114 專技高考高等考試 冷凍空調工程技師 冷凍空調自動控制 考古題詳解

核心觀念

拉氏轉換把時間函數 $f(t)$ 映射到複數域函數 $F(s)$：

本題分別考查轉換積分何時存在、控制系統在什麼模型假設下可用複數域方法分析，以及如何由 $s$ 平面上的極點判斷穩定度。

（一）$f(t)$ 可作拉氏轉換的條件

1. 分段連續： $f(t)$ 在任一有限區間內分段連續，且只有有限個有限跳躍。這可確保有限區間上的積分有意義。
2. 指數階： 存在常數 $M>0$、$a$ 與 $T$，使得當 $t>T$ 時，

也就是 $f(t)$ 不會比某個指數函數增長得更快。此時當 $\operatorname{Re}(s)>a$，拉氏積分收斂。

（二）以複數域方程式分析系統穩定度的條件

常用控制工程模型是因果、集中參數、線性時不變系統，並以零初始條件定義轉移函數。可分列為下列四項：

1. 線性： 系統滿足疊加原理，即輸入的線性組合會對應到輸出的相同線性組合。這使微分方程式可用線性代數與拉氏轉換性質處理。
2. 時不變： 系統參數不隨時間改變，因此輸入延遲相同時間，輸出也只延遲相同時間；其微分方程式係數為常數。
3. 因果且集中參數： 輸出不依賴未來輸入；系統可由有限階常微分方程式描述，而不是需要以空間分布量描述的偏微分方程式。這讓系統可由有限個極點表示，適合用極點位置分析穩定度。
4. 零初始條件以建立轉移函數： 求轉移函數時，令儲能元件的初始狀態為零，才能寫成

若初始條件不為零，拉氏轉換後的方程式會多出初始值項；

核心觀念

本題考查基礎電路與熱系統的建模，再以拉氏轉換求取轉移函數：

• 電路部分以 Kirchhoff 電壓定律（KVL）及電容、電感的元件關係建立微分方程。
• 空調環境部分以室內能量平衡及室內外熱阻建立集總熱模型。
• 轉移函數描述輸入變化對輸出變化的關係；求取時假設初始條件為零，並將其他固定輸入視為不變。

解題方法與推導

（一）電路時域方程式

依圖，電阻 $R$、電感 $L$ 與電容 $C$ 串接，輸出電壓 $V_o(t)$ 為電容兩端電壓。由 KVL：

電容關係為：

因此：

代回 KVL，得到輸入與輸出電壓的時域方程式：

（二）空調環境時域方程式與 EER

將 $Q'_{\mathrm{AC}}(t)$ 定義為空調從室內移除的熱量率，正值代表冷氣移熱。室內外的熱流率依熱阻關係為：

室內熱質量的蓄熱率為 $mC\,dT(t)/dt$。依能量平衡，室內蓄熱率等於外界傳入熱量減去空調移除熱量：

整理後：

此處以集總能量平衡描述室溫；題目未提供流場、幾何與邊界條件，無法進一步建立完整的 Navier–Stokes 流場模型。

空調能源效率 EER 定義為冷房移除熱量率與輸入電功率之比：

題目將兩者都以 W 表示，因此此處 EER 的單位為 W/W。

（三）轉移函數與回授控制差異

對（一）的時域方程式取拉氏轉換，並令初始條件為零：

故電路轉移函數為：

核心觀念

本題考查資料中心冷卻系統的**自然冷卻（free cooling，又稱 economizer cooling）**及其自動控制。自然冷卻是利用室外低溫空氣或低溫環境水，將機房熱量排至室外，減少或停用壓縮機的機械冷凍負載。

「自然冷卻」不代表完全不耗能：風機、泵、冷卻塔及控制設備仍須運轉；節能關鍵在於以較低功率的空氣或水側熱交換，取代耗能較高的壓縮式冷凍循環。系統依室外條件與機房負載，可採全自然冷卻、自然冷卻與機械冷卻並行，或由機械冷卻補足不足容量。

設計與控制的基本目標為：

1. 維持伺服器進風溫度、濕度及露點在設備允許範圍。
2. 優先使用可用的自然冷卻能力，降低壓縮機運轉時數。
3. 於室外條件不適、冷卻容量不足或設備故障時，平順切換至機械冷卻。
4. 兼顧可靠度、備援、污染防護、凝結與結冰風險。

解題方法

作答宜依「型式分類 → 熱量如何移除 → 控制如何切換 → 保護與節能要點」鋪陳。題目同時要求應用形式、運作原理及控制設計，故不能只列出自然冷卻的名稱；須交代感測量、控制元件、操作模式與轉換條件。

機房的熱負載可概念化表示為：

其中 $\dot Q_{\text{load}}$ 為機房需排除的熱量，$\dot m_{\text{air}}$ 為送風質量流率，$c_p$ 為空氣比熱。控制系統須維持足夠送風量及合理供回風溫差，避免局部機櫃入口過熱；不能只以機房平均溫度判斷冷卻是否足夠。

應用形式與運作原理

一、直接式空氣側自然冷卻

以風機及風門引入經過濾的室外空氣，送入機房或冷通道；室內吸熱後的熱空氣則排至室外。室外空氣直接參與機房空氣循環，熱量經空氣交換排出。

此型式熱交換路徑短、理論上節能效果高，但室外空氣也會帶入粉塵、污染物及水氣，因此須控制過濾、溫濕度與露點；必要時配置加濕、除濕或機械冷卻補充。

二、間接式空氣側自然冷卻

室外空氣在熱交換器一側流動，機房回風在另一側流動，兩股空氣隔離，由熱交換器傳熱。室外空氣帶走機房熱量，但不直接進入機房。

此方式可降低室外污染物與濕度直接影響機房的風險；代價是增加熱交換器及其風機阻力，仍須控制風量及供風溫度。

三、水側自然冷卻

利用冷卻塔、乾式冷卻器或其他室外散熱設備，在室外條件合適時降低冷卻水溫，再經板式熱交換器或空調箱水盤管帶走機房熱量。當室外水溫低至足以提供需求的冷凍水溫時，可停用冰水主機壓縮機；若水溫只能提供部分冷量，則由自然冷卻預冷，壓縮機補足剩餘負載。

水側型式不需大量引入室外空氣，有利於控制機房濕度及避免空氣污染；但冷卻塔風機、水泵與熱交換器仍會耗電，且須考慮水處理、結冰及設備故障。

四、整合式與部分自然冷卻

控制系統可依環境條件及冷卻需求，將自然冷卻與壓縮式冷卻分段或同時投入：

• 全自然冷卻：自然冷卻設備可滿足全部負載，壓縮機停止。
• 部分自然冷卻：自然冷卻先承擔部分負載，機械冷卻補足差額。
• 機械冷卻：自然冷卻能力不足或條件不合時，由冰水主機或直膨式設備承擔冷卻。

核心觀念

本題考查變頻泵浦的相似律，以及冰水流量、溫差與冷凍能力的關係。

泵浦在幾何條件與效率近似不變時，流量與轉速（頻率）成正比，軸功率則與轉速三次方成正比：

冰水搬運的冷凍能力可用下式表示：

在相同冷凍負載下，流量下降時，冰水溫差應相應上升。

解題方法

（一）計算調頻後流量

已知滿載流量 $Q_1=76.47\ \mathrm{LPM}$、滿載頻率 $f_1=60\ \mathrm{Hz}$，調整後頻率 $f_2=48.5\ \mathrm{Hz}$。依流量與頻率成正比：

因此，調頻後流量約為 $61.79\ \mathrm{LPM}$。

（二）判斷節能比例是否高估

先依泵浦相似律計算泵浦功率降幅：

泵浦功率約為原來的 $52.8\%$，因此泵浦本身的節電率約為：

這個 $47.2\%$ 是泵浦功率的估算降幅，不能直接當成整體冰水系統的節能率。冰水系統還包括冰水主機、冷卻水泵、冷卻水塔風機及末端設備等用電；僅憑頻率與冰水溫差，無法得出整體用電的節能比例。

再以冰水冷凍能力關係檢查題給數據。調頻前後的流量與溫差乘積比為：

核心觀念

本題考查直流馬達的電氣方程與機械方程如何透過抗電動勢常數 $K_b$、轉矩常數 $K_t$ 耦合，再以拉氏轉換求轉速對輸入電壓的轉移函數。

原圖標示輸入電壓為 $V_{\mathrm{in}}(t)$、反電動勢為 $V_{\mathrm{emf}}(t)$；題目文字使用 $V_i(t)$、$V_b(t)$，以下依題目文字計算，兩種記號分別代表相同物理量。求轉移函數時採用零初始條件，並將負載扭矩 $T_L(t)$ 視為零，求輸入電壓至轉速的轉移函數。

解題方法

對四式取拉氏轉換：

先令負載扭矩 $T_L(s)=0$。由機械方程及轉矩方程：

因此：

將此式與 $V_b(s)=K_b\Omega(s)$ 代入電氣方程：