110 專技高考高等考試 冷凍空調工程技師 冷凍空調自動控制 考古題詳解

110 年・專技高考・高等考試・冷凍空調工程技師
試題代碼 冷凍空調自動控制

第 一 題25 分

請回答下列問題：

(一) 吾人經常使用轉移函數（Transfer function），對需要控制的動態系統（Dynamic system）建立模型，進行控制器設計。請詳述如何透過拉氏轉換（Laplace transform）對動態系統進行建模，另詳述須符合哪四項要件的動態系統，才能夠有效建立轉移函數模型。

(二) 若有一冷凍空調系統，其動態方程式為

q′(t)=mCvdT(t)dt+T(t)−T∞Rthq'(t)=mC_v\frac{dT(t)}{dt}+\frac{T(t)-T_{\infty}}{R_{th}}

其中，q′(t)q'(t) 為冷凍空調裝置在空間中取走或加入的熱量，若取走為負（−）值，加入則為正（＋）值；mCvmC_v 為空間中質量乘上其等容（Constant Volume）比熱；T(t)T(t) 為冷凍空調空間中隨時間 tt 動態改變之溫度；T∞T_{\infty} 則為冷凍空調空間以外的環境溫度，在此可視為常數；RthR_{th} 則為冷凍空調空間內外的熱阻值（Thermal resistance），在此可視為常數。

在初始條件為零的情況下，若可以建立模型，請以 ss 複變數寫出轉移函數模型；若不能建立模型，請說明其原因。

(三) 若另有一冷凍空調系統，其動態方程式為

q′(t)=mCvdT(t)dt+T(t)−T∞Rth(t)q'(t)=mC_v\frac{dT(t)}{dt}+\frac{T(t)-T_{\infty}}{R_{th}(t)}

多項變數定義均與前小題相同，唯一差別是該系統因為人為因素，經常開啟與關閉冷凍空調系統庫門，造成空間內外熱阻值隨時間而變，因此表示為 Rth(t)R_{th}(t)。

在初始條件為零的情況下，若可以建立模型，請以 ss 複變數寫出轉移函數模型；若不能建立模型，請說明其原因。

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核心觀念

轉移函數是線性定常系統在零初始條件下，輸出與輸入的拉氏轉換之比。若系統輸入為 u(t)u(t)、輸出為 y(t)y(t)，則

G(s)=Y(s)U(s)G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}

其中 ss 為拉氏變數。建立轉移函數時，先將描述系統的微分方程式作拉氏轉換，再在零初始條件下整理成輸出變數與輸入變數的比值。

一般而言，系統須符合下列四項要件，才能以轉移函數有效描述：

  1. 線性：符合疊加原理，輸入倍增時輸出亦按比例倍增，且多個輸入的響應可相加。
  2. 定常（時不變）：系統參數不隨時間改變；輸入延遲，輸出響應也只相應延遲。
  3. 因果：任一時刻的輸出不依賴未來的輸入。
  4. 零初始條件：建立輸入與輸出的轉換比時，系統各儲能元件的初始狀態設為零；否則輸出還包含初始狀態造成的響應，不能單以 Y(s)/U(s)Y(s)/U(s) 表示輸入輸出關係。

解題方法

將微分方程式兩側作拉氏轉換。使用

L{dT(t)dt}=sT(s)−T(0−)\mathcal{L}\left\{\frac{dT(t)}{dt}\right\} =sT(s)-T(0^-)

在零初始條件下 T(0−)=0T(0^-)=0，故微分項轉為 sT(s)sT(s)。接著整理方程式，將所選輸入與輸出分別寫成 ss 域變數，再取其比值。若方程式含有隨時間變動的參數，便不符合定常條件，不能直接以一般的 ss 域轉移函數表示。

(一) 拉氏轉換建模與四項要件

對線性定常系統的微分方程式進行拉氏轉換，可將時域的微分關係轉成 ss 域的代數關係。例如

andnydtn+⋯+a1dydt+a0y=bmdmudtm+⋯+b1dudt+b0ua_n\frac{d^ny}{dt^n}+\cdots+a_1\frac{dy}{dt}+a_0y =b_m\frac{d^mu}{dt^m}+\cdots+b_1\frac{du}{dt}+b_0u

在零初始條件下取拉氏轉換後，可整理為

(ansn+⋯+a1s+a0)Y(s)=(bmsm+⋯+b1s+b0)U(s)(a_ns^n+\cdots+a_1s+a_0)Y(s) =(b_ms^m+\cdots+b_1s+b_0)U(s)

因此轉移函數為

G(s)=Y(s)U(s)=bmsm+⋯+b1s+b0ansn+⋯+a1s+a0G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} =\frac{b_ms^m+\cdots+b_1s+b_0} {a_ns^n+\cdots+a_1s+a_0}

此比值描述系統本身的輸入輸出關係；建立時須符合前述線性、定常、因果及零初始條件四項要件。

(二) 熱阻為常數

令 C=mCvC=mC_v，且 RthR_{th} 與 T∞T_{\infty} 均為常數。原式為

q′(t)=CdT(t)dt+T(t)−T∞Rthq'(t)=C\frac{dT(t)}{dt}+\frac{T(t)-T_{\infty}}{R_{th}}

零初始條件下取拉氏轉換：

Q′(s)=CsT(s)+T(s)Rth−T∞RthsQ'(s)=CsT(s)+\frac{T(s)}{R_{th}}-\frac{T_{\infty}}{R_{th}s}

因 T∞T_{\infty} 是常數，其拉氏轉換為 T∞/sT_{\infty}/s。將環境溫度項移至輸入側，可得

Q′(s)+T∞Rths=(Cs+1Rth)T(s)Q'(s)+\frac{T_{\infty}}{R_{th}s} =\left(Cs+\frac{1}{R_{th}}\right)T(s)

因此，若將輸出定義為空間溫度 T(s)T(s)，並將等效熱輸入定義為

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第 二 題25 分

請回答下列問題：

(一) 有一變頻空調系統（Air conditioner）配置比例—積分—微分控制器（PID controller），透過控制壓縮機轉速（Compressor speed），調整室內空調製冷能力（Cooling capacity），如下圖所示。請寫出該控制器如何利用控制誤差 e(t)e(t)，寫出控制壓縮機轉速的數學方程式。

(二) 該變頻空調系統進行智慧化改善，改以近代控制（Modern control）理論重新設計控制器架構，如下圖所示。請寫出該控制器如何利用控制誤差 e(t)e(t)，寫出控制壓縮機轉速的狀態方程式。

(三) 對於空調機智慧化，引入更多感測裝置，例如智慧眼（Smart eye）或是空氣品質感測器（IAQ sensor）。採用近代控制理論設計的控制器架構，與傳統比例—積分—微分控制器的主要差異為何？請詳述。

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核心觀念

本題考查兩種控制器的表示方式：

  • PID 控制器直接把控制誤差的比例、積分與微分作用相加，形成壓縮機轉速命令。
  • 近代控制器以狀態向量描述系統內部狀態，用狀態方程表示誤差如何影響狀態變化，再由狀態計算控制輸出。

圖中定義控制誤差為 e(t)=Tset−T(t)e(t)=T_{\mathrm{set}}-T(t)，壓縮機轉速為 y(t)y(t)。

解題方法與推導

(一) PID 控制器

PID 控制器將誤差 e(t)e(t) 分別經過比例、積分與微分運算，再與偏置值 MM 相加。因此，控制壓縮機轉速的方程式為

y(t)=KPe(t)+KI∫0te(τ) dτ+KDde(t)dt+My(t)=K_P e(t)+K_I\int_0^t e(\tau)\,d\tau +K_D\frac{de(t)}{dt}+M

其中，KPK_P、KIK_I、KDK_D 分別為比例、積分及微分增益，MM 為偏置值。由於 e(t)=Tset−T(t)e(t)=T_{\mathrm{set}}-T(t)，當室溫高於設定溫度時，誤差為負值；實際控制方向須由控制器增益的正負設定與系統訊號方向共同決定，使轉速命令能增加製冷能力並降低室溫。

(二) 近代控制器

依圖中的方塊關係，輸入誤差 e(t)e(t) 經由輸入矩陣 BB，並與狀態經由矩陣 AA 的作用相加，形成狀態變化率；狀態經積分後，再經輸出矩陣 CC 轉為壓縮機轉速。因此：

x˙(t)=Ax(t)+Be(t)\dot{\mathbf{x}}(t)=A\mathbf{x}(t)+B e(t) y(t)=Cx(t)y(t)=C\mathbf{x}(t)

其中，x(t)\mathbf{x}(t) 為狀態向量，AA 為系統矩陣，BB 為輸入矩陣，CC 為輸出矩陣。圖中未畫出誤差直接通往輸出端的通道，因此輸出式不含直接傳遞項 De(t)D e(t)。若狀態觀測器提供的是狀態估測值，則控制器運算中以估測狀態 x^(t)\hat{\mathbf{x}}(t) 代替實際不可直接量測的狀態。

(三) 近代控制與 PID 的主要差異

PID 以單一控制誤差及其比例、積分、微分作用產生控制命令，結構直觀，調整方式明確；傳統形式通常用於單一主要輸入與輸出，例如以室溫誤差控制壓縮機轉速。

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第 三 題25 分

有一控制系統之轉移函數（Transfer function）為

G(s)=s2+13s+2G(s)=\frac{s^2+1}{3s+2}

請回答下列問題：

(一) 判斷這個控制系統是否穩定，並說明判斷依據為何。

(二) 判斷這個系統是否具備可控制性，並說明其判斷依據為何。

(三) 請說明古典控制理論判斷穩定度與近代控制理論判斷可控性之差異為何。

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核心觀念

本題考查以轉移函數判斷系統的穩定度，以及轉移函數與狀態空間模型在判斷可控性時的差異。

給定轉移函數

G(s)=s2+13s+2G(s)=\frac{s^2+1}{3s+2}
  • 穩定度：連續時間線性系統的輸入輸出穩定性，可由轉移函數的極點判斷；所有極點均位於 ss 平面的左半部，系統即為漸近穩定。
  • 可控性：近代控制理論中的可控性是狀態空間的性質。對狀態方程 x˙=Ax+Bu\dot{x}=Ax+Bu，可控矩陣為
C=[BABA2B⋯An−1B]\mathcal{C}=\begin{bmatrix}B&AB&A^2B&\cdots&A^{n-1}B\end{bmatrix}

若 rank⁡(C)=n\operatorname{rank}(\mathcal{C})=n，系統可控。

解題方法與推導

（一）判斷穩定性

轉移函數的極點由分母等於零求得：

3s+2=0⟹s=−233s+2=0 \quad\Longrightarrow\quad s=-\frac{2}{3}

唯一極點位於左半平面，且實部為負。因此，系統的自然響應會隨時間衰減，系統穩定。

（二）判斷可控制性

此轉移函數的分子次數為 2，分母次數為 1，是非嚴格真分式。要由轉移函數求可控性，須先依一個最小實現（minimal realization）建立狀態空間模型。

先將轉移函數拆成多項式部分與真分式部分：

G(s)=s2+13s+2=13s−29+139(3s+2)\begin{aligned} G(s) &=\frac{s^2+1}{3s+2}\\ &=\frac{1}{3}s-\frac{2}{9} +\frac{13}{9(3s+2)} \end{aligned}
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第 四 題25 分

一離心式磁懸浮冰水主機壓縮機機頭，其直驅馬達轉速控制可以如下圖模擬之。

圖上變數：

EaE_a 定義為控制輸入電壓（單位為 V）；IaI_a 定義為驅動增幅電流（單位為 A）；RaR_a 定義為調速阻抗（單位為 Ω\Omega）；LaL_a 定義為調速感抗（單位為 H）；EbE_b 定義為直驅馬達反電動勢（單位為 V）；θm\theta_m 定義為調速控制產生之旋轉位移（單位為 rad）；ωm\omega_m 則是微分旋轉位移產生轉速（單位為 rad/s）。

在此，壓縮冷媒吐出量正比於離心葉輪轉速，冰機製冷能力又正比於此轉速，正比常數為 RcR_c（單位為 RT·s/kg）。

又假設直驅馬達轉矩為 TmT_m（單位為 N·m），直驅馬達永磁磁鐵產生氣隙磁通量為 Φ\Phi（單位為 Wb），轉矩與電流以及氣隙磁通成正比，比例常數為 KK（單位為 N/A/Wb），直驅馬達產生反電動勢，比例常數則為 KbK_b（單位為 V·s/rad）。

磁懸浮冰水主機與傳統冰水主機最大不同，即為配置軸向磁懸浮軸承，如圖上所示。在此假定運轉時無嚴重徑向力，徑向止推軸承的黏滯摩擦可以忽略不計，僅需計算馬達軸上負載的等效黏滯摩擦係數 BmB_m（單位為 N·m·s/rad），而此時，轉動離心葉輪進行冷媒壓縮的轉動慣量為 JmJ_m（單位為 kg·m²）。

(一) 利用以上變數，推導調速控制輸入 EaE_a 對應於磁懸浮冰水主機製冷能力 q′(t)q'(t) 的狀態方程式。

(二) 磁懸浮軸承可以將黏滯係數降至極低，為傳統軸承的 1/1001/100，請說明磁懸浮冰水主機是如何利用磁懸浮軸承來改善冰水主機控制特性。

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核心觀念

本題考直流馬達的電氣方程、轉動力學方程，以及將馬達轉速換算成冰水主機製冷能力的關係。由題意可得：

  • 馬達電樞電壓由電阻壓降、電感壓降及反電動勢組成： Ea=RaIa+LadIadt+Eb,Eb=KbωmE_a=R_a I_a+L_a\frac{dI_a}{dt}+E_b,\qquad E_b=K_b\omega_m
  • 馬達轉矩與電流、氣隙磁通成正比： Tm=KΦIaT_m=K\Phi I_a
  • 馬達軸的轉動力學，以等效黏滯摩擦阻力矩 BmωmB_m\omega_m 表示負載阻力： Jmdωmdt+Bmωm=TmJ_m\frac{d\omega_m}{dt}+B_m\omega_m=T_m
  • 製冷能力與葉輪轉速成正比： q′(t)=Rcωm(t)q'(t)=R_c\omega_m(t)

其中 q′(t)q'(t) 表示題目所稱的製冷能力，不代表時間微分。

解題方法與推導

將電流 IaI_a 與轉速 ωm\omega_m 選為狀態變數。由電氣方程整理：

dIadt=−RaLaIa−KbLaωm+1LaEa\frac{dI_a}{dt} =-\frac{R_a}{L_a}I_a-\frac{K_b}{L_a}\omega_m+\frac{1}{L_a}E_a

由轉動力學方程及 Tm=KΦIaT_m=K\Phi I_a 整理：

dωmdt=KΦJmIa−BmJmωm\frac{d\omega_m}{dt} =\frac{K\Phi}{J_m}I_a-\frac{B_m}{J_m}\omega_m

因此，令狀態向量 x=[Ia  ωm]Tx=[I_a\ \ \omega_m]^T，輸入為 EaE_a，輸出為製冷能力 q′(t)q'(t)，狀態方程式為：

[I˙aω˙m]=[−RaLa−KbLaKΦJm−BmJm][Iaωm]+[1La0]Ea\begin{bmatrix} \dot I_a\\ \dot\omega_m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\dfrac{R_a}{L_a}&-\dfrac{K_b}{L_a}\\[4pt] \dfrac{K\Phi}{J_m}&-\dfrac{B_m}{J_m} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_a\\ \omega_m \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \dfrac{1}{L_a}\\ 0 \end{bmatrix}E_a

輸出方程式為：

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