109 專技高考高等考試 冷凍空調工程技師 電工學（包括電機機械） 考古題詳解

核心觀念

電感電流與電容電壓不能在瞬間突變，因此：

先求 $t<0$ 的直流穩態，再用這兩個初始條件求 $t=0^+$ 的電感電壓。

解題方法

在 $t<0$ 時，$u(t)=0$，左側電流源為 $0\text{ A}$。直流穩態下，電感視為短路，電容視為開路，因此電感上端節點電壓為 $0\text{ V}$。

右側 $50\text{ V}$ 電源經過 $10\,\Omega$ 與 $40\,\Omega$ 電阻串聯，電流為

電容上端節點電壓為 $40\,\Omega$ 電阻上的壓降：

該 $1\text{ A}$ 電流由電容上端節點流向電感上端，再向下流過電感。因此，若將電感電流方向取為向下，則 $i_L(0^-)=1\text{ A}$。

核心觀念

本題考查理想運算放大器的虛短特性、電容在正弦穩態下的阻抗，以及交流相量節點分析。

理想運算放大器在負回授且未飽和時，兩輸入端電壓相等，且輸入端電流為零。圖中非反相端接地，因此反相端節點 2 為虛地：

電容的相量電流為 $j\omega C\tilde V$。本題 $\omega=1000\ \mathrm{rad/s}$，所以：

解題方法

以節點 2 的虛地條件，先對節點 2 寫 KCL，求出 $\tilde v_o$ 與 $\tilde v_1$ 的關係；再對節點 1 寫 KCL，即可求出兩個相量。

1. 節點 2 的 KCL

節點 2 經 $10\,\mathrm{k}\Omega$ 電阻接至節點 1，並經 $0.1\,\mu\mathrm F$ 電容接至輸出端。由於運算放大器輸入電流為零：

代入 $\omega=1000$：

整理得：

2. 節點 1 的 KCL

輸入電壓 $v_s=3\cos1000t$，其相量為 $\tilde v_s=3\angle0^\circ\ \mathrm V$。

核心觀念

1. 變壓器效率公式： 變壓器的效率 $\eta$ 定義為輸出有效功率與輸入有效功率之比值： $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}} \times 100\% = \frac{P_{out}}{P_{out} + P_{loss}} \times 100\% = \frac{m S \cos\theta}{m S \cos\theta + P_i + m^2 P_{cu,FL}} \times 100\%$ 其中：

• $S$：變壓器額定容量（$\mathrm{VA}$）
• $m$：負載率（實際負載電流與額定負載電流之比值，滿載時 $m = 1$）
• $\cos\theta$：負載功率因數
• $P_i$：鐵損（Core Loss），屬於固定損（No-load Loss），大小與激磁電壓成正比，與負載電流無關
• $P_{cu,FL}$：滿載銅損（Full-load Copper Loss），負載率為 $m$ 時的銅損為 $P_{cu} = m^2 P_{cu,FL}$

2. 最大效率發生條件： 對效率公式針對負載率 $m$ 微分並令其等於零（$\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}m} = 0$），可導得當**變動損（銅損）等於固定損（鐵損）**時，變壓器具有最大效率： $m^2 P_{cu,FL} = P_i \implies m = \sqrt{\frac{P_i}{P_{cu,FL}}}$

解題方法

(一) 求滿載時之效率（$\eta_{FL}$）

1. 計算滿載輸出功率（$P_{out,FL}$）： 滿載時負載率 $m = 1$，額定容量 $S = 20\ \mathrm{kVA} = 20,000\ \mathrm{VA}$，功率因數 $\cos\theta = 0.8$： $P_{out,FL} = S \times \cos\theta = 20,000 \times 0.8 = 16,000\ \mathrm{W}$

2. 計算滿載總損失（$P_{loss,FL}$）： 滿載時的總損失為鐵損與滿載銅損之和： $P_{loss,FL} = P_i + P_{cu,FL} = 75 + 300 = 375\ \mathrm{W}$

3. 計算滿載效率（$\eta_{FL}$）： $\eta_{FL} = \frac{P_{out,FL}}{P_{out,FL} + P_{loss,FL}} \times 100\% = \frac{16,000}{16,000 + 375} \times 100\% = \frac{16,000}{16,375} \times 100\% \approx 97.71\%$

(二) 求變壓器之最大效率（$\eta_{max}$）

核心觀念

本題評量三相同步電動機（Synchronous Motor）之基本運轉特性與相量分析，主要涵蓋三大核心觀念：

1. 同步轉速（Synchronous Speed）： 同步電動機穩態運轉時，轉子轉速嚴格等於定子旋轉磁場的同步轉速 $n_s$，其大小由電源頻率 $f$ 與電動機極數 $P$ 決定： $n_s = \frac{120 f}{P}\quad (\mathrm{rpm})$

2. 輸出轉矩（Output Torque）： 在忽略所有損失（鐵損、機械摩擦損、雜散損等）的理想條件下，電動機之電磁功率（內部生成功率）等於輸入實功率，亦等於軸端輸出機械功率（$P_{out} = P_{in} = P$）。輸出轉矩 $T_{out}$ 為功率除以轉子機械角速度 $\omega_m$： $T_{out} = \frac{P_{out}}{\omega_m} = \frac{P_{out}}{\frac{2\pi n_s}{60}}$

3. 同步電動機之相量關係與內部生成電壓（Internal Generated Voltage）： 依據同步電動機之單相等效電路，端電壓 $\mathbf{V}_\phi$、內部生成電壓（或稱激磁反電勢）$\mathbf{E}_A$、電樞電流 $\mathbf{I}_A$ 與同步阻抗之關係為： $\mathbf{V}_\phi = \mathbf{E}_A + \mathbf{I}_A (R_a + j X_s)$ 當電樞電阻可忽略（$R_a = 0$）時： $\mathbf{E}_A = \mathbf{V}_\phi - j X_s \mathbf{I}_A$ 若採用標麼系統（Per-Unit System），計算將大為簡化。額定視在功率為基準容量 $S_{base} = \frac{P_{rated}}{pf}$；當功率因數為領先（leading）時，電流相量超前於端電壓相量（$\mathbf{I}_A$ 之相角為正）。

解題方法

(一) 求電動機之轉速

1. 已知條件：電源頻率 $f = 400\ \mathrm{Hz}$，極數 $P = 4$。
2. 計算同步轉速： $n_s = \frac{120 \times f}{P} = \frac{120 \times 400}{4} = 12000\ \mathrm{rpm}$

以角速度表示： $\omega_m = \frac{2\pi n_s}{60} = \frac{2\pi \times 12000}{60} = 400\pi \approx 1256.64\ \mathrm{rad/s}$

(二) 求額定狀況下電動機之輸出轉矩

1. 已知條件：額定輸出實功率 $P = 170\ \mathrm{kW} = 170000\ \mathrm{W}$，忽略所有機械與電氣損失，故機械輸出功率 $P_{out} = 170\ \mathrm{kW}$。
2. 計算輸出轉矩 $T_{out}$： $T_{out} = \frac{P_{out}}{\omega_m} = \frac{170000}{400\pi} = \frac{425}{\pi} \approx 135.28\ \mathrm{N\cdot m}$

(三) 求額定狀況下電動機之內部生成電壓

本小題提供「標麼值法」與「實效值法」兩種推導路徑，兩者結果完全一致。

方法一：標麼值法（最簡捷）

1. 訂定基準量：

• 額定三相視在功率為基準容量： $S_{base} = \frac{P_{rated}}{pf} = \frac{170\ \mathrm{kW}}{0.85} = 200\ \mathrm{kVA}$
• 額定線電壓為基準電壓：$V_{base} = 460\ \mathrm{V}$
• 端電壓標麼值設為參考相量： $\mathbf{V}_{\phi,pu} = 1.0\angle 0^\circ\ \mathrm{pu}$

2. 電樞電流標麼值： 在額定負載下，電流大小為 $1.0\ \mathrm{pu}$。因功率因數為 $0.85$ 領先（leading），故電流相角為正： $\theta = \cos^{-1}(0.85) \approx +31.79^\circ$ $\mathbf{I}_{pu} = 1.0\angle +31.79^\circ\ \mathrm{pu} = 0.85 + j 0.5268\ \mathrm{pu}$

3. 計算內部生成電壓標麼值 $\mathbf{E}_{A,pu}$： 題目給定同步電抗標麼值 $X_{s,pu} = 0.9\ \mathrm{pu}$，電樞電阻忽略（$R_a = 0$）： $\mathbf{E}_{A,pu} = \mathbf{V}_{\phi,pu} - j X_{s,pu} \mathbf{I}_{pu}$ $\mathbf{E}_{A,pu} = 1.0\angle 0^\circ - j(0.9)(0.85 + j 0.5268)$ $\mathbf{E}_{A,pu} = 1.0 - j 0.765 + 0.4741 = 1.4741 - j 0.765\ \mathrm{pu}$

4. 求取大小與相角（功角 $\delta$）： $|\mathbf{E}_{A,pu}| = \sqrt{1.4741^2 + (-0.765)^2} = \sqrt{2.1730 + 0.5852} = \sqrt{2.7582} \approx 1.6608\ \mathrm{pu}$ $\delta = \tan^{-1}\left(\frac{-0.765}{1.4741}\right) \approx -27.43^\circ$

5. 換算回實際電壓值：

• 相電壓（單相內部生成電壓）： $E_{A(\text{相})} = |\mathbf{E}_{A,pu}| \times \frac{V_{base}}{\sqrt{3}} = 1.6608 \times \frac{460}{\sqrt{3}} \approx 1.6608 \times 265.58 \approx 441.08\ \mathrm{V}$
• 線電壓（內部生成線電壓）：

核心觀念

本題評量三相同步發電機並聯運轉時之交流電路功率計算與負載特性分析，主要涵蓋以下核心觀念與公式：

1. 三相平衡系統之功率定義： 設線電壓為 $V_L$、線電流為 $I_L$、負載功率因數角為 $\theta$：

• 有效功率（Active Power）： $P = \sqrt{3} V_L I_L \cos\theta$
• 無效功率（Reactive Power）： $Q = \sqrt{3} V_L I_L \sin\theta$
• 視在功率（Apparent Power）： $S = \sqrt{3} V_L I_L = \sqrt{P^2 + Q^2}$

2. 多電源並聯系統功率守恆定律： 在同一交流電力系統中，並聯發電機所供應的總功率等於各發電機功率之向量和（即各發電機供應量之代數和）：

• 總有效功率：$P_T = P_1 + P_2$
• 總無效功率：$Q_T = Q_1 + Q_2$
• 總視在功率：$S_T = \sqrt{P_T^2 + Q_T^2}$
• 整體負載功率因數：$pf_T = \cos\theta_T = \frac{P_T}{S_T}$

3. 同步發電機並聯運轉特性：

• 有效功率分配：由原動機的轉速－功率下垂特性（Speed Droop Characteristic）與調速機（Governor）設定決定。題目指出「兩部發電機之原動機有不同之轉速特性」，故兩者分擔之有效功率與線電流不相等。
• 無效功率分配：由勵磁系統（磁場電流 $I_f$）與發電機內電勢決定。

解題方法

並聯運轉於同一負載時，兩部發電機之端線電壓皆等於系統額定電壓 $V_L = 1200\ \mathrm{V}$。

(一) 計算兩部發電機分別供應之有效功率與無效功率

1. 第一部發電機（$G_1$）：

• 已知條件：$I_{L1} = 1200\ \mathrm{A}$，功率因數 $\cos\theta_1 = 0.9$（落後）
• 無效功率因數： $\sin\theta_1 = \sqrt{1 - \cos^2\theta_1} = \sqrt{1 - 0.9^2} = \sqrt{0.19} \approx 0.4359$
• 有效功率 $P_1$： $P_1 = \sqrt{3} \times V_L \times I_{L1} \times \cos\theta_1 = \sqrt{3} \times 1200 \times 1200 \times 0.9 = 1296\sqrt{3}\ \mathrm{kW} \approx 2244.74\ \mathrm{kW}$
• 無效功率 $Q_1$（感性落後，供應正無效功率）： $Q_1 = \sqrt{3} \times V_L \times I_{L1} \times \sin\theta_1 = \sqrt{3} \times 1200 \times 1200 \times \sqrt{0.19} \approx 1087.18\ \mathrm{kVAR}$

2. 第二部發電機（$G_2$）：

• 已知條件：$I_{L2} = 900\ \mathrm{A}$，功率因數 $\cos\theta_2 = 0.75$（落後）
• 無效功率因數： $\sin\theta_2 = \sqrt{1 - \cos^2\theta_2} = \sqrt{1 - 0.75^2} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \approx 0.6614$
• 有效功率 $P_2$： $P_2 = \sqrt{3} \times V_L \times I_{L2} \times \cos\theta_2 = \sqrt{3} \times 1200 \times 900 \times 0.75 = 810\sqrt{3}\ \mathrm{kW} \approx 1402.96\ \mathrm{kW}$
• 無效功率 $Q_2$：