109 專技高考高等考試 機械工程技師 熱力學與熱傳學（包括熱機） 考古題詳解

核心觀念

本題考查封閉系統的熱力學第一定律，以及循環過程的能量變化與淨功。採用「熱量進入系統為正、系統對外作功為正」的符號慣例，封閉系統第一定律為：

其中，$\Delta E$ 為系統總能量變化，$Q$ 為傳入系統的熱量，$W$ 為系統對外所作的功。總能量可包含內能、動能與位能；本題直接使用題目給定的 $\Delta E$。

解題方法

（一）封閉系統的熱力學第一定律

依上述符號慣例：

亦可移項寫成 $Q-W=\Delta E$，或 $W=Q-\Delta E$。

（二）第二個過程的系統功

循環完成後，系統回到初始狀態，因此整個循環的總能量變化為零：

代入 $\Delta E_1=20\ \mathrm{kJ}$、$\Delta E_3=-20\ \mathrm{kJ}$：

對第二個過程套用第一定律：

因此：

第二個過程中系統對外作功 $30\ \mathrm{kJ}$。

（三）整個熱力循環的淨功

將第一定律套用於各過程：

核心觀念

本題考查噴嘴的等熵絕熱膨脹與穩流能量方程式。

等熵過程中，理想氣體的壓力、溫度關係為

其中 $\gamma=C_p/C_v$。噴嘴將流體的焓降轉換為動能；若忽略位能變化及熱、功交換，穩流能量方程式為

對定比熱理想氣體，$h_1-h_2=C_p(T_1-T_2)$。

解題方法

已知入口壓力 $P_1=1359\ \mathrm{kPa}$、入口溫度 $T_1=150^\circ\mathrm{C}=423.15\ \mathrm{K}$，出口壓力 $P_2=680\ \mathrm{kPa}$，$\gamma=1.4$，且入口速度可忽略。

（一）出口溫度

由等熵壓溫關係：

核心觀念

本題考查理想氣體的等熵關係，以及渦輪機的穩定流動能量方程。題目未指定空氣性質表，以下採用常見的定比熱理想氣體近似：$k=1.4$、$c_p=1.004\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}$。

等熵理想氣體的溫度與壓力關係為

渦輪機每公斤空氣的穩定流動能量方程，在絕熱且忽略位能變化時為

其中速度項以 $\mathrm{J/kg}$ 計算；若焓以 $\mathrm{kJ/kg}$ 表示，速度項須除以 $1000$。

解題方法

已知入口溫度須先換成絕對溫度：

壓力比為

（一）出口溫度

代入等熵溫壓關係：

換算為攝氏溫度：

（二）比焓的入、出口變化

以入口到出口的焓變定義為 $\Delta h=h_2-h_1$。理想氣體定比熱近似下，

核心觀念

盒子不變形，因此空氣體積固定，沒有邊界功；盒子絕熱，因此沒有熱量傳入或傳出。輪槳功是外界對空氣輸入的功。以空氣為封閉系統，能量平衡為

其中 $Q=0$，且輪槳功輸入代表 $W_{\text{net,out}}<0$，所以輸入功等於內能增加量：

熵變可由理想氣體熵變公式求得；由於比容固定，亦可寫成 $\Delta S=mC_v\ln(T_2/T_1)$。可用能以環境溫度為基準，表示系統相對環境所具有的最大有用功。本題將終態空氣視為封閉系統，其可用能為

盒子體積不變，且以相同體積、環境溫度下的空氣作為環境基準狀態，因此 $V_2=V_0$，且理想氣體內能只與溫度有關。

解題方法

（一）盒內空氣質量

使用理想氣體狀態方程式：

代入初態數據，注意壓力換算為 $100\ \mathrm{kPa}=100{,}000\ \mathrm{Pa}$：

（二）加入的功

絕熱且定容，$Q=0$、邊界功為零。輪槳功輸入全部轉為空氣內能增加：

（三）熵增加

理想氣體熵變為

核心觀念

本題考查平板與流動空氣間的對流熱傳。依牛頓冷卻定律，對流熱傳率為

其中 $h$ 為對流熱傳係數、$A$ 為受熱面積、$T_s$ 為平板表面溫度，$T_\infty$ 為周圍空氣溫度。若溫度差與熱傳條件在一小時內維持不變，累積熱量為 $Q=\dot Q\,t$。

解題方法

題目給出平板尺寸 $75\ \mathrm{cm}\times80\ \mathrm{cm}$，換算成公尺後，單面面積為

溫度差為

因此對流熱傳率為

核心觀念

本題考查熱阻的定義，以及圓柱座標下穩態徑向熱傳導的熱阻公式。熱阻表示熱流通過某一傳熱過程時，造成單位熱流所需克服的溫差，概念類似電路中的電阻。

解題方法

對一般熱傳過程，熱阻定義為溫差除以熱傳率：

其中 $R_{\mathrm{th}}$ 的單位為 $\mathrm{K/W}$，$\Delta T$ 為傳熱兩端的溫差，$\dot Q$ 為熱傳率。若採用單位面積熱流率，則以熱通量 $q''$ 代替熱傳率，並需留意相應的面積因子。

對長圓柱只考慮徑向傳導，假設穩態、一維徑向熱傳、材料均質且熱傳導係數 $k$ 為常數，取半徑 $r$、厚度 $dr$ 的薄圓柱殼作為微小熱阻。其徑向傳熱面積為 $A(r)=2\pi rL$，因此微小熱阻為

由內半徑 $r_i$ 積分至外半徑 $r_o$：

核心觀念

本題考查無因次熱傳參數，以及流體流動時的熱邊界層與固體接觸面的傳熱阻礙。三個無因次數分別描述對流熱傳相對於導熱的強弱，以及動量擴散與熱擴散的相對快慢；熱邊界層與接觸熱阻則說明熱量如何在流體與固體界面附近傳遞。

解題方法與各名詞說明

（一）Nusselt number，努塞爾數 $Nu$

努塞爾數是流體對流熱傳與同一特徵長度尺度下分子導熱的比值，用來表示對流增強熱傳的程度：

其中 $h$ 為對流熱傳係數，$L_c$ 為特徵長度，$k_f$ 為流體熱導率。$Nu$ 愈大，表示相較於流體內部單靠導熱，對流作用使熱傳愈強。對流熱傳分析中，$Nu$ 常由實驗或經驗關係式依雷諾數、普朗特數及幾何條件求得，再用來計算 $h$。

（二）Prandtl number，普朗特數 $Pr$

普朗特數是動量擴散率與熱擴散率之比：

其中 $\nu=\mu/\rho$ 為動黏度，$\alpha=k_f/(\rho c_p)$ 為熱擴散率；$\mu$ 為動力黏度，$\rho$ 為密度，$c_p$ 為定壓比熱。普朗特數反映速度場與溫度場擴散快慢的相對關係：$Pr$ 大表示動量擴散相對較快、熱擴散較慢；$Pr$ 小則表示熱擴散相對較快。它也是許多強制對流努塞爾數關係式中的重要參數。

（三）熱邊界層

流體流過溫度與流體不同的固體表面時，黏滯作用會在壁面附近形成速度變化；壁面與流體間的溫差則使流體溫度在靠近壁面處改變。由壁面起算，溫度尚未恢復至自由流體溫度的近壁區域，稱為熱邊界層。

常以無因次溫度差降至某一小比例（例如自由流體與壁面溫差的 $1\%$）的位置，定義熱邊界層厚度 $\delta_t$。其厚度會隨流動與熱擴散條件改變，並與速度邊界層厚度 $\delta$ 有關；