望徑向負荷 F2=30 kNF_2 = 30\ \mathrm{kN} 之期望壽命 L2L_2： L2=(C10F2)3×106=(20.330)3×106L_2 = \left( \frac{C_{10}}{F_2} \right)^3 \times 10^6 = \left( \frac{20.3}{30} \right)^3 \times 10^6 計算底數比值： 20.330≈0.6767\frac{20.3}{30} \approx 0.6767 代入計算： L2≈(0.6767)3×106≈0.3098×106 轉≈309,831 轉L_2 \approx (0.6767)^3 \times 10^6 \approx 0.3098 \times 10^6 \ \text{轉} \approx 309{,}831 \ \text{轉}

第二部分：變動負荷下之剩餘壽命計算

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第 四 題26 分

安裝於雙平行轉動軸上的兩顆螺旋齒輪，其中心距為 200 mm200\ \mathrm{mm}、齒數各為 2020 及 4040，法向壓力角 ϕn\phi^n（normal pressure angle）為 20∘20^\circ，及法向模數 mnm^n（normal module）為 6 mm6\ \mathrm{mm}。

此齒輪組傳遞 50 kW50\ \mathrm{kW}，予轉速為 1,200 rpm1{,}200\ \mathrm{rpm} 的小螺旋齒輪。小齒輪為右螺旋齒輪，順時鐘方向旋轉。

試計算：

  1. 橫向平面模數 mm（module in the transverse plane），單位為 mm\mathrm{mm}。
  2. 小螺旋齒輪的節線速度 vpv_p（pitch velocity），單位為 mm/s\mathrm{mm/s}。
  3. 橫向壓力角 ϕ\phi（transverse pressure angle）。
  4. 齒輪的切線力、徑向力及軸向力。

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核心觀念

本題評量平行軸螺旋齒輪（Parallel Helical Gears）之幾何關係與傳動受力分析，核心涵蓋四項關鍵公式與定義：

  1. 模數與螺旋角幾何關係： 螺旋齒輪之法向模數 mnm^n 與橫向平面模數（端面模數）mm 藉由螺旋角（helix angle）ψ\psi 建立連結： mn=mcos⁡ψm^n = m \cos\psi 標準平行軸齒輪組之中心距 CC 與節圓直徑 d1,d2d_1, d_2、齒數 N1,N2N_1, N_2 之關係為： C=d1+d22=m(N1+N2)2C = \frac{d_1 + d_2}{2} = \frac{m(N_1 + N_2)}{2}

  2. 節線速度定義： 節線速度 vpv_p 由節圓直徑 dd 與轉速 nn（或角速度 ω\omega）決定： vp=πdn60v_p = \frac{\pi d n}{60}

  3. 壓力角轉換關係： 法向壓力角 ϕn\phi^n 與橫向壓力角 ϕ\phi（亦常記為 ϕt\phi_t）滿足空間投影三角關係： tan⁡ϕn=tan⁡ϕcos⁡ψ  ⟹  tan⁡ϕ=tan⁡ϕncos⁡ψ\tan\phi^n = \tan\phi \cos\psi \implies \tan\phi = \frac{\tan\phi^n}{\cos\psi}

  4. 齒面負載三向分力與方向判定：

  • 切線力（Tangential Force, FtF_t）：由傳遞功率 PP 與節線速度 vpv_p 決定，Ft=PvpF_t = \dfrac{P}{v_p}。主動齒輪之 FtF_t 方向與旋轉方向相反。
  • 徑向力（Radial Force, FrF_r）：使齒輪軸互相分離的力，Fr=Fttan⁡ϕF_r = F_t \tan\phi。恆指向齒輪各自之轉動中心（壓向軸心）。
  • 軸向力（Axial / Thrust Force, FaF_a）：沿齒輪轉軸方向之推力，Fa=Fttan⁡ψF_a = F_t \tan\psi。主動齒輪之方向依齒向螺旋法則判定（右螺旋齒輪順時針旋轉時，以右手握定則判定軸向推力）。

解題方法

(1) 橫向平面模數 mm（單位：mm\mathrm{mm}）

已知中心距 C=200 mmC = 200\ \mathrm{mm}，齒數 N1=20N_1 = 20、N2=40N_2 = 40。 平行軸齒輪中心距公式為： C=m(N1+N2)2C = \frac{m(N_1 + N_2)}{2}

代入數值： 200=m(20+40)2=30m200 = \frac{m(20 + 40)}{2} = 30m m=20030=203 mm≈6.67 mmm = \frac{200}{30} = \frac{20}{3}\ \mathrm{mm} \approx 6.67\ \mathrm{mm}

(2) 小螺旋齒輪節線速度 vpv_p（單位：mm/s\mathrm{mm/s}）

小齒輪（Pinion）之節圓直徑 d1d_1 為： d1=m×N1=(203)×20=4003 mmd_1 = m \times N_1 = \left(\frac{20}{3}\right) \times 20 = \frac{400}{3}\ \mathrm{mm}

轉速 n1=1,200 rpmn_1 = 1{,}200\ \mathrm{rpm}，計算節線速度 vpv_p： vp=πd1n160=π×(4003)×1,20060=8,000π3 mm/s≈8,377.58 mm/sv_p = \frac{\pi d_1 n_1}{60} = \frac{\pi \times \left(\frac{400}{3}\right) \times 1{,}200}{60} = \frac{8{,}000\pi}{3}\ \mathrm{mm/s} \approx 8{,}377.58\ \mathrm{mm/s}

(3) 橫向壓力角 ϕ\phi

由法向模數 mn=6 mmm^n = 6\ \mathrm{mm} 與橫向模數 m=203 mmm = \frac{20}{3}\ \mathrm{mm}，先求解螺旋角餘弦值 cos⁡ψ\cos\psi： cos⁡ψ=mnm=6203=1820=0.9\cos\psi = \frac{m^n}{m} = \frac{6}{\frac{20}{3}} = \frac{18}{20} = 0.9

由壓力角轉換公式： tan⁡ϕ=tan⁡ϕncos⁡ψ\tan\phi = \frac{\tan\phi^n}{\cos\psi}

已知法向壓力角 ϕn=20∘\phi^n = 20^\circ，代入計算： tan⁡ϕ=tan⁡20∘0.9≈0.363970.9≈0.40441\tan\phi = \frac{\tan 20^\circ}{0.9} \approx \frac{0.36397}{0.9} \approx 0.40441 ϕ=arctan⁡(0.40441)≈22.02∘(即 22∘1′14′′)\phi = \arctan(0.40441) \approx 22.02^\circ\quad (\text{即 } 22^\circ 1' 14'')

(4) 齒輪的切線力、徑向力及軸向力

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