109 專技高考高等考試 冷凍空調工程技師 熱力學與熱傳學 考古題詳解

核心觀念

本題考查理想氣體的卡諾循環，包括等溫過程的熱與功、可逆絕熱過程的溫度與容積關係，以及熱效率定義。採用系統對外作功為正、系統吸熱為正的符號約定；循環一周後，工作流體回到初態，故 $\Delta U_{\text{cycle}}=0$，淨熱量等於淨功。

四個過程依序為：

1. 等溫膨脹：$1\to2$，溫度 $T_H=80^\circ\mathrm C=353.15\ \mathrm K$
2. 絕熱膨脹：$2\to3$，終溫 $T_C=-5^\circ\mathrm C=268.15\ \mathrm K$
3. 等溫壓縮：$3\to4$，溫度 $T_C$
4. 絕熱壓縮：$4\to1$，回到溫度 $T_H$

空氣視為理想氣體，使用 $R=0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$。溫差用攝氏度或開爾文數值相同，但氣體狀態方程與卡諾效率須使用絕對溫度。

解題方法

1. 求空氣質量

由狀態 1 的理想氣體方程：

其中 $1\ \mathrm{kPa\cdot m^3}=1\ \mathrm{kJ}$。

2. 等溫膨脹 $1\to2$

理想氣體等溫過程的內能變化為零，因此 $Q_{12}=W_{12}$。可逆等溫功為：

所以：

3. 絕熱膨脹 $2\to3$

絕熱過程 $Q_{23}=0$。由封閉系統第一定律 $\Delta U=Q-W$，且理想氣體 $\Delta U=mc_v(T_3-T_2)$：

題目未另給比熱；以空氣常用定值比熱 $c_v=0.718\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$ 計算：

因此 $Q_{23}=0$。

4. 求狀態 3、4 的容積比

卡諾循環的兩段可逆絕熱過程連結高、低溫熱源；由 $TV^{\gamma-1}=\text{定值}$，或等價地配合兩段絕熱關係，可得：

核心觀念

本題考查穩態穩流系統的流動功，以及質量流率、比容與體積流率的關係。題目給定流體遵循 $Pv^2=\text{常數}$，因此可由進出口壓力求出口比容，再由穩流能量方程計算單位質量的功。

「無摩擦損失」表示不計摩擦造成的能量損失；題目另已指出進出口的高度與速度變化可忽略，故位能與動能變化均為零。

解題方法

入口比容為密度的倒數：

由 $Pv^2=\text{常數}$，進出口滿足：

代入 $P_1=400\ \text{kPa}$、$P_2=100\ \text{kPa}$：

所以出口比容為 $0.4\ \text{m}^3/\text{kg}$。

穩流、可逆且無摩擦損失時，單位質量的軸功輸出為：

負號表示系統對外輸出功。由狀態關係式，

因此：

核心觀念

本題考查圓柱外部強制對流，以及金屬線內部均勻發熱時的能量平衡。

外部對流係數由 Nusselt 數定義求得：

$Nu_d=\frac{hd}{k_{\mathrm{air}}}$

其中雷諾數與普朗特數分別為：

本題給定的 Nusselt 數關係式為 $Nu_d=0.43Re_d^{0.6}Pr^{0.4}$。

解題方法

（一）求空氣與金屬線外壁間的熱對流係數

取金屬線直徑 $d=0.02\ \mathrm{m}$。先由空氣性質計算雷諾數：

再計算普朗特數：

代入題目給定的關係式：

由 $Nu_d=hd/k_{\mathrm{air}}$ 得：

核心觀念

本題考查平壁的一維穩態熱傳，以及多層材料的串聯熱阻。各層接觸良好、沒有熱生成且達穩態時，熱流率密度 $q''$ 在各層相同；總熱阻為各層熱阻相加：

其中 $R''$ 是以單位面積計算的熱阻，單位為 $\text{m}^2\cdot\text{K/W}$。題目未給爐壁面積，因此可求的是熱傳量密度 $q''$，單位為 $\text{W/m}^2$；若已知面積 $A$，總熱傳率為 $\dot Q=q''A$。

解題方法

將防火磚、空氣間隙及鋼鐵視為平壁串聯熱阻。由已知兩端溫度差計算總熱阻；第二小題則先由實測熱流密度求總熱阻，再扣除防火磚與鋼鐵的熱阻，反算空氣間隙厚度。

（一）兩層間沒有間隙

兩端溫度差為：

防火磚與鋼鐵的單位面積熱阻分別為：

兩層串聯的總熱阻：

因此熱傳量密度為：

（二）有空氣間隙，實際熱傳量密度為 $1100\ \text{W/m}^2$

由實測熱流密度反算整面爐壁的單位面積總熱阻：

核心觀念

熱力學第零定律指出：若系統 $A$ 與系統 $C$ 分別處於熱平衡，且系統 $B$ 與系統 $C$ 也處於熱平衡，則系統 $A$ 與系統 $B$ 必互相處於熱平衡。

以符號表示：

這裡的「熱平衡」表示系統接觸時，彼此之間沒有淨熱量傳遞。

解題方法與重要性

作答時先陳述上述熱平衡的傳遞性，再說明它建立了溫度的物理意義：凡與同一參考系統達到熱平衡的物體，具有相同的溫度。溫度計就是利用這項原理，先與待測物達到熱平衡，再依溫度計的示值判定待測物溫度。

第零定律雖然以第一、第二定律之後的編號命名，卻是溫度測量與溫標建立的基礎；沒有它，就無法合理地用溫度計比較不同系統的熱狀態。

解題技巧

簡答題須同時交代兩部分：熱平衡關係的傳遞性，以及它使溫度測量與溫標建立成為可能。只寫定律敘述而未說明重要性，容易漏掉題目後半的配分。

（二）水的壓力－溫度圖

核心觀念

水的壓力－溫度圖（$P$–$T$ 圖）呈現固相、液相與氣相的穩定區域及其相界線。三條相界線為：

核心觀念

本題考查 Bi 數與 Nu 數的定義，以及兩者分別描述的熱傳現象。兩者都含有對流熱傳係數 $h$，但分母使用的熱導率不同，所代表的物理意義也不同。

定義與物理意義

**Biot 數（Bi）**定義為固體內部導熱熱阻與固體表面對流熱阻之比：

其中，$h$ 為固體表面的對流熱傳係數，$L_c$ 為固體的特徵長度，常取 $V/A_s$，$k_s$ 為固體熱導率。

Bi 數用來判斷固體內部是否會產生明顯溫度梯度。Bi 數小，代表固體內部導熱相對迅速，固體內部溫度較均勻；在集總熱容量分析中，通常以 $\mathrm{Bi}<0.1$ 作為固體內部溫度可近似均勻的判準。

**Nusselt 數（Nu）**定義為流體邊界層中的對流熱傳與導熱之比：

其中，$L$ 為流體側的特徵長度，$k_f$ 為流體熱導率。Nu 數表示對流熱傳相較於流體內純導熱的強弱；Nu 越大，代表對流造成的熱傳增強越明顯。