111 專技高考高等考試 冷凍空調工程技師 熱力學與熱傳學 考古題詳解

核心觀念

本題評量穩態穩流開放系統之節流過程（Throttling Process）及焦耳-湯姆森效應（Joule-Thomson Effect），核心熱力學原理包含：

1. 第一定律（等焓過程）： 流體通過節流閥時，流道短、流速高且無軸功輸出，熱交換量 $q \approx 0$、外功 $w = 0$，且動能與位能變化極小（$\Delta ke \approx 0, \Delta pe \approx 0$）。由穩態穩流能量方程式（SFEE）： $q - w = (h_2 - h_1) + \Delta ke + \Delta pe \implies h_1 = h_2$ 故節流過程在巨觀上為等焓過程（Isenthalpic process）。

2. 焦耳-湯姆森係數（Joule-Thomson Coefficient, $\mu_{JT}$）： 衡量等焓膨脹降壓時溫度變化的熱力學參數，定義為： $\mu_{JT} \equiv \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_h = \frac{1}{c_p}\left[ T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_P - v \right]$

• 當 $\mu_{JT} > 0$：降壓（$dP < 0$）導致溫度下降（$dT < 0$，冷卻區）。
• 當 $\mu_{JT} < 0$：降壓（$dP < 0$）導致溫度上升（$dT > 0$，加熱區）。
• 當 $\mu_{JT} = 0$：逆轉狀態（Inversion state），對應逆轉曲線（Inversion curve）。

3. 理想氣體 vs. 真實氣體（冷媒）：

• 理想氣體：焓僅為溫度的函數 $h = h(T)$。由 $h_1 = h_2$ 必得 $T_1 = T_2$，即 $\mu_{JT} = 0$。
• 真實氣體與相變流體：分子間存在凡得瓦吸引力與排斥力。當流體分子膨脹遠離時，需消耗內能以克服分子間引力作功，導致溫度顯著改變。

解題方法

(一) 空氣節流後之溫度變化分析

1. 視為理想氣體之工程常規觀點： 空氣主要由氮氣與氧氣組成，臨界溫度極低（$T_c \approx 132.5\,\mathrm{K} = -140.65^\circ\mathrm{C}$）。在室溫（約 $20^\circ\mathrm{C} \sim 25^\circ\mathrm{C}$，即 $293 \sim 298\,\mathrm{K}$）及中低壓（$0.5 \sim 3\,\mathrm{atm}$）環境下，其對比溫度 $T_r = T/T_c \approx 2.2 \gg 1$，壓縮係數 $Z \approx 1.0$。

• 若將空氣視為理想氣體，其比焓滿足 $dh = c_p dT$。
• 因節流前後為等焓過程（$h_1 = h_2$），推得： $\Delta T = T_2 - T_1 = 0$
• 結論：溫度不變。

2. 視為真實氣體之精確熱力學觀點： 空氣本質上為真實氣體。空氣的最大逆轉溫度（Maximum inversion temperature）約為 $603\,\mathrm{K}$（約 $330^\circ\mathrm{C}$）。

• 室溫（約 $298\,\mathrm{K}$）遠低於空氣之逆轉溫度，落於冷卻區（Cooling region），此時 $\mu_{JT} > 0$（在常溫常壓下，空氣的 $\mu_{JT} \approx 0.22 \sim 0.25\,\mathrm{K/atm}$）。
• 壓力差 $\Delta P = P_2 - P_1 = 0.5 - 3 = -2.5\,\mathrm{atm} < 0$。
• 溫度變化量為： $\Delta T \approx \mu_{JT} \Delta P \approx 0.23 \times (-2.5) \approx -0.58\,\mathrm{K}$
• 結論：溫度會微幅下降（約下降 $0.5 \sim 0.6^\circ\mathrm{C}$）。

名師綜論：作答時須兼顧兩者——工程計算通常簡化為理想氣體而視為「溫度幾乎不變」；但嚴格依熱力學真實氣體物性，因室溫低於逆轉溫度，其溫度會「微幅下降」。

(二) R134a 冷媒節流後之溫度變化分析

1. 熱力狀態判別：

• R134a 在室溫 $25^\circ\mathrm{C}$ 下的飽和蒸氣壓 $P_{\mathrm{sat}}(25^\circ\mathrm{C}) \approx 6.65\,\mathrm{bar} \approx 6.56\,\mathrm{atm}$。
• 初始狀態壓力為 $P_1 = 3\,\mathrm{atm}$。由於 $P_1 < P_{\mathrm{sat}}(25^\circ\mathrm{C})$，R134a 在入口處為過熱蒸氣（Superheated vapor）。

2. 節流降壓與焦耳-湯姆森效應：

• R134a 分子量大（$M = 102\,\mathrm{g/mol}$），分子間極性與分子吸引力顯著，偏離理想氣體甚遠。
• 其臨界溫度 $T_c \approx 374.2\,\mathrm{K} = 101^\circ\mathrm{C}$，室溫下的對比溫度 $T_r \approx 0.8 < 1$，處於極強的分子引力主導區。
• R134a 氣態的焦耳-湯姆森係數數值極大且為正值（$\mu_{JT} \gg 0$），當由 $3\,\mathrm{atm}$ 節流至 $0.5\,\mathrm{atm}$ 時，氣體劇烈膨脹克服分子吸引力作功，內能轉化為流功，溫度必然顯著下降。
• 若膨脹過程之等焓線跨入該壓力下的飽和雙相區（$0.5\,\mathrm{atm} \approx 50.66\,\mathrm{kPa}$ 對應之飽和溫度約為 $-36^\circ\mathrm{C}$），部分氣體甚至會凝聚並伴隨劇烈溫度驟降。

核心觀念

本題為非穩態流動（Unsteady-Flow / Transient Analysis）中的經典剛性容器充氣問題（Charging Process / Uniform-State Uniform-Flow, USUF），並結合理想氣體熱力性質。考查之核心觀念包含：

1. 流功（Flow Work / Flow Energy）： 流體進出控制體積時，抵抗背壓推動流體跨越邊界所需的機械功，定義為： $w_{\text{flow}} = P v = R T$
2. 開口系統暫態質量守恆與能量守恆：

• 質量守恆：$\Delta m_{\text{cv}} = m_2 - m_1 = m_i - m_e$
• 能量守恆：$Q - W + \sum m_i \left(h_i + \frac{V_i^2}{2} + g z_i\right) - \sum m_e \left(h_e + \frac{V_e^2}{2} + g z_e\right) = \Delta U_{\text{cv}}$

3. 絕熱真空充氣之能量轉換特徵： 流入之焓值（含內能與進口流功）在絕熱且無對外作功的剛性容器內全數轉化為氣體之內能，導致容器內溫度大幅升高（$u_2 = h_i \implies T_2 = k T_i$）。
4. 理想氣體狀態方程式： $P V = m R T$

基本假設

分析此充氣過程時，列出以下合理之工程假設：

1. 理想氣體與常比熱假設：氦氣在該溫壓下視為理想氣體，且等壓比熱 $C_p$、等容比熱 $C_v$ 視為常數。
2. 控制體積邊界特性：容器為剛性（邊界功 $W_b = 0$、無軸功 $W_{\text{other}} = 0 \implies W = 0$）且完全絕熱（熱傳量 $Q = 0$）。
3. 初始狀態：容器原為真空，故初態質量 $m_1 = 0$、初態內能 $U_1 = 0$。
4. 供應源恆定：管線容積遠大於容器容積，管線內氦氣之狀態（$P_i = 300\,\mathrm{kPa}$、$T_i = 100\,^\circ\mathrm{C}$）維持恆定，故流入氣體之比焓 $h_i$ 為常數。
5. 動能與位能變化忽略：流入氣體之巨觀動能與位能變化相較於焓值微小，即 $\Delta \mathrm{KE} \approx 0$、$\Delta \mathrm{PE} \approx 0$。
6. 均勻狀態：容器內之氦氣隨時混合均勻，達平衡時壓力 $P_2 = 300\,\mathrm{kPa}$。

解題方法與計算步驟

預備物性計算

由氦氣物性：

• 氣體常數 $R = 2.0769\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$
• 等壓比熱 $C_p = 5.1926\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$

計算等容比熱 $C_v$ 與比熱比 $k$： $C_v = C_p - R = 5.1926 - 2.0769 = 3.1157\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$ $k = \frac{C_p}{C_v} = \frac{5.1926}{3.1157} \approx 1.6666 = \frac{5}{3}$

管線氦氣絕對溫度： $T_i = 100 + 273.15 = 373.15\,\mathrm{K}$ （若絕對溫度取 $273\,\mathrm{K}$，則 $T_i = 373.00\,\mathrm{K}$）

(一) 計算管線中氦氣之流功（Flow Work）

流功定義為推動單位質量流體所作之功： $w_{\text{flow}} = P_i v_i$

由理想氣體方程式 $P_i v_i = R T_i$： $w_{\text{flow}} = R T_i$ 代入數值： $w_{\text{flow}} = 2.0769\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)} \times 373.15\,\mathrm{K} = 774.995\,\mathrm{kJ/kg} \approx 775.00\,\mathrm{kJ/kg}$ （若以 $T_i = 373\,\mathrm{K}$ 計算：$w_{\text{flow}} = 2.0769 \times 373 = 774.68\,\mathrm{kJ/kg}$）

(三) 計算過程完成後容器內之氦氣溫度

因容器最終質量之求解需先得知最終溫度，故先推導溫度之熱力關係式：

1. 質量守恆： 取容器內部為控制體積（Control Volume）： $m_2 - m_1 = m_i \implies m_2 = m_i \quad (\text{因 } m_1 = 0)$

核心觀念

本題考查強制對流中的熱邊界層如何形成、發展，以及外部平板流與內部圓管流的差異。核心在於：流體與壁面有溫差時，熱量主要靠壁面附近的熱擴散傳入或傳出流體；流體流動則持續把熱量帶往下游。

以下圖示假設壁面溫度固定且高於入口流體溫度，即 $T_w>T_\infty$；若壁面較冷，溫度曲線方向相反，邊界層形狀與發展方式相同。

（一）均勻流速流經平板上方

流體以自由流速 $U_\infty$ 平行流過平板。從前緣開始，靠近壁面的流體受壁面溫度影響，熱邊界層厚度 $\delta_t$ 沿流向逐漸增加。

 y
 ↑
 流體流向 x → │ 熱邊界層外緣
 U∞ → → → → → → → │ ╭──────── δt(x)
 │ ╭───╯
 │ ╭───╯
 │ ╭──╯
平板（Tw > T∞） ─────────┴────────────────────────→ x
 前緣

 溫度剖面：靠壁面處為 Tw，離壁面愈遠愈接近 T∞

在距離平板前緣 $x$ 處，溫度由壁面溫度 $T_w$ 漸變至自由流溫度 $T_\infty$。熱邊界層外緣不是物理界面，而是依溫度已接近自由流的程度作工程定義。

（二）均勻流速流入圓管

流體進入圓管時，入口流體溫度可視為均勻。若管壁與流體有溫差，熱邊界層會從管壁開始向管中心發展；沿程增厚後，管截面中心的流體也受到壁面熱影響。

 流向 z →
 圓管壁（Tw） 圓管壁（Tw）
 ┌─────────────────────────────────────┐
入口 │ 熱邊界層 → → → ╲ ╱ ← ← ← 熱邊界層 │ 出口
 │ ╲ ╱ │
 │ 入口均勻溫度 ╲ ╱ 邊界層交會後 │
 │ ╲ ╱ 充滿管截面 │
 └─────────────────────────────────────┘
 管軸

圓管內的熱邊界層在管壁兩側形成，向中心推進；兩側邊界層交會後，熱影響已遍及整個截面。此後可進入熱力充分發展區。

（三）定義與平板、圓管對流現象的差異

1. 熱邊界層定義

當壁面與主流流體有溫差時，壁面附近流體的溫度會明顯偏離主流溫度，並在垂直壁面的方向逐漸趨近主流溫度。此一溫度梯度顯著的流體區域稱為熱邊界層。

常以溫度已達到壁面至主流溫差的 $99\%$ 處作為熱邊界層外緣。若主流溫度為 $T_\infty$，可寫成：

核心觀念

本題評量熱交換器設計的核心理論，包含能量平衡、有效度法（$\varepsilon\text{-}\mathrm{NTU}$ 法）以及對數平均溫差法（LMTD 法）：

1. 熱平衡方程式（能量守恆）： 在忽略外殼對環境的散熱損失下，熱流體（機油）放出的熱率等於冷流體（冷卻水）吸收的熱率： $Q = \dot{m}_c C_{p,c} (T_{c,o} - T_{c,i}) = \dot{m}_h C_{p,h} (T_{h,i} - T_{h,o})$

2. 熱容量率（Heat Capacity Rate）與最小熱容量率 $C_{\min}$： 流體的熱容量率定義為 $C = \dot{m} C_p$。兩流體中較小者即為 $C_{\min} = \min(C_c, C_h)$，它決定了該熱交換器在理論上所能達到的最大熱傳極限。

3. 熱交換器有效度（Effectiveness, $\varepsilon$）： 定義為實際熱傳率 $Q$ 與理論上最大可能熱傳率 $Q_{\max}$ 之比值： $\varepsilon = \frac{Q}{Q_{\max}} = \frac{Q}{C_{\min}(T_{h,i} - T_{c,i})}$

4. 對數平均溫差法（LMTD Method）與傳熱面積： 熱交換器傳熱關係式為： $Q = U_o A_o \Delta T_{\mathrm{lm}}$ 其中 $\Delta T_{\mathrm{lm}}$ 為對數平均溫差；套管式熱交換器的傳熱介面為分隔兩流體的「內管管壁」，故外表面積為內管之外表面積 $A_o = \pi d_o L$。

解題方法與詳細計算

(一) 計算熱交換負荷 $Q$

由冷卻水側之質量流量、比熱及出入口溫差計算吸熱量：

• 冷卻水質量流量：$\dot{m}_c = 10\,\mathrm{kg/min} = \dfrac{10}{60}\,\mathrm{kg/s} = \dfrac{1}{6}\,\mathrm{kg/s}$
• 冷卻水比熱：$C_{p,c} = 4.2\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 4200\,\mathrm{J/(kg\cdot K)}$
• 冷卻水溫升：$\Delta T_c = T_{c,o} - T_{c,i} = 60 - 30 = 30\,^\circ\mathrm{C} = 30\,\mathrm{K}$

代入熱平衡式： $Q = \dot{m}_c C_{p,c} (T_{c,o} - T_{c,i}) = \left(\frac{1}{6}\,\mathrm{kg/s}\right) \times 4.2\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)} \times 30\,\mathrm{K} = 21\,\mathrm{kW}$

即熱交換負荷為 $21\,\mathrm{kW}$（或 $21000\,\mathrm{W}$）。

(二) 機油流量為何？

由能量守恆定律，機油放熱率等於冷卻水吸熱率： $Q = \dot{m}_h C_{p,h} (T_{h,i} - T_{h,o})$

已知條件：

• $Q = 21\,\mathrm{kW}$
• 機油比熱：$C_{p,h} = 2.2\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$
• 機油溫降：$\Delta T_h = T_{h,i} - T_{h,o} = 90 - 70 = 20\,^\circ\mathrm{C} = 20\,\mathrm{K}$

求解機油質量流量 $\dot{m}_h$： $\dot{m}_h = \frac{Q}{C_{p,h}(T_{h,i} - T_{h,o})} = \frac{21\,\mathrm{kW}}{2.2\,\mathrm{kJ/(kg\cdot K)} \times 20\,\mathrm{K}} = \frac{21}{44}\,\mathrm{kg/s} \approx 0.4773\,\mathrm{kg/s}$

換算為每分鐘流量： $\dot{m}_h = 0.4773 \times 60 \approx 28.64\,\mathrm{kg/min}$

(三) 此熱交換器之有效度（effectiveness）為何？

1. 計算兩流體的熱容量率：

• 冷卻水側： $C_c = \dot{m}_c C_{p,c} = \left(\frac{1}{6}\,\mathrm{kg/s}\right) \times 4200\,\mathrm{J/(kg\cdot K)} = 700\,\mathrm{W/K}$
• 機油側： $C_h = \dot{m}_h C_{p,h} = \left(\frac{21}{44}\,\mathrm{kg/s}\right) \times 2200\,\mathrm{J/(kg\cdot K)} = 1050\,\mathrm{W/K}$

2. 判斷最小熱容量率 $C_{\min}$： $C_{\min} = \min(C_c, C_h) = C_c = 700\,\mathrm{W/K}$

3. 理論最大熱傳量 $Q_{\max}$： $Q_{\max} = C_{\min}(T_{h,i} - T_{c,i}) = 700\,\mathrm{W/K} \times (90 - 30)\,\mathrm{K} = 700 \times 60 = 42000\,\mathrm{W} = 42\,\mathrm{kW}$