113 專技高考高等考試 冷凍空調工程技師 熱力學與熱傳學 考古題詳解

核心觀念

本題考查活塞—汽缸系統的幾何關係、彈簧力，以及邊界功的計算。氣體體積增加一倍，表示末態體積是初態的兩倍；活塞移動造成的體積變化為 $\Delta V=A x$。彈簧力則依胡克定律 $F=kx$ 計算。

題目另指出膨脹過程中氣體壓力保持定值，因此邊界功為定壓過程的面積：

解題方法

初態體積為 $V_1=0.04\ \mathrm{m^3}$，膨脹至原來的兩倍，因此

體積變化為

(1) 活塞移動距離

由 $\Delta V=A x$，其中活塞截面積 $A=0.27\ \mathrm{m^2}$：

活塞移動約 $0.148\ \mathrm{m}$，即 $14.8\ \mathrm{cm}$。

(2) 彈簧受力大小

彈簧係數為 $k=130\ \mathrm{kN/m}=130{,}000\ \mathrm{N/m}$。依胡克定律：

核心觀念

本題考查穩定流動裝置的能量方程式。蒸汽渦輪機可視為穩定流控制體，忽略熱傳、並以每單位質量表示能量時：

其中 $w_{\text{out}}$ 為渦輪機每單位質量的功輸出；下標 $1$、$2$ 分別代表入口與出口。各項單位統一為 $\mathrm{kJ/kg}$，因此動能項需除以 $1000$。

解題方法與計算

題目所稱「出入口的差異」，以下採入口減出口，亦即 $\Delta e=e_1-e_2$。

(1) 動能差異

負號表示出口蒸汽的動能較入口高；若以「出口減入口」表示，動能增加 $16.54\ \mathrm{kJ/kg}$。

(2) 位能差異

入口位置較高，因此入口位能較大。

(3) 每單位質量蒸汽所做的功

由穩定流能量方程式，忽略熱傳：

代入焓值及前兩小題結果：

核心觀念

本題考查熱引擎的熱效率、卡諾效率、最大可逆功，以及熵產生與不可逆損失。

熱引擎自高溫熱源吸收熱量 $Q_H$，輸出功 $W$，並將其餘熱量排至低溫環境：

若熱引擎可逆，最大熱效率為卡諾效率：

其中溫度須使用絕對溫標。可逆熱引擎可產生的最大功為：

解題方法

已知 $T_H=1200\ \mathrm{K}$、$Q_H=3200\ \mathrm{kW}$、環境溫度 $T_0=25+273.15=298.15\ \mathrm{K}$，題目所述實際輸出功為 $W=2000\ \mathrm{kW}$。

(1) 熱力效率

依熱效率定義：

因此熱力效率為 $62.5\%$。

(2) 最大可產生功

以環境作為低溫熱庫，依卡諾效率：

故最大功為：

(3) 不可逆率

不可逆率亦稱可用能毀滅率，可由實際功與最大可逆功之差求得：

核心觀念

本題考查一維穩態熱傳導。圓桿側面絕熱，兩端溫度固定，且材料熱傳導係數為常數、內部沒有熱源，因此溫度只沿桿長方向改變。依傅立葉定律，截面熱通量與溫度梯度成正比：

$q_x''=-k\frac{dT}{dx}$

負號表示熱量由高溫端傳往低溫端。

解題方法

令 $x=0$ 為 $700\,^\circ\mathrm{C}$ 端，$x=L=4\,\mathrm{m}$ 為 $25\,^\circ\mathrm{C}$ 端。穩態、無內部熱源且側面絕熱時，控制方程式為：

$\frac{d}{dx}\left(k\frac{dT}{dx}\right)=0$

因 $k=236\,\mathrm{W/(m\cdot K)}$ 為常數，化簡為：

$\frac{d^2T}{dx^2}=0$

積分兩次得：

$T(x)=C_1x+C_2$

套用邊界條件 $T(0)=700\,^\circ\mathrm{C}$、$T(4)=25\,^\circ\mathrm{C}$：

$C_2=700,\qquad C_1=\frac{25-700}{4}=-168.75\ \mathrm{K/m}$

因此溫度分布解析解為：

$\boxed{T(x)=700-168.75x\quad (^\circ\mathrm{C}),\quad 0\le x\le4\ \mathrm{m}}$

距高溫端 30 cm 處的溫度

此點座標為 $x=0.30\,\mathrm{m}$，代入溫度分布：

$T(0.30)=700-168.75(0.30)=649.375\,^\circ\mathrm{C}$

截面熱通量

溫度梯度為：

核心觀念

本題考查平板玻璃在穩態下的一維熱傳，以及玻璃內外表面的對流與玻璃本身導熱。穩態時，若忽略玻璃蓄熱及邊緣效應，穿過玻璃的熱通量在各處相同：

其中 $T_{s,o}$、$T_{s,i}$ 分別為玻璃戶外與室內表面溫度；$T_{\infty,o}$、$T_{\infty,i}$ 分別為戶外與室內流體溫度。

解題方法

已知玻璃厚度 $L=6\ \mathrm{mm}=0.006\ \mathrm{m}$，導熱係數 $k=1.0\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$。熱量由室內高溫側經玻璃傳向戶外低溫側。

(1) 玻璃戶外每單位面積被帶走的熱量

戶外表面的對流熱通量為：

代入 $h_o=210\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}$、$T_{s,o}=10\,^\circ\mathrm{C}$、$T_{\infty,o}=0\,^\circ\mathrm{C}$：

因此，戶外空氣每單位玻璃面積帶走的熱量率為 $2100\ \mathrm{W/m^2}$。

(2) 經過玻璃內部的傳導熱通量

依傅立葉定律，平板玻璃的傳導熱通量為：