110 專技高考高等考試 冷凍空調工程技師 熱力學與熱傳學 考古題詳解

110 年・專技高考・高等考試・冷凍空調工程技師
試題代碼 熱力學與熱傳學

第 一 題20 分

試解釋下列熱力或熱傳遞物理名詞及其意義；如果有公式，請一併列出：

(一) 焓
(二) 潛熱
(三) 熱阻
(四) Biot number

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核心觀念

本題考查熱力學的狀態量與相變能量，以及熱傳學中的熱阻模型與集總系統適用判準。作答時應明確寫出物理意義、常用公式與各符號的單位或定義。

解題方法

（一）焓

焓是由內能與流動功組成的熱力學狀態量，定義為

H=U+pVH=U+pV

以單位質量表示為比焓：

h=u+pvh=u+pv

其中 UU、uu 分別為總內能與比內能，pp 為壓力，VV、vv 分別為總體積與比容。焓常用於分析開放系統；在穩定流動過程中，流體帶入或帶出的能量包含內能及推動流體進出控制體所需的流動功，因此以焓表示較為方便。比焓的 SI 單位為 kJ/kg\mathrm{kJ/kg}。

（二）潛熱

潛熱是物質發生相變時，在溫度不變或近似不變的條件下，單位質量所吸收或放出的熱量。常見相變包括熔化、凝固、汽化與凝結。

相變熱量可寫為

Q=mLQ=mL

其中 QQ 為熱量、mm 為質量、LL 為該相變的比潛熱，單位通常為 kJ/kg\mathrm{kJ/kg}。例如汽化潛熱表示液體在特定壓力下變為蒸氣所需吸收的熱量；反向凝結時則放出相同大小的潛熱。

（三）熱阻

熱阻是衡量熱傳遞對熱流阻礙程度的量，定義為溫差與熱傳率之比：

Rth=ΔTQ˙R_{\mathrm{th}}=\frac{\Delta T}{\dot Q}

其中 ΔT\Delta T 為熱傳方向兩端的溫差，Q˙\dot Q 為熱傳率；熱阻單位為 K/W\mathrm{K/W}。在穩態一維熱傳中，可用熱阻網路表示熱流：

Q˙=ΔTRth\dot Q=\frac{\Delta T}{R_{\mathrm{th}}}

常見熱阻包括：

  • 平壁導熱：Rcond=LkAR_{\mathrm{cond}}=\dfrac{L}{kA}
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第 二 題15 分

考慮一個熱力循環（thermodynamic cycle）是由四個過程所組成，而這四個過程中，封閉系統與環境之間的熱交換為 Q1=10 kJQ_1=10\ \mathrm{kJ}、Q2=30 kJQ_2=30\ \mathrm{kJ}、Q3=−5 kJQ_3=-5\ \mathrm{kJ}、Q4=−5 kJQ_4=-5\ \mathrm{kJ}。

在第一、第二及第三個過程中，這個系統的能量變化分別為 25 kJ25\ \mathrm{kJ}、10 kJ10\ \mathrm{kJ} 及 −15 kJ-15\ \mathrm{kJ}。

(一) 請問熱力學第一定律，也就是能量守恆定律的公式為何？

(二) 第四個過程的功是多少？

(三) 整個熱力循環最後產生的淨功是多少？

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核心觀念

本題考熱力學第一定律在封閉系統中的能量平衡，以及循環過程的狀態性質。採用「熱量 QQ 流入系統為正、系統對外作功 WW 為正」的符號慣例。

封閉系統的第一定律為：

ΔE=Q−W\Delta E = Q-W

其中 ΔE\Delta E 是系統總能量變化，QQ 是熱量，WW 是系統對外作功。若以內能、動能與位能表示，則 ΔE=ΔU+ΔKE+ΔPE\Delta E=\Delta U+\Delta KE+\Delta PE。

解題方法

（一）熱力學第一定律

ΔE=Q−W\boxed{\Delta E=Q-W}

也可改寫為 Q=ΔE+WQ=\Delta E+W。

（二）第四個過程的功

熱力循環完成後，系統回到初始狀態，因此四個過程的能量變化總和為零：

ΔE1+ΔE2+ΔE3+ΔE4=0\Delta E_1+\Delta E_2+\Delta E_3+\Delta E_4=0

代入已知值：

25+10−15+ΔE4=025+10-15+\Delta E_4=0 ΔE4=−20 kJ\Delta E_4=-20\ \mathrm{kJ}

第四個過程套用第一定律 ΔE4=Q4−W4\Delta E_4=Q_4-W_4：

−20=−5−W4-20=-5-W_4

所以：

W4=15 kJ\boxed{W_4=15\ \mathrm{kJ}}
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第 三 題10 分

考慮一個牆壁，其高為 1 m1\ \mathrm{m}、寬為 3 m3\ \mathrm{m}、厚為 0.2 m0.2\ \mathrm{m}，而其熱傳導係數為 k=0.86 W/(m⋅K)k=0.86\ \mathrm{W/(m\cdot K)}。如果牆壁兩側的溫度分別為 20∘C20^\circ\mathrm{C} 與 5∘C5^\circ\mathrm{C}，請計算：

(一) 通過此牆壁的熱通量是多少？

(二) 牆壁的熱阻是多少？

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核心觀念

本題考查平壁的一維穩態熱傳導。依傅立葉定律，熱傳率為

Q˙=kAΔTL\dot Q = \frac{kA\Delta T}{L}

其中 kk 為熱傳導係數，AA 為垂直於熱流方向的面積，ΔT\Delta T 為牆壁兩側溫差，LL 為牆厚。

熱通量是單位面積的熱傳率：

q′′=Q˙A=kΔTLq'' = \frac{\dot Q}{A} = \frac{k\Delta T}{L}

牆壁的熱阻則定義為溫差除以熱傳率：

Rwall=ΔTQ˙=LkAR_{\mathrm{wall}} = \frac{\Delta T}{\dot Q} = \frac{L}{kA}

解題方法

牆面面積為高乘以寬：

A=(1 m)(3 m)=3 m2A=(1\ \mathrm{m})(3\ \mathrm{m})=3\ \mathrm{m^2}

兩側溫差為：

ΔT=20−5=15 K\Delta T=20-5=15\ \mathrm{K}

溫差以攝氏度表示時，數值與開爾文相同。

（一）熱通量

代入熱通量公式：

q′′=(0.86 W/(m⋅K))(15 K)0.2 m=64.5 W/m2q''=\frac{(0.86\ \mathrm{W/(m\cdot K)})(15\ \mathrm{K})}{0.2\ \mathrm{m}} =64.5\ \mathrm{W/m^2}
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第 四 題15 分

在塊狀系統分析（lumped system analysis）中，系統（質量為 mm，比熱為 CpC_p）被假設其內部在每一瞬間都是均勻溫度，所以可以用一個溫度值 TT 來代表。假設系統與環境之間的熱交換只有靠對流，而環境溫度表示為 TaT_a。

(一) 請寫出對流熱傳遞的計算公式。

(二) 可否用熱力學能量守恆第一定律（亦即 ΔE˙=Q˙+W˙\dot{\Delta E}=\dot{Q}+\dot{W}）來給一條公式，說明系統與環境每一瞬間的能量關係？

(三) 請推導出這個守恆方程式的解析解，並以無因次方式表示（初始溫度為 TiT_i）。

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核心觀念

塊狀系統分析（lumped system analysis）假設物體內部溫度均勻，因此系統只需以單一溫度 T(t)T(t) 表示。物體與周圍環境之間以對流交換熱量，熱傳速率由牛頓冷卻定律表示；再將此熱傳速率代入系統的能量平衡式，即可得到溫度隨時間變化的一階微分方程。

令物體質量為 mm、定壓比熱為 CpC_p、表面積為 AsA_s、對流熱傳係數為 hh，環境溫度為 TaT_a。

解題方法與推導

(一) 對流熱傳遞公式

依牛頓冷卻定律，環境傳入系統的熱傳速率為

Q˙in=hAs(Ta−T)\dot Q_{\mathrm{in}}=hA_s(T_a-T)

其中 Ta>TT_a>T 時熱量流入系統；若 T>TaT>T_a，則 Q˙in<0\dot Q_{\mathrm{in}}<0，表示系統向環境散熱。也可將由系統傳向環境的熱傳速率寫成

Q˙out=hAs(T−Ta)\dot Q_{\mathrm{out}}=hA_s(T-T_a)

(二) 系統能量平衡式

封閉系統的第一定律可寫為

dEsysdt=Q˙in+W˙in\frac{dE_{\mathrm{sys}}}{dt}=\dot Q_{\mathrm{in}}+\dot W_{\mathrm{in}}

若系統沒有軸功、電功等其他功交換，且動能與位能變化可忽略，則內能變化率為

dEsysdt≃mCpdTdt\frac{dE_{\mathrm{sys}}}{dt}\simeq mC_p\frac{dT}{dt}

因此能量守恆式為

mCpdTdt=hAs(Ta−T)mC_p\frac{dT}{dt}=hA_s(T_a-T)

這條方程式描述的是系統每一瞬間的能量變化率與對流熱傳速率之間的關係。若環境也視為有限且會隨時間改變溫度，還需要環境的質量、比熱及其能量平衡；本題將環境溫度 TaT_a 視為固定。

(三) 解析解與無因次表示

將能量平衡式整理為

dTdt=−hAsmCp(T−Ta)\frac{dT}{dt}=-\frac{hA_s}{mC_p}(T-T_a)

以初始條件 T(0)=TiT(0)=T_i 分離變數並積分：

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第 五 題10 分

考慮一個絕熱且剛性的儲氣槽，裡面裝了 0.8 kg0.8\ \mathrm{kg} 的氦氣，且內部的溫度與壓力分別為 25∘C25^\circ\mathrm{C} 與 300 kPa300\ \mathrm{kPa}。

如果我們從外界伸入一螺槳裝置，可對內部氣體做功，其功率為 0.01 kW0.01\ \mathrm{kW}。如果這個螺槳裝置作用了 11 個小時，請問：

(一) 最後溫度？

(二) 最後氦氣的壓力為何？

氦氣的比熱為 Cv=3.1156 kJ/(kg⋅∘C)C_v=3.1156\ \mathrm{kJ/(kg\cdot{}^\circ C)}。

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核心觀念

這題考絕熱、定容剛性儲氣槽的非定常能量平衡，以及理想氣體定容時的壓力與溫度關係。螺槳對槽內氣體輸入功，使氣體內能增加；槽體絕熱，因此沒有熱量傳入或傳出。

解題方法

取槽內氦氣為控制體。忽略動能與位能變化，非定常能量平衡為

ΔU=Q−W\Delta U=Q-W

其中 WW 定義為控制體對外做功。螺槳對氣體做功，因此控制體對外功為負。槽體絕熱，Q=0Q=0，故

ΔU=Win\Delta U=W_{\mathrm{in}}

螺槳輸入功率為 0.01 kW=0.01 kJ/s0.01\ \mathrm{kW}=0.01\ \mathrm{kJ/s}，作用時間為 1 h=3600 s1\ \mathrm{h}=3600\ \mathrm{s}，因此輸入功為

Win=(0.01 kJ/s)(3600 s)=36 kJW_{\mathrm{in}}=(0.01\ \mathrm{kJ/s})(3600\ \mathrm{s})=36\ \mathrm{kJ}

氦氣視為理想氣體，定質量下內能變化為 ΔU=mCv(T2−T1)\Delta U=mC_v(T_2-T_1)。初溫換算為

T1=25+273.15=298.15 KT_1=25+273.15=298.15\ \mathrm{K}

代入能量平衡：

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第 六 題15 分

考慮空氣在 100 kPa100\ \mathrm{kPa} 及 280 K280\ \mathrm{K} 進入一壓縮機，經壓縮後出口的壓力與溫度為 600 kPa600\ \mathrm{kPa} 及 400 K400\ \mathrm{K}。

進入空氣的質量流率為 0.02 kg/s0.02\ \mathrm{kg/s}。壓縮機並非絕熱，壓縮過程中損失熱 16 kJ/kg16\ \mathrm{kJ/kg}。假設忽略壓縮過程中的動能與位能損失。

請計算過程中空氣的比焓的變化，以及壓縮機所需的功率為何？

空氣的定壓比熱為 1005 J/(kg⋅∘C)1005\ \mathrm{J/(kg\cdot{}^\circ C)}，定容比熱為 717 J/(kg⋅∘C)717\ \mathrm{J/(kg\cdot{}^\circ C)}。

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核心觀念

本題考查穩流裝置的能量平衡，以及理想氣體在定壓比熱近似為常數時的比焓變化。壓縮機的動能與位能變化可忽略，因此穩流能量方程式可寫為

Q˙−W˙out=m˙(h2−h1)\dot Q-\dot W_{\text{out}} =\dot m(h_2-h_1)

其中，Q˙\dot Q 為進入控制體的熱傳率，W˙out\dot W_{\text{out}} 為控制體輸出的軸功率。壓縮機需要輸入功，因此也可定義輸入功率 W˙in=−W˙out\dot W_{\text{in}}=-\dot W_{\text{out}}。

解題方法

先由進出口溫度計算空氣的比焓變化。理想氣體的比焓只與溫度有關：

Δh=h2−h1=cp(T2−T1)\Delta h=h_2-h_1=c_p(T_2-T_1)

題目給定 cp=1005 J/(kg⋅K)c_p=1005\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}，且溫差以 K 或 °C 表示數值相同：

Δh=1005(400−280)=120600 J/kg=120.6 kJ/kg\Delta h =1005(400-280) =120600\ \mathrm{J/kg} =120.6\ \mathrm{kJ/kg}

所以空氣通過壓縮機後，比焓增加 120.6 kJ/kg120.6\ \mathrm{kJ/kg}。

題目指出壓縮過程損失熱 16 kJ/kg16\ \mathrm{kJ/kg}，表示熱量由控制體流出。採「熱流入為正」的符號約定，故每單位質量的熱傳量為

q=−16 kJ/kgq=-16\ \mathrm{kJ/kg}

穩流能量方程式以單位質量表示為

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第 七 題15 分

考慮一銅製圓形熱交換管，其內徑為 4 cm4\ \mathrm{cm}。外部由熱蒸汽加熱，其溫度為 130∘C130^\circ\mathrm{C}，並且已知其熱對流係數為 h=900 W/(m2⋅K)h=900\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}。

冷水進入熱交換管時是 18∘C18^\circ\mathrm{C}，流量為 0.2 kg/s0.2\ \mathrm{kg/s}。如果要將冷水加熱至 70∘C70^\circ\mathrm{C}，請問：

(一) 需要多少熱量？

(二) 對數平均溫度為何？

(三) 需要多長的熱交換管？

對數平均溫度（log mean temperature）公式為：

ΔTlm=ΔTe−ΔTiln⁡(ΔTeΔTi)\Delta T_{\mathrm{lm}}=\frac{\Delta T_e-\Delta T_i}{\ln\left(\frac{\Delta T_e}{\Delta T_i}\right)}

其中，ΔTi\Delta T_i、ΔTe\Delta T_e 代表入口溫差與出口溫差；水的比熱為 4187 J/(kg⋅K)4187\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}。

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核心觀念

本題考查穩態熱交換器的能量平衡與對數平均溫差法。熱水（蒸汽側）以定溫 130∘C130^\circ\mathrm{C} 加熱管內冷水，先用水的能量平衡求熱負荷，再用對數平均溫差及牛頓冷卻定律求管長。

題目未提供銅管外徑與管壁熱阻，因此依常見考題假設，忽略管壁熱阻，並以管內徑作為熱傳面積直徑；蒸汽側溫度視為全程維持 130∘C130^\circ\mathrm{C}。

解題方法

（一）所需熱量

穩態下水吸收的熱量率為：

Q˙=m˙cp(Tout−Tin)\dot Q=\dot m c_p(T_{\mathrm{out}}-T_{\mathrm{in}})

代入 m˙=0.2 kg/s\dot m=0.2\ \mathrm{kg/s}、cp=4187 J/(kg⋅K)c_p=4187\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}、Tin=18∘CT_{\mathrm{in}}=18^\circ\mathrm{C}、Tout=70∘CT_{\mathrm{out}}=70^\circ\mathrm{C}：

Q˙=0.2(4187)(70−18)=43,544.8 W≈43.5 kW\dot Q =0.2(4187)(70-18) =43{,}544.8\ \mathrm{W} \approx 43.5\ \mathrm{kW}

此處的「熱量」依流量與熱交換器設計情境，表示熱傳率（熱負荷），單位為瓦特。

（二）對數平均溫差

蒸汽側定溫，因此兩端溫差為：

ΔTi=130−18=112 K\Delta T_i=130-18=112\ \mathrm{K} ΔTe=130−70=60 K\Delta T_e=130-70=60\ \mathrm{K}

代入對數平均溫差公式：

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