112 專技高考高等考試 冷凍空調工程技師 冷凍空調自動控制 考古題詳解

112 年・專技高考・高等考試・冷凍空調工程技師
試題代碼 冷凍空調自動控制

第 一 題20 分

一、拉氏轉換（Laplace Transform）可以將時域變數 tt 的函數 f(t)f(t)，轉換為複變變數 ss 的函數 F(s)F(s)。

（一）寫出這個轉換的數學定義公式。（5 分）

（二）利用此公式，寫出下列時域變數函數經拉氏轉換後的函數型：

  1. f(t)=tf(t)=t
  2. f(t)=etf(t)=e^t
  3. f(t)=et2f(t)=e^{t^2}

（15 分）

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核心觀念

拉氏轉換是以指數核函數 e−ste^{-st} 對時域函數 f(t)f(t) 加權積分，將 tt 的函數轉為複數變數 ss 的函數。單邊拉氏轉換的定義為

F(s)=L{f(t)}=∫0∞f(t)e−st dtF(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} =\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt

其中 ss 為複數，積分須在適當的收斂範圍內存在。本題各函數均採上述單邊拉氏轉換。

解題方法

依定義將各函數代入積分。若積分收斂，計算其值；若不收斂，則說明其不存在通常意義下的拉氏轉換。

  1. f(t)=tf(t)=t
L{t}=∫0∞te−st dt\mathcal{L}\{t\} =\int_{0}^{\infty}te^{-st}\,dt

當 Re⁡(s)>0\operatorname{Re}(s)>0 時，分部積分可得

∫0∞te−st dt=[−tse−st]0∞+1s∫0∞e−st dt=1s2\int_{0}^{\infty}te^{-st}\,dt =\left[-\frac{t}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty} +\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,dt =\frac{1}{s^2}

因此

L{t}=1s2,Re⁡(s)>0\boxed{\mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^2},\qquad \operatorname{Re}(s)>0}
  1. f(t)=etf(t)=e^t
L{et}=∫0∞ete−st dt=∫0∞e−(s−1)t dt\mathcal{L}\{e^t\} =\int_{0}^{\infty}e^t e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(s-1)t}\,dt

當 Re⁡(s)>1\operatorname{Re}(s)>1 時，積分收斂，故

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第 二 題20 分

二、參考圖一所示，有一模擬控制系統使用 PID（Proportional-Integral-Differential）控制設計，如圖一。若 PID 控制器的比例參數為 KPK_P，積分參數為 KIK_I，微分參數為 KdK_d，假設無基礎輸出值設定，且系統響應帶寬常數為零的狀況下，試問：

（一）PID 控制器的轉移函數？（5 分）

（二）若最終控制器設計要求輸入 u(s)u(s) 與輸出 Y(s)Y(s)（變數可參考圖示）需滿足下式：

Y(s)u(s)=1s+1\frac{Y(s)}{u(s)}=\frac{1}{s+1}

請計算 KPK_P 數值。（5 分）

（三）請計算 KIK_I 數值。（5 分）

（四）請計算 KdK_d 數值。（5 分）

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核心觀念

本題考查理想 PID 控制器的轉移函數，以及單位負回授系統的閉迴路轉移函數。圖中被控體為 G(s)=1s+1G(s)=\frac{1}{s+1}，回授為 1:11:1；控制器輸出由比例、積分、微分三項組成，且沒有基礎輸出值，因此

C(s)=KP+KIs+KdsC(s)=K_P+\frac{K_I}{s}+K_d s

解題方法

令誤差為 E(s)=u(s)−Y(s)E(s)=u(s)-Y(s)。閉迴路轉移函數為

Y(s)u(s)=C(s)G(s)1+C(s)G(s)=C(s)s+1+C(s)\frac{Y(s)}{u(s)} =\frac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)} =\frac{C(s)}{s+1+C(s)}

題目要求 Y(s)u(s)=1s+1\frac{Y(s)}{u(s)}=\frac{1}{s+1}，代入後解出控制器：

C(s)s+1+C(s)=1s+1\frac{C(s)}{s+1+C(s)}=\frac{1}{s+1} C(s)(s+1)=s+1+C(s)C(s)(s+1)=s+1+C(s)
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第 三 題20 分

三、參考圖二所示，有一分離式冷氣（Split-type Air Conditioner）利用蒸發器中央裝設溫度感測器，來進行溫度回授控制（Feedback Control），其控制架構圖顯示如圖二上方所示之方塊圖，另符合此感測裝置的結構示意圖，則如圖二下方所示。圖二上亦標示出圍繞溫度感測器，其代表符號為圓形環狀符號內標示 TT，為此感測溫度裝置的相關參數，包含有感測器質量（Mass, msm_s）、感測器感溫體積（Sensing Area, AsA_s）、感測器裝置比熱（Specific Heat Capacity, CsC_s），還有分離式冷氣室內機由線流風扇（Cross Flow Fan）導風的熱對流係數（Heat Convection Coefficient, hconvh_{\mathrm{conv}}）。

基於以上說明以及給定之變數代號：

（一）詳述分離式冷氣達成室內溫度恆定控制的原理為何？（10 分）

（二）推導溫度感測器將室內溫度 T(t)T(t) 轉換為感測器輸出 Ts(t)T_s(t) 的統御方程式（Governing Equation）為何？（5 分）

（三）此統御方程式需轉換成圖二上方設計之控制架構（Control Block Diagram）中 Feedback Sensor Diagram，才能進一步設計其他控制參數，請依據前述統御方程式，使用拉氏轉換，寫出感測器將 T(t)T(t) 轉換 Ts(t)T_s(t) 輸出的轉移函數（Transfer Function）為何？（5 分）

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核心觀念

本題考查負回授控制及溫度感測器的集總熱容量模型。控制器比較溫度設定值與感測器輸出 Ts(t)T_s(t)，依偏差調整冷氣的冷房能力；感測器則因自身熱容量，無法瞬間跟上室內空氣溫度 T(t)T(t)，其動態可用一階系統表示。

解題方法與推導

（一）室內溫度恆定控制原理

控制器將室內溫度設定值與感測器回授值 Ts(t)T_s(t) 比較，形成控制偏差。當室內溫度高於設定值時，控制器增加冷房能力，使蒸發器帶走更多室內熱量，降低室內溫度；當室內溫度低於設定值時，控制器降低冷房能力或停止冷房，使室內溫度回升。

室內溫度降低後，感測器輸出也隨之降低，回授偏差縮小，控制器便減少冷房作用。這種依據輸出變化修正控制量的負回授作用，可使室內溫度穩定在設定值附近。實際系統的感測器具有熱慣性，因此回授溫度會有延遲。

（二）感測器統御方程式

假設感測器溫度均勻，且只考慮室內空氣與感測器間的對流熱交換。感測器吸收的熱量率為

Q˙=hconvAs(T(t)−Ts(t))\dot Q = h_{\mathrm{conv}} A_s\bigl(T(t)-T_s(t)\bigr)

感測器內能變化率為

Q˙=msCsdTs(t)dt\dot Q = m_s C_s\frac{dT_s(t)}{dt}

依能量平衡令兩式相等：

msCsdTs(t)dt=hconvAs(T(t)−Ts(t))m_s C_s\frac{dT_s(t)}{dt} = h_{\mathrm{conv}}A_s\bigl(T(t)-T_s(t)\bigr)

整理得

msCshconvAsdTs(t)dt+Ts(t)=T(t)\frac{m_s C_s}{h_{\mathrm{conv}}A_s}\frac{dT_s(t)}{dt}+T_s(t)=T(t)

其中感測器時間常數為

τs=msCshconvAs\tau_s=\frac{m_s C_s}{h_{\mathrm{conv}}A_s}

（三）感測器轉移函數

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第 四 題20 分

四、參考圖三所示，有一可程式邏輯控制器（Programmable Logic Controller, PLC）被用於室內空氣品質（CO2CO_2 濃度）控制，控制設計要求主要是即時偵測室內 CO2CO_2 濃度，並利用程式設定裝置（Programming Device），依照環保法規規定，來設定控制開啟的臨界值。當室內 CO2CO_2 濃度超過法規限制上限時（不需要考慮超過八小時平均之規定），即打開風門與風扇引進外氣，避免室內空氣品質不佳。

（一）依照上述說明，請於下面 PLC 架構圖上，選擇必要的 Input 裝置與 Output 裝置。（10 分）

（二）繪製出控制邏輯圖（Ladder Logic Diagram）。（10 分）

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本題考 PLC 的類比輸入、數值比較與數位輸出控制。CO₂ 感測器量測室內濃度，PLC 將量測值與程式設定的上限比較；超過設定值時，同時輸出訊號，開啟外氣風門並運轉風扇。

以命題當年（民國 112 年）法規為準，《室內空氣品質標準》所列二氧化碳標準值為 1,000 ppm，採八小時值。本題明定不考慮八小時平均，故依題意將 1,000 ppm 作為即時控制設定值，量測值大於設定值即啟動通風。

解題方法與 I/O 選擇

  • Input：Sensor（CO₂ 感測器）。濃度是連續變化的物理量，應由感測器送入 PLC 的類比輸入模組，再轉換為數值供比較。題目未指定感測器訊號規格，不限定使用 4–20 mA 或 0–10 V。
  • 設定值：Programming Device（程式設定裝置）。將控制上限寫入 PLC 記憶體，例如設定 SP=1000 ppmSP=1000\ \text{ppm}。程式設定裝置負責寫入程式與參數，不是現場偵測用的 Input 裝置。
  • Output：On-Off valve（開關閥／風門開關控制）與 DC fan motor（直流風扇馬達）。前者控制風門開啟，後者引進外氣。PLC 輸出應經適當的驅動或控制介面，再控制閥與馬達。
  • 不選 Proportional valve（比例閥）。題目要求超限時打開風門、運轉風扇，屬於開／關控制，沒有要求依濃度大小連續調節閥開度。
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第 五 題20 分

五、一／二次側設計中，中央冰水主機系統負責供應一個 10 層大樓的空調，在頂樓冰水管路（Cooling Water Pipeline）的最末端有一增設空調箱（Air Handling Unit, AHU），須提供足量冰水。在原本冰水主機為變速驅動（Variable Speed Drive），且一次泵浦（Primary Pumps）為變頻驅動（Variable Frequency Drive, VFD）的情況下，冰水系統業主仍持續投入節能改善，並預計加裝裝置，如圖四虛線以下所示，預計安裝三具變頻驅動器（VFD）給三台冷卻水塔（Cooling Tower）進行控制，同時加裝戶外氣象站，偵測戶外的溫度與濕度，也要再加裝三具變頻驅動器給二次側馬達（Secondary Pumps），在冰水管路末端加裝壓力感測器。請依照上述業主加裝的設備：

（一）分別建議冷卻水塔與二次側泵浦的節能控制邏輯設計。（10 分）

（二）詳細說明可以提高系統能源使用效率的原因。（10 分）

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本題考查冰水系統的冷卻水塔風扇變頻控制與二次側泵浦變流量控制。控制原則是依實際負載調整設備輸出，並在滿足末端需求的前提下，降低風扇與泵浦耗電。

圖中既有一次側泵浦變頻，新增設備則包括冷卻水塔風扇 VFD、戶外溫度與濕度感測器、二次側泵浦 VFD，以及冰水管路末端的壓力感測器。圖示的 AHU 末端控制閥可用來調節各樓層冰水流量。

解題方法

依控制目標分成兩個回路：

  1. 冷卻水塔回路：用戶外溫度、濕度估算室外濕球溫度，再依冷卻水溫度調節塔風扇轉速。
  2. 二次側泵浦回路：用水力最不利末端的壓力訊號，調節泵浦轉速，確保末端仍有足夠壓差供水。

（一）節能控制邏輯

1. 冷卻水塔風扇

戶外氣象站量測乾球溫度與相對濕度，控制器據此計算或查得室外濕球溫度 TwbT_{wb}。冷卻水塔的冷卻能力受濕球溫度影響，故以濕球溫度作為風扇控制的基準，比只看戶外乾球溫度更能反映冷卻條件。

可將冷卻水塔出水溫度設定值設為：

Tcw,set=Twb+AT_{cw,set}=T_{wb}+A

其中 AA 為冷卻水塔逼近溫差（approach），應依塔體能力、冷卻水流量及設備限制設定。控制器比較實際冷卻水出水溫度與設定值，調整風扇轉速：

  • 出水溫度高於設定值：提高風扇轉速，增加空氣流量與散熱量。
  • 出水溫度低於設定值：降低風扇轉速，減少風扇耗電。
  • 多台塔可依負載分段投入，投入運轉後再由各塔風扇變頻調速，並均衡運轉時數。

設定值須符合冰水主機對冷卻水進水溫度的允許範圍，並設定風扇最低轉速及防止頻繁啟停的控制區間。實際控制目標是在主機運轉穩定、效率良好的條件下，使冷卻水溫度盡量低，而不讓塔風扇為追求過低水溫而過度耗電。

2. 二次側泵浦

將壓力感測器設於水力最不利的冰水管路末端，以末端所需壓差為控制目標。圖示 AHU 有控制閥，二次側泵浦應依末端需求變流量運轉：

  • 末端壓差低於設定值：提高泵浦轉速。
  • 末端壓差高於設定值：降低泵浦轉速。
  • 低負載時，各 AHU 控制閥關小，泵浦便降速供應較少流量；負載增加、閥門開大時，泵浦再升速維持末端壓差。

壓力訊號應代表末端可用壓差，例如量測供回水壓差，或以回水壓力作為參考。若只量到單點絕對壓力，控制器無法直接得知末端可用壓差，應先確認感測器的取壓配置。

（二）提高能源使用效率的原因

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