113 年專技高考高等考試機械工程技師考古題與詳解

Question 1

工程上有多個常用於估算金屬材料受到變動負載時疲勞破壞的準則。請繪製一圖，橫軸為平均應力（Midrange Stress），縱軸為應力變化量（Alternating Stress），並清楚標示與說明負載線（Load Line）及以下幾個常用準則：Soderberg Line、Gerber Line、Modified Goodman Line、ASME-elliptic Line、Yield Line，並說明如何計算所能承受負載極限與安全係數。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查金屬材料在平均應力與交變應力同時作用時，如何用疲勞破壞準則判定安全性。先把應力分解為平均應力與交變應力： $$ \sigmam=\frac{\sigma{\max}+\sigma{\min}}{2}, \qquad \sigmaa=\frac{\sigma{\max}-\sigma{\min}}{2} $$ 其中 $\sigmam$ 為平均應力（Midrange Stress），$\sigmaa$ 為交變應力（Alternating Stress，應力振幅，不是應力全範圍）。本題以橫軸表示 $\sigmam$、縱軸表示 $\sigmaa$。 各準則使用材料強度如下： - $Se$：修正後耐久極限。 - $Sy$：降伏強度。 - $S{ut}$：抗拉極限強度。 實際設計時，$Se$ 應採用考慮表面、尺寸、可靠度等因素後的值；有應力集中時，應將疲勞應力集中效應納入應力計算。 準則圖與方程式 下圖為第一象限的示意圖，曲線位置不按比例繪製；各線的截距與方程式為判讀依據。 疲勞準則的邊界方程式如下，安全側為各邊界以下的區域： | 準則 | 邊界方程式 | 圖形與意義 | |---|---|---| | Soderberg Line | $\displaystyle \frac{\sigmaa}{Se}+\frac{\sigmam}{Sy}=1$ | 直線，縱軸截距為 $Se$，橫軸截距為 $Sy$。以降伏強度限制平均應力，通常較保守。 | | Modified Goodman Line | $\displaystyle \frac{\sigmaa}{Se}+\frac{\sigmam}{S{ut}}=1$ | 直線，截距為 $Se$ 與 $S{ut}$。 | | Gerber Line | $\displaystyle \frac{\sigmaa}{Se}+\left(\frac{\sigmam}{S{ut}}\right)^2=1$ | 拋物線，縱軸截距為 $Se$，橫軸截距為 $S{ut}$；常用於延性材料疲勞估算。 | | ASME-elliptic Line | $\displaystyle \left(\frac{\sigmaa}{Se}\right)^2+\left(\frac{\sigmam}{Sy}\right)^2=1$ | 橢圓四分之一，截距為 $Se$ 與 $Sy$。 | | Yield Line | $\sigmaa+\sigmam=Sy

Question 2

一正齒輪組，壓力角為 $20^\circ$。為避免配合齒輪間之干涉，試求出下列各項（需詳列計算過程或說明；每小題 $5$ 分，共 $25$ 分）： (一) 配合齒輪之小齒輪可容許之最少齒數。 (二) 達到接觸比為 $2.5$ 之小齒輪最少齒數。 (三) 能與第（二）小題答案匹配之齒輪最多齒數。 (四) 若第（二）與第（三）小題答案齒數之齒輪配合，如軸距因使用久而鬆脫變大，齒輪壓力角會如何改變？ (五) 與齒條配合時，小齒輪可容許之最少齒數。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查漸開線正齒輪的齒頂干涉限制、接觸比，以及軸距改變時工作壓力角的變化。題目未明示齒形制式，以下依常見假設：標準全齒高漸開線齒形、齒頂高 $ha=m$、無變位，且兩齒輪模數與壓力角相同。 設小齒輪齒數為 $z1$、大齒輪齒數為 $z2$，齒數比 $G=z2/z1$，壓力角 $\phi=20^\circ$。避免干涉的齒數限制會隨配合齒輪齒數比而變；接觸比則是實際接觸路徑長度與基節之比。 解題方法 對標準全齒高齒輪，給定齒數比 $G$ 時，小齒輪避免干涉的理論最小齒數為 $$ z{1,\min} =\frac{2}{\sqrt{1+G(G+2)\sin^2\phi}-1}. $$ 此式需先指定齒數比，才能求出小齒輪最少齒數。若題目只說「配合齒輪」而未指定齒數比，第一小題沒有唯一數值答案。 齒輪與齒條可視為 $G	o\infty$ 的極限，故 $$ z{1,\min} =\lim{G	o\infty} \frac{2}{\sqrt{1+G(G+2)\sin^2\phi}-1} =\frac{2}{\sin^2\phi}. $$ 代入 $\phi=20^\circ$： $$ z{1,\min}=\frac{2}{\sin^2 20^\circ}\approx17.10. $$ 齒數必須為整數，因此至少取 $18$ 齒。 各小題說明 （一）配合齒輪之小齒輪可容許的最少齒數 此小題未提供大齒輪齒數或齒數比 $G$，因此無法由干涉公式得到唯一的最少齒數。若另假設兩齒輪等齒數，即 $G=1$，則 $$ z{1,\min} =\frac{2}{\sqrt{1+3\sin^2 20^\circ}-1} \approx17.10, $$ 故至少需 $18$ 齒。但這是「等齒數配對」假設下的結果，不能視為題目條件本身所唯一決定的答案。 （二）達到接觸比 $2.5$ 之小齒輪最少齒數 接觸比的計算式為 $$ \varepsilon =\frac{	ext{接觸路徑長}}{	ext{基節}} =\frac{ \sqrt{r{a1}^{\,2}-r{b1}^{\,2}} +\sqrt{r{a2}^{\,2}-r{b2}^{\,2}} -a\sin\phi }{\pi m\cos\phi}, $$

Question 3

若欲拉起 $20\ \mathrm{kN}$ 之負載，可用之出力為 $0.4\ \mathrm{kN}$，試以一惠斯頓差動滑車組作為主要省力機構，繪出機構圖並決定其定滑輪之兩輪直徑及直徑比，並列出所有假設與計算過程。

Accepted Answer

【核心觀念】

惠斯頓差動滑車組由兩個同軸、固定在一起且直徑不同的定滑輪，以及一個動滑輪組成。拉動鏈條使兩個定滑輪同步轉動時，大輪收取的鏈長多於小輪放出的鏈長，兩股承載鏈段的長度差使動滑輪上升，藉此省力。

本題所需機械利益為

\mathrm{MA}=\frac{W}{P}

其中 $W$ 為負載， $P$ 為施力。理想惠斯頓差動滑車組的機械利益為

\mathrm{MA}=\frac{2D_L}{D_L-D_S}

$D_L$ 、 $D_S$ 分別為大、小定滑輪直徑，且 $D_L>D_S$ 。此式假設鏈條不可伸長、鏈輪無滑動、軸承與鏈條均無摩擦，並忽略滑輪與鏈條重量。

【解題方法與計算】

機構配置如下，圖示為原理示意：

 同軸定滑輪組
 大定滑輪 小定滑輪
施力端 ↓ ────╭──────╮──────────╭────╮
 ╰──────╯ ╰────╯
 │ │
 │ │
 └──────╮ ╭─────┘
 ╰────╯
 動滑輪
 │
 負載 W

鏈條形成連續迴路，繞過大定滑輪、動滑輪及小定滑輪；上方兩定滑輪同軸固定，施力端拉動鏈條使兩輪同步轉動。

先由負載與可用施力求所需機械利益：

\mathrm{MA}_{\text{需}} =\frac{20\ \mathrm{kN}}{0.4\ \mathrm{kN}} =50

令上方定滑輪轉過角度 $\theta$ 。大輪收取的鏈長為 $D_L\theta/2$ ，小輪放出的鏈長為 $D_S\theta/2$ 。兩股承載鏈段的總長差為 $(D_L-D_S)\theta/2$ ，因此動滑輪及負載上升距離為

Question 4

一鋼製直徑 $36\ \mathrm{mm}$ 的軸，所用材料降伏強度為 $530\ \mathrm{MPa}$，設計運轉在 $600\ \mathrm{rpm}$。使用一鍵（Key）作為動力傳輸元件，其材料降伏強度為 $450\ \mathrm{MPa}$，寬度為 $10\ \mathrm{mm}$，長度為 $36\ \mathrm{mm}$，安全係數為 $2.8$，請計算最大可傳輸動力為何？請詳列計算過程。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查軸與鍵的扭矩傳遞能力。動力經由鍵傳遞時，鍵可能因剪斷或承壓降伏而失效；軸本身也可能因扭轉降伏而失效。因此，設計可傳遞扭矩須取各失效模式容許扭矩中的最小值，再換算成動力。 採用最大剪應力理論（Tresca）估算降伏時的剪應力： $$ 	auy=\frac{Sy}{2} $$ 安全係數為 $n$ 時，容許剪應力與容許正應力分別為： $$ 	au{\mathrm{allow}}=\frac{Sy}{2n}, \qquad \sigma{\mathrm{allow}}=\frac{Sy}{n} $$ 題目未提供鍵的高度，以下按常見方鍵假設鍵高等於鍵寬，即 $h=b=10\ \mathrm{mm}$。 解題方法 先分別計算軸的扭轉容許扭矩、鍵的剪切容許扭矩與鍵的承壓容許扭矩，再取其中最小值。圓軸的最大扭轉剪應力為 $	au{\max}=16T/(\pi d^3)$；鍵的剪切面積為 $bL$，承壓面積為 $(h/2)L$。 1. 軸的扭轉容許扭矩 軸材降伏強度 $S{y,s}=530\ \mathrm{MPa}$，故： $$ 	au{\mathrm{allow},s} =\frac{530}{2(2.8)} =94.64\ \mathrm{MPa} $$ 由圓軸扭轉公式， $$ Ts=	au{\mathrm{allow},s}\frac{\pi d^3}{16} =94.64\frac{\pi(36)^3}{16} =8.67	imes10^5\ \mathrm{N\,mm} =867\ \mathrm{N\,m} $$ 2. 鍵的剪切容許扭矩 鍵材降伏強度 $S{y,k}=450\ \mathrm{MPa}$，容許剪應力為： $$ 	au{\mathrm{allow},k} =\frac{450}{2(2.8)} =80.36\ \mathrm{MPa} $$ 鍵的剪切面積為 $bL=(10)(36)\ \mathrm{mm^2}$。扭矩等於鍵所承受的切向力乘上軸半徑，因此：

準則	邊界方程式	圖形與意義
Soderberg Line	$\displaystyle \frac{\sigma_a}{S_e}+\frac{\sigma_m}{S_y}=1$	直線，縱軸截距為 $S_e$ ，橫軸截距為 $S_y$ 。以降伏強度限制平均應力，通常較保守。
Modified Goodman Line	$\displaystyle \frac{\sigma_a}{S_e}+\frac{\sigma_m}{S_{ut}}=1$	直線，截距為 $S_e$ 與 $S_{ut}$ 。
Gerber Line	$\displaystyle \frac{\sigma_a}{S_e}+\left(\frac{\sigma_m}{S_{ut}}\right)^2=1$	拋物線，縱軸截距為 $S_e$ ，橫軸截距為 $S_{ut}$ ；常用於延性材料疲勞估算。
ASME-elliptic Line	$\displaystyle \left(\frac{\sigma_a}{S_e}\right)^2+\left(\frac{\sigma_m}{S_y}\right)^2=1$	橢圓四分之一，截距為 $S_e$ 與 $S_y$ 。
Yield Line	$\sigma_a+\sigma_m=S_y

113 專技高考高等考試機械工程技師機動學與機械設計考古題詳解

第一題25 分

核心觀念

準則圖與方程式

第二題25 分

第三題25 分

第四題25 分

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第 一 題25 分