109 專技高考高等考試 冷凍空調工程技師 流體力學與流體機械 考古題詳解

核心觀念

本題利用兩個關係求水位停止上升時的高度：

1. 空氣等溫壓縮，依波以耳定律，絕對壓力與體積乘積不變： $P_1V_1=P_2V_2$
2. 水槽底部的靜水壓力等於上方空氣壓力加上水柱壓力： $P_{\text{底}}=P_{\text{氣}}+\rho gH$

水位停止上升時，泵出口壓力與水槽底部壓力平衡。

解題方法

水槽為圓柱形，截面積為 $A$。初始空氣高度為 $0.80\ \mathrm{m}$，水深為 $0.40\ \mathrm{m}$，所以槽內總高度為 $1.20\ \mathrm{m}$。

設水位停止上升時的水深為 $H$，則空氣高度為 $1.20-H$。初、末空氣體積分別為 $0.80A$ 與 $(1.20-H)A$。代入等溫壓縮關係，截面積 $A$ 可約去：

因此：

平衡時，泵出口壓力 $160\ \mathrm{kPa(abs)}$ 等於槽底壓力：

核心觀念

本題評量重點為流體機械之泵相似定律（Pump Affinity Laws / Similarity Laws）。

在滿足幾何相似（Geometric Similarity）與運動相似（Kinematic Similarity）的前提下，原型（Prototype，標註下標 $p$）與模型（Model，標註下標 $m$）操作於相同效率點時，其對應的無因次參數維持定值：

1. 流量係數（Capacity / Flow Coefficient, $C_Q$）： $C_Q = \frac{Q}{N D^3} = \text{常數}$ 其中 $Q$ 為體積流量（$\mathrm{m^3/s}$）、$N$ 為轉速（$\mathrm{rpm}$）、$D$ 為葉輪外徑（$\mathrm{m}$）。

2. 水頭係數（Head Coefficient, $C_H$）： $C_H = \frac{g H}{N^2 D^2} = \text{常數}$ 在相同重力加速度場 $g$ 之下，可簡化為： $\frac{H}{N^2 D^2} = \text{常數}$ 其中 $H$ 為揚程／水頭提升高度（$\mathrm{m}$）。

解題方法

1. 整理已知條件

• 原型泵（Prototype, $p$）：
• 葉輪直徑 $D_p = 1.5\ \mathrm{m}$
• 流量 $Q_p = 8\ \mathrm{m^3/s}$
• 轉速 $N_p = 1500\ \mathrm{rpm}$
• 水頭提升 $H_p = 250\ \mathrm{m}$
• 縮小模型泵（Model, $m$）：
• 幾何縮小比例 $\frac{D_m}{D_p} = \frac{1}{6}$（即 $D_m = \frac{1.5}{6} = 0.25\ \mathrm{m}$）
• 操作轉速相同 $N_m = N_p = 1500\ \mathrm{rpm}$（即 $\frac{N_m}{N_p} = 1$）

2. 計算縮小模型之操作流量（$Q_m$）

由流量係數守恆關係式： $\frac{Q_m}{Q_p} = \left(\frac{N_m}{N_p}\right) \left(\frac{D_m}{D_p}\right)^3$

代入已知數據： $\frac{Q_m}{8} = (1) \times \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216}$

$Q_m = 8 \times \frac{1}{216} = \frac{1}{27}\ \mathrm{m^3/s} \approx 0.03704\ \mathrm{m^3/s}\quad (\text{或約 } 37.04\ \mathrm{L/s})$

核心觀念

本題用連續方程式與伯努力方程式。水由圓管向上噴出，在圓板下方轉為軸對稱的徑向薄層流，最後由圓板邊緣排至大氣。

假設流動穩定、忽略能量損失，且管口與圓板邊緣的壓力均為大氣壓。圓板邊緣的出流面積為圓周長乘以薄層厚度。

解題方法

令管口噴流速度為 $V_1$，圓板邊緣徑向流速為 $V_2$，體積流率為 $Q$。

圓管出口面積為

圓板邊緣的環形出流面積為

由連續方程式，

因此

在管口與圓板邊緣間套用伯努力方程式。圓板邊緣比管口高 $0.4\ \mathrm{m}$，兩處皆為大氣壓：

代入 $V_2=V_1/2.4$：

核心觀念

本題考驗流體機械中**衝擊式水輪機（Impulse Turbine，即佩爾頓式水輪機 Pelton Wheel Turbine）**之基本水力計算、動量推力方程式及能量轉換效率，包含以下核心公式與觀念：

1. 連續方程式（體積流率）： $Q = A \cdot V_1 = \frac{\pi}{4} d^2 V_1$ 式中 $d$ 為噴嘴直徑，$V_1$ 為射流出口速度。

2. 動量方程式與理論輸出功（Euler 水輪機方程式）： 射流以速度 $V_1$ 衝擊周速為 $u$ 的輪葉，相對速度大小為 $W_1 = V_1 - u$。若忽視輪葉摩擦阻力，出口相對速度 $W_2 \approx W_1$。水流偏轉角為 $\beta$，輪葉受力為： $F = \dot{m} (V_1 - u)(1 - \cos\beta) = \rho Q (V_1 - u)(1 - \cos\beta)$ 水輪機獲得之理論輪葉功率（推力功）為： $P = F \cdot u = \rho Q (V_1 - u)u(1 - \cos\beta)$

3. 最佳周速與轉速條件： 將功率 $P$ 對周速 $u$ 微分求極大值（$\frac{dP}{du} = 0$），可推得最佳周速條件為： $u = \frac{V_1}{2}$ 再透過周速與轉速公式求出最佳轉速 $N$（$\mathrm{rpm}$）： $u = R \omega = R \left(\frac{2\pi N}{60}\right)$

4. 水輪機總效率與輸出軸功： 射流進入水輪機之總可用動能率（水力輸入功率）為： $P_{in} = \frac{1}{2}\dot{m}V_1^2 = \frac{1}{2}\rho Q V_1^2$ 由水輪機效率 $\eta = \frac{P_{shaft}}{P_{in}}$，可求得實際輸出軸功 $P_{shaft}$。

解題方法

(一) 計算經過水輪機之體積流率 $Q$

1. 噴嘴射流截面積 $A$： 噴嘴出口直徑 $d = 12\ \mathrm{cm} = 0.12\ \mathrm{m}$。 $A = \frac{\pi}{4} d^2 = \frac{\pi}{4} \times (0.12)^2 = 0.0036\pi \approx 0.01131\ \mathrm{m^2}$

2. 體積流率 $Q$： 射流速度 $V_1 = 120\ \mathrm{m/s}$。 $Q = A \cdot V_1 = 0.0036\pi \times 120 = 0.432\pi \approx 1.357\ \mathrm{m^3/s}$

(二) 計算水輪最佳轉速 $N$

1. 求最佳周速 $u$： 水流對輪葉所作之推力功為： $P = \rho Q (V_1 - u)u(1 - \cos\beta)$ 欲使輸出功最大，對 $u$ 進行一階微分： $\frac{dP}{du} = \rho Q (1 - \cos\beta)(V_1 - 2u) = 0$ 得最佳輪葉切線周速為： $u = \frac{V_1}{2} = \frac{120}{2} = 60\ \mathrm{m/s}$

2. 換算最佳轉速 $N$（$\mathrm{rpm}$）： 水輪平均半徑 $R = 2\ \mathrm{m}$，切線速度與角速度關係為 $u = R \omega$： $60 = 2 \times \left(\frac{2\pi N}{60}\right) = \frac{4\pi N}{60} = \frac{\pi N}{15}$ $N = \frac{60 \times 15}{\pi} = \frac{900}{\pi} \approx 286.48\ \mathrm{rpm}$

(三) 計算輸出軸功 $P_{shaft}$

取常溫水密度 $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$。