113 專技高考高等考試 機械工程技師 熱力學與熱傳學（包括熱機） 考古題詳解

核心觀念

本題要由熱力學第一定律與理想氣體方程式，推導理想氣體在可逆絕熱過程中的壓力與溫度關係。假設氣體為定質量、比熱為常數，且只有準靜態邊界功；絕熱代表沒有熱量傳入或傳出，並不代表內能不變。

解題方法

以單位質量為基準，熱力學第一定律為

絕熱過程有 $\delta q=0$；理想氣體的內能變化為 $du=c_v\,dT$，故

由理想氣體方程式 $pv=RT$，微分得

因此

代回第一定律式：

利用 $c_p=c_v+R$，可得

再以 $v=RT/p$ 代入：

整理並分離變數：

令比熱比 $\gamma=c_p/c_v$，由 $R=c_p-c_v$ 可知

於是

核心觀念

絕熱過程的定義是系統與外界沒有熱量交換，亦即 $Q=0$。等熵過程則是系統的熵不變，亦即 $\Delta S=0$。

兩者不必然相同。對封閉系統，熵平衡式為

其中 $T_b$ 是熱量通過邊界時的溫度，$S_{\mathrm{gen}}\geq 0$ 是熵產生量。絕熱時 $\delta Q=0$，所以 $\Delta S=S_{\mathrm{gen}}$；若過程不可逆，仍會產生熵。只有在絕熱且可逆時，才有 $\Delta S=0$，因此是等熵過程。

解題方法

題目給定定壓加熱，先由初態的理想氣體狀態方程求初溫，再以理想氣體熵變公式計算。題目沒有指定比熱採定值或變值，以下採用空氣定比熱近似 $c_p=1.005\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$。並將「固定壓力」解讀為加熱過程中壓力維持 $200\ \mathrm{kPa}$；因此此處是可變容積的定壓過程。

初始狀態滿足

取空氣氣體常數 $R=0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$，且 $1\ \mathrm{kPa\cdot m^3}=1\ \mathrm{kJ}$：

核心觀念

再生式氣體布雷頓循環利用渦輪排氣的餘熱，先加熱壓縮機出口的高壓氣體，再送入燃燒室或外部加熱器。這樣可在渦輪入口溫度相同的條件下，減少外部供熱量，提升熱效率。

以下採理想氣體、定比熱、壓縮機與渦輪等熵、忽略壓力損失的假設。狀態點定義如下：

• $1$：壓縮機入口
• $2$：壓縮機出口
• $3$：再生器冷側出口、加熱器入口
• $4$：渦輪入口
• $5$：渦輪出口、再生器熱側入口
• $6$：再生器熱側出口

解題方法：系統圖

依氣體流動順序畫出壓縮、回收餘熱、外部加熱、膨脹做功與排氣：

新鮮空氣
 │
 ▼
┌───────┐ 2 ┌──────────┐ 3 ┌──────────┐ 4 ┌───────┐
│壓縮機 │ ──────▶ │再生器冷側│ ──────▶ │燃燒室／ │ ──────▶ │渦輪機│
└───────┘ └──────────┘ │外部加熱器│ └───────┘
 ▲ └──────────┘ │
 │ │ 5
 │ ▼
 │ 6 ┌──────────┐
 └──環境／循環入口 ◀────────── │再生器熱側│ ◀───────────────────────┘
 └──────────┘
 │
 ▼
 排氣

渦輪排氣由 $5$ 降至 $6$，將熱量傳給再生器冷側的壓縮氣體，使其由 $2$ 升至 $3$。開放式燃氣渦輪的 $6$ 是排氣；圖中的環境與循環入口表示新鮮空氣的補入，並非排氣回流至壓縮機。

溫度與熵圖（$T$-$s$ 圖）

 T
 ↑
 │ ● 4
 │ ／ │
 │ ● 3 ────／ │
 │ ／ │
 │ ● 2 │
 │ │ │
 │ │ ● 5
 │ │ ／
 │ │ ／
 │ ● 1 ● 6
 │ ＼ ／
 └──────────────────────────────────────→ s

各段過程如下：

核心觀念

本題考查兩個無因次數的定義與物理意義：畢奧數比較固體內部導熱阻力與固體表面對流熱阻力；努塞爾數則衡量流體表面的對流傳熱相對於流體導熱的強弱。

解題方法與定義

畢奧數（Biot number）

其中，$h$ 為固體表面的對流熱傳係數，$L_c$ 為固體的特徵長度，$k_s$ 為固體熱傳導係數。常用特徵長度為 $L_c=V/A_s$，即固體體積除以與流體接觸的表面積。

由熱阻概念可看出：

因此，$\mathrm{Bi}$ 小表示固體內部導熱相對迅速，固體內部溫度差小；$\mathrm{Bi}$ 大則表示固體內部溫度梯度不可忽略。

努塞爾數（Nusselt number）

其中，$h$ 為流體與表面間的對流熱傳係數，$L$ 為流動或幾何問題所採用的特徵長度，$k_f$ 為流體熱傳導係數。

努塞爾數可視為：

$\mathrm{Nu}=1$ 對應特徵尺度上的純導熱基準；$\mathrm{Nu}$ 越大，表示對流相對於導熱越顯著。

兩者不同之處及應用

核心觀念

本題考查等溫平板外流的層流速度邊界層與熱邊界層，其相對厚度主要由普朗特數 $Pr$ 決定：

其中 $\nu$ 為動量擴散率，$\alpha$ 為熱擴散率。速度邊界層反映動量擴散，熱邊界層反映熱量擴散；兩者的相對厚度取決於這兩種擴散能力的比值。

解題方法

對平板層流，工程上常用的厚度比例關係為：

其中 $\delta$ 是速度邊界層厚度，$\delta_t$ 是熱邊界層厚度。據此比較 $Pr$ 與 1，即可判斷何者較厚：

核心觀念

對數平均溫差（log mean temperature difference，LMTD）是熱交換器分析中，用來代表兩流體沿設備長度方向溫差變化的平均溫差。它適用於穩定操作、總傳熱係數近似不變，且可由入口、出口溫度描述熱交換過程的情形。

令熱交換器兩端的局部溫差為 $\Delta T_1$、$\Delta T_2$，則：

熱交換量可表示為：

其中 $\dot Q$ 為熱傳率、$U$ 為總括傳熱係數、$A$ 為傳熱面積。此式中的 $\Delta T_{\mathrm{lm}}$ 不是兩端溫差的算術平均，而是由熱傳量沿傳熱面積積分後得到的等效平均溫差。

解題方法

熱交換器中，兩流體的局部溫差通常隨位置改變。以微小面積 $dA$ 為例：

在總括傳熱係數 $U$ 為常數，且流體熱容量率可視為固定時，沿熱交換器積分，可得端點溫差呈指數變化；將積分結果改寫成 $\dot Q=UA\Delta T_{\mathrm{lm}}$，便得到上述 LMTD 公式。

套用時，先依流型選定兩端的溫差：

• **逆流式：**兩端分別配對一端的熱流體入口與冷流體出口，以及另一端的熱流體出口與冷流體入口。
• **並流式：**兩端分別配對熱、冷流體各自的入口，以及熱、冷流體各自的出口。

將這兩個端點溫差代入 LMTD 公式，再用 $\dot Q=UA\Delta T_{\mathrm{lm}}$ 計算熱傳率或所需面積。多程或交叉流熱交換器若偏離理想逆流或並流，通常還需乘上溫差修正因子 $F$：