113 年專技高考高等考試冷凍空調工程技師考古題與詳解

Question 1

具有黏度 $\mu$ 和密度 $\rho$ 的油液沿著一個寬為 $b$ 的垂直平板側面穩定地流下，如圖所示。油膜已完全發展，其厚度 $\delta$ 和速度分布 $w(x)$ 與沿著平板的距離 $z$ 無關。假設大氣對油膜表面沒有剪切阻力。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）請畫出速度分布示意圖及 $w(x)$ 的大致形狀，並列出速度 $w(x)$ 之邊界條件。（15 分）

（二）假設油膜厚度 $\delta$ 及壁面處的速度梯度分布 $\left(\frac{dw}{dx}\right)_{\mathrm{wall}}$ 已知，請找出 $\mu$ 與 $\rho$ 、 $\delta$ 、 $\left(\frac{dw}{dx}\right)_{\mathrm{wall}}$ 、 $g$ 之函數表達式。（請注意 $w$ 及 $\left(\frac{dw}{dx}\right)_{\mathrm{wall}}$ 均應為負值）（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 這題考垂直平板上穩定、完全發展的重力油膜流動。令 $x$ 自平板向外量，$z$ 軸向上，速度 $w(x)$ 沿 $z$ 方向；因油液向下流，膜內速度為負。完全發展表示 $w$ 與 $z$ 無關。 油膜自由表面為大氣壓，且大氣對表面沒有剪切阻力，因此沿流向的壓力梯度為零，表面剪應力也為零。 解題方法 沿 $z$ 方向的動量方程為 $$ 0=-\frac{dp}{dz}+\mu\frac{d^2w}{dx^2}-ho g. $$ 由 $\frac{dp}{dz}=0$，得 $$ \mu\frac{d^2w}{dx^2}=ho g. $$ 邊界條件為： - 平板壁面無滑動：$w(0)=0$。 - 自由表面無剪切：$	au{xz}=\mu\left.\frac{dw}{dx}ight|{x=\delta}=0$，故 $\left.\frac{dw}{dx}ight|{x=\delta}=0$。 積分並套用自由表面條件： $$ \frac{dw}{dx}=\frac{ho g}{\mu}(x-\delta). $$ 再套用壁面條件 $w(0)=0$： $$ w(x)=\frac{ho g}{2\mu}(x^2-2\delta x), \qquad 0\le x\le\delta. $$

Question 2

已知某管路系統包含一個泵、閥門、管道及接頭，且該系統的流量為 $0.02\,\mathrm{m^3/s}$ 、管徑為 $0.2\,\mathrm{m}$ 、管路入口能量損失係數為 $0.6$ 、出口能量損失係數為 $0.05$ 、閥門能量損失係數為 $0.75$ 、管路能量損失係數為 $0.02$ ，以及 $90^\circ$ 接頭的能量損失係數為 $0.8$ ，請計算泵所需提供的能量水頭（以公尺為單位）。（25 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考泵浦系統的能量方程式。泵浦需提供的水頭，等於兩端水面的高程差，加上管路沿程損失與各局部損失： $$ Hp=\Delta z+\left(f\frac{L}{D}+\sum K\right)\frac{V^2}{2g} $$ 其中 $f=0.02$ 為題目給定的管路能量損失係數，$K$ 為入口、出口、閥門及 $90^\circ$ 接頭的局部損失係數。 解題方法 由圖中管徑 $D=0.2\,\mathrm{m}$、流量 $Q=0.02\,\mathrm{m^3/s}$，先求管內平均流速： $$ V=\frac{Q}{A} =\frac{0.02}{\pi(0.2)^2/4} =0.637\,\mathrm{m/s} $$ $$ \frac{V^2}{2g} =\frac{(0.637)^2}{2(9.81)} =0.0207\,\mathrm{m} $$ 圖示管段長度合計為

Question 3

如下圖兩個相同 U 型管壓力計，左側壓力計中含有 $80^\circ\mathrm{C}$ 的水，右側壓力計中含有 $20^\circ\mathrm{C}$ 的水，兩者受壓如圖所示。

（一）請計算兩個壓力計讀數差異的百分比。（以含 $20^\circ\mathrm{C}$ 水之壓力計讀數為基準）（15 分）

（二）兩個壓力計量得之壓力差是否隨著 $P_1$ 的變化而改變？（10 分）

（假設水於 $20^\circ\mathrm{C}$ 及 $80^\circ\mathrm{C}$ 密度分別是 $\rho_{20w}=998\,\mathrm{kg/m^3}$ 、 $\rho_{80w}=972\,\mathrm{kg/m^3}$ ）

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Accepted Answer

核心觀念 U 型管壓力計在靜止流體中遵守流體靜力平衡。若一側受大氣壓 $P{\mathrm{atm}}$，另一側受壓力 $P1$，兩側液面高差為 $h$，則 $$ P1-P{\mathrm{atm}}=ho gh $$ 因此，在相同壓差下，液體密度較小，液面高差較大。圖中的 $h{80}$、$h{20}$ 是兩壓力計的液面高差。 解題方法 兩個壓力計承受相同的壓差 $P1-P{\mathrm{atm}}$，所以 $$ ho{80}gh{80}=ho{20}gh{20} $$ 整理得 $$ \frac{h{80}}{h{20}} =\frac{ho{20}}{ho{80}} =\frac{998}{972} $$ 以 $20^\circ\mathrm{C}$ 壓力計的液面高差 $h{20}$ 為基準，讀數差異百分比為 $$ \frac{h{80}-h{20}}{h{20}}	imes100\% =\left(\frac{998}{972}-1ight)	imes100\% \approx 2.67\% $$ 因此，$80^\circ\mathrm{C}$ 水的壓力計液面高差比 $20^\circ\mathrm{C}$ 水的讀數大約 $2.67\%$。 （二）$P1$ 改變時的影響 由壓力計平衡式，

Question 4

如圖所示的泵使用輕原油為工作流體，其密度為 $850\,\mathrm{kg/m^3}$ ，泵之入口壓力為 $-14\,\mathrm{kPa}$ ，出口壓力為 $70\,\mathrm{kPa}$ ，入口管徑 $10\,\mathrm{cm}$ ，出口管徑 $4\,\mathrm{cm}$ ，流量為 $0.9\,\mathrm{m^3/min}$ 。請計算：

（一）泵所產生的揚程。（15 分）

（二）在 $85\%$ 效率下的輸入功率（單位以 $\mathrm{W}$ 表示）。（10 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考泵的揚程與效率。泵揚程 $Hp$ 是流體通過泵後增加的總水頭，包含壓力水頭、速度水頭及位置水頭的變化： $$ Hp=\frac{p2-p1}{ho g} +\frac{V2^2-V1^2}{2g} +(z2-z1) $$ 圖中出口中心線（2）比入口中心線（1）高 $80\,\mathrm{cm}$，故 $z2-z1=0.80\,\mathrm{m}$。輸入功率則由泵效率定義求得： $$ \eta=\frac{	ext{流體獲得的功率}}{	ext{輸入功率}} =\frac{ho gQHp}{P{\mathrm{in}}} $$ 解題方法 先將流量換算為秒流量，並依各管徑求平均流速： $$ Q=0.9\,\frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{min}} =\frac{0.9}{60} =0.015\,\mathrm{m^3/s} $$ $$ A1=\frac{\pi(0.10)^2}{4},\qquad V1=\frac{Q}{A1}=1.910\,\mathrm{m/s} $$ $$ A2=\frac{\pi(0.04)^2}{4},\qquad V2=\frac{Q}{A2}=11.937\,\mathrm{m/s} $$ 入口壓力為 $-14\,\mathrm{kPa}$，出口壓力為 $70\,\mathrm{kPa}$，因此壓力差為：

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