112 專技高考高等考試 機械工程技師 機動學與機械設計 考古題詳解

112 年・專技高考・高等考試・機械工程技師
試題代碼 機動學與機械設計

第 一 題25 分

某一傳動鋼軸的疲勞強度 Se=276 MPaS_e=276\ \text{MPa}、降伏強度 Sy=413 MPaS_y=413\ \text{MPa} 及抗拉強度 Sut=551 MPaS_{ut}=551\ \text{MPa}，承受穩定的扭轉應力 103 MPa103\ \text{MPa} 及交變（alternating）的彎應力 172 MPa172\ \text{MPa}。

試求此鋼軸防範靜態破壞的安全因數，及以 modified Goodman criterion 防範疲勞破壞的安全因數。

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核心觀念

本題考查鋼軸在彎曲與扭轉組合應力下的靜態破壞與疲勞破壞安全因數。

已知彎應力為交變應力，故其平均應力為零、交變應力為 172 MPa172\ \text{MPa}；扭轉應力為穩定應力，故其平均剪應力為 103 MPa103\ \text{MPa}、交變剪應力為零。

對延性材料採用 von Mises 等效應力：

σ′=σ2+3τ2\sigma'=\sqrt{\sigma^2+3\tau^2}

靜態安全因數以降伏強度 SyS_y 除以最大等效應力。疲勞安全因數採 modified Goodman 準則，將等效平均應力與等效交變應力代入：

1nf=σa′Se+σm′Sut\frac{1}{n_f}=\frac{\sigma'_a}{S_e}+\frac{\sigma'_m}{S_{ut}}

解題方法

一、防範靜態破壞的安全因數

最大彎曲正應力為 172 MPa172\ \text{MPa}，穩定扭轉剪應力為 103 MPa103\ \text{MPa}。組合應力的 von Mises 等效應力為

σmax⁡′=(172)2+3(103)2=61,915=248.83 MPa\sigma'_{\max} =\sqrt{(172)^2+3(103)^2} =\sqrt{61{,}915} =248.83\ \text{MPa}

以降伏強度計算靜態安全因數：

ny=Syσmax⁡′=413248.83=1.66n_y=\frac{S_y}{\sigma'_{\max}} =\frac{413}{248.83} =1.66

二、以 modified Goodman 準則防範疲勞破壞的安全因數

彎曲應力完全交變，且扭轉應力穩定，因此平均與交變應力分別為

σm=0,σa=172 MPa\sigma_m=0,\qquad \sigma_a=172\ \text{MPa}
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第 二 題25 分

試利用 Rayleigh 方法求取下圖所示一傳動鋼軸的第一臨界轉速（rpm）。

此鋼軸的直徑為 50 mm50\ \text{mm}、跨距為 2250 mm2250\ \text{mm}，其兩端以軸承簡支支撐，以承載兩個齒輪的重量，分別為 WA=360 NW_A=360\ \text{N} 與 WB=540 NW_B=540\ \text{N}。不計鋼軸的重量，對應承載處的影響係數（influence coefficients）為：

αAA=0.0030 mm/N\alpha_{AA}=0.0030\ \text{mm/N} αAB=0.0018 mm/N\alpha_{AB}=0.0018\ \text{mm/N} αBA=αBB=0.0019 mm/N\alpha_{BA}=\alpha_{BB}=0.0019\ \text{mm/N}

圖示資料如下：

  • 齒輪 AA 與左側支承距離為 750\ \text{mm}$。
  • 齒輪 AA 與齒輪 BB 之間距離為 1000 mm1000\ \text{mm}。
  • 齒輪 BB 與右側支承距離為 500 mm500\ \text{mm}。
  • 鋼軸直徑：50 mm50\ \text{mm}。
  • 齒輪 AA 載重：360 N360\ \text{N}。
  • 齒輪 BB 載重：540 N540\ \text{N}。
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題用 Rayleigh 法估算兩個齒輪組成的轉子系統第一臨界轉速。將軸的靜態撓度形狀作為振動模態近似，角速度平方為：

ω2=g∑iWiyi∑iWiyi2\omega^2 = g\frac{\sum_i W_i y_i}{\sum_i W_i y_i^2}

其中 WiW_i 是齒輪重量，yiy_i 是該齒輪位置在所有齒輪重量作用下的靜態撓度，g=9810 mm/s2g=9810\ \text{mm/s}^2。算得 ω\omega 後，再換算為每分鐘轉數。

依原頁掃描，影響係數讀作 αAA=0.0030\alpha_{AA}=0.0030、αBB=0.0018\alpha_{BB}=0.0018、αAB=αBA=0.0019 mm/N\alpha_{AB}=\alpha_{BA}=0.0019\ \text{mm/N}。題目文字轉述中的 αAB\alpha_{AB} 與 αBB\alpha_{BB} 數值有出入，以下依掃描原頁計算。

解題方法

先利用影響係數疊加，求 A、B 兩處的靜態撓度：

yA=αAAWA+αABWB=(0.0030)(360)+(0.0019)(540)=2.106 mmy_A=\alpha_{AA}W_A+\alpha_{AB}W_B =(0.0030)(360)+(0.0019)(540) =2.106\ \text{mm}
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第 三 題25 分

設計一具有輸出快速停—動—停間歇旋轉運動機構，作為小零件加工或檢測的平台。

試述：

（一）可選用的一種機構名稱。

（二）間歇旋轉運動曲線合成宜具有的基本運動邊界條件。

（三）其加速度曲線宜具有的特徵。

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核心觀念

本題考查間歇分度機構的選擇，以及輸出構件由「停—動—停」運動轉換時的運動曲線合成條件。平台在加工或檢測時必須停留定位，工件處理完畢後再快速轉到下一位置，因此需兼顧分度時間、運動平順性與停歇穩定性。

解題方法

（一）機構名稱

可採用日內瓦機構（Geneva mechanism，又稱馬耳他十字機構）。輸入曲柄連續轉動時，驅動銷間歇帶動日內瓦輪分度；驅動銷離開槽後，鎖止面使輸出輪保持停歇，適合小零件加工或檢測平台的定步距旋轉。

（二）運動曲線合成的基本邊界條件

設輸出角位移為 θ(t)\theta(t)，一個分度行程由初始停歇位置轉至下一停歇位置，分度角為 Δθ\Delta\theta，分度時間為 TT。合成曲線的端點條件至少應為：

θ(0)=θ0,θ(T)=θ0+Δθ\theta(0)=\theta_0,\qquad \theta(T)=\theta_0+\Delta\theta θ˙(0)=0,θ˙(T)=0\dot{\theta}(0)=0,\qquad \dot{\theta}(T)=0

也就是分度開始與結束時，輸出構件須由靜止起步，並在抵達下一位置時回到靜止，才能銜接前後的停歇段。相鄰停歇段的角位移保持不變，故其角速度及角加速度皆為零。

若要求分度與停歇交界處的加速度也連續，還須加入：

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第 四 題25 分

試述以螺旋齒輪對取代正齒輪對作為傳動設計及應用的優點與限制。

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核心觀念

正齒輪的齒線平行於齒輪軸線；螺旋齒輪的齒線則與軸線成螺旋角 β\beta。螺旋齒輪的齒面沿齒寬逐漸接觸，因此與正齒輪相比，主要差異在於接觸方式、重合程度、軸向力及傳動效率。

平行軸螺旋齒輪要正確嚙合，兩輪螺旋角大小相同、旋向相反。螺旋角會使齒面法向力分解出軸向分力；若以 FtF_t 表示切向力，則軸向力大小為

Fa=Fttan⁡βF_a=F_t\tan\beta

因此，螺旋角愈大，軸向推力愈大。

解題方法

採「傳動性能—受力與支承—製造與成本」比較兩種齒輪。作答時，先說明螺旋齒輪因逐漸嚙合而改善平順性，再補上承載能力等優點；最後指出軸向推力、效率、製造及成本等限制。如此可完整交代選用螺旋齒輪的工程取捨。

優點

  1. 運轉較平順、振動與噪音較低 螺旋齒輪的接觸由齒寬一端逐漸延伸，齒對間的負荷轉移較平緩，衝擊較小；正齒輪則較接近整個齒寬同時進入嚙合。因此螺旋齒輪常用於要求低噪音、高速或運轉平穩的傳動。

  2. 重合度較高，可由多對齒共同分擔負荷 螺旋齒線使齒輪在軸向具有額外的重合效果，通常能提高總接觸重合度。多對齒同時參與傳力，有助於減少單對齒的負荷，並提高傳動能力。

  3. 在相近尺寸下，可適用於較高速度及較大負荷 因嚙合較平順、負荷分配較佳，螺旋齒輪適合高速或需要較大傳動能力的場合；

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