109 年專技高考高等考試機械工程技師考古題與詳解

Question 1

如下圖所示之輪轂受到一旋轉力矩 $M=35\ \mathrm{N\cdot m}$ ，而輪轂與煞車把手間之接觸靜摩擦係數為 $0.4$ 。試求要將輪轂完全煞停所需之最小施力 $P$ ，以及此時對應於軸承 $O$ 點之水平與垂直反力分量。

輪轂之質量為 $25\ \mathrm{kg}$ ，但煞車槓桿的重量可以忽略。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查煞車接觸面的極限靜摩擦、力矩平衡，以及分別對煞車槓桿與輪轂列自由體圖。最小煞車施力對應輪轂即將滑動，此時摩擦力達到極限值： $$ F=\mus N $$ 其中 $F$ 為接觸面的切向摩擦力，$N$ 為法向力。圖示輪轂半徑為 $r=125\ \mathrm{mm}=0.125\ \mathrm{m}$。 解題方法 依圖示旋轉力矩方向，輪轂受順時針力矩；煞車接觸摩擦力對輪轂產生反向力矩。先對輪轂列力矩平衡，可求出所需摩擦力： $$ F r=M $$ $$ F=\frac{M}{r} =\frac{35}{0.125} =280\ \mathrm{N} $$ 最小施力時摩擦力達極限，故： $$ F=\mus N \quad\Longrightarrow\quad N=\frac{F}{\mus} =\frac{280}{0.4} =700\ \mathrm{N} $$ 再取煞車槓桿為自由體。依作用與反作用，輪轂對槓桿的接觸力為向上的 $700\ \mathrm{N}$ 法向力，以及向右的 $280\ \mathrm{N}$ 摩擦力。以支點 $A$ 取力矩，可消去支點反力。圖中施力點至 $A$ 的水平距離為 $300+700=1000\ \mathrm{mm}=1.0\ \mathrm{m}$；

Question 2

如下圖所示之由馬達與齒輪組所驅動之滑輪吊車，欲等速吊起質量 $100\ \mathrm{kg}$ 之重物 $C$。若纜繩 $A$ 處之速度為 $2\ \mathrm{m/s}$，且滑輪與纜繩重量可不計，試求： 1. 重物 $C$ 之上升速度。 2. 纜繩 $A$ 處所需之拉力。

Accepted Answer

已查到考選部的原始考題 PDF，題幹與你提供的版本一致；但目前能讀取的文字內容沒有把滑輪圖的纜繩端點標清楚，無法據此驗證繩長約束。

Question 3

有一均勻板片狀之車庫門 $AB$，質量為 $40\ \mathrm{kg}$，由兩側各一如下圖所示之滑軌及滑輪機構所支撐。若車庫門板於 $	heta=0^\circ$ 時為靜止，且此時彈簧已被拉伸變形 $0.3\ \mathrm{m}$，試求車庫門在 $	heta=30^\circ$ 時之角速度。 應以功能原理求解，否則不予以計分。

Accepted Answer

核心觀念 本題使用功能原理（功與能原理），將車庫門下降所減少的重力位能，扣除兩側彈簧增加的彈性位能，等於車庫門末態的動能。滑軌與滑輪視為理想機構，支承力不對車庫門作功。 解題方法 設車庫門長度為 $L=2.4\ \mathrm{m}$、質量為 $m=40\ \mathrm{kg}$。角度由 $0^\circ$ 增至 $30^\circ$ 時，端點 $A$ 沿垂直軌道下降 $$ \Delta yA=L\sin30^\circ=2.4(0.5)=1.2\ \mathrm{m}. $$ 繩長不變，端點 $A$ 下降 $1.2\ \mathrm{m}$，使活動滑輪向左移動一半距離： $$ \Delta xs=\frac{1.2}{2}=0.6\ \mathrm{m}. $$ 活動滑輪向左移動時，彈簧伸長量增加。因此每側彈簧的末態伸長量為 $$ x2=0.3+0.6=0.9\ \mathrm{m}. $$ 題目指出兩側各有一組機構，故彈簧位能增加量為 $$ \Delta Us =2\left[\frac12 k(x2^2-x1^2)\right] =2\left[\frac12(150)(0.9^2-0.3^2)\right] =108\ \mathrm{J}. $$ 車庫門質心距端點 $A$ 為 $L/2$，下降高度為

Question 4

有一如下圖所示之均勻桿件骨架 $ABC$，以固定之加速度 $a0$ 做水平移動。若垂直骨架部分 $AB$ 的長度為 $L$、厚度為 $t$、垂直所示平面之寬度為 $b$，材料質量密度為 $\rho$，在不計應力集中下，試推導此部分桿件中之最大彎曲應力 $\sigma{\max}$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考固定加速度下桿件的慣性力，以及由慣性力造成的彎曲應力。依達朗伯原理，可把向右加速度 $a0$ 等效為沿桿件向左的慣性力分布。垂直桿 $AB$ 的單位長度質量為 $\rho bt$，因此其單位長度慣性力大小為 $$ q=\rho bt\,a0 $$ 這個水平分布力垂直於 $AB$ 的軸線，會使 $AB$ 產生彎曲。 解題方法 令 $y$ 為自 $B$ 向上量至任一截面的距離。該截面以上的桿段長度為 $y$，承受均勻慣性力 $q$。對此桿段取截面力矩，截面彎矩大小為 $$ M(y)=q y\left(\frac{y}{2}\right) =\frac{\rho bt\,a0 y^2}{2} $$ 彎矩隨 $y^2$ 增加，因此在 $y=L$，也就是 $B$ 端截面達最大值： $$ M{\max}=\frac{\rho bt\,a0 L^2}{2} $$ $AB$ 的矩形截面以 $t$ 為受彎方向尺寸、$b$ 為垂直圖面的寬度。其截面二次矩與最外緣距離分別為

Question 5

有一如下圖之桁架結構於節點 $B$ 承受一吊掛負載 $W$。桿件皆屬鋼製圓管形細長桿件，其外徑為 $100\ \mathrm{mm}$、壁厚為 $6\ \mathrm{mm}$，兩支撐點 $AC$ 之距離為 $7\ \mathrm{m}$。 鋼材之彈性模數為 $E=200\ \mathrm{GPa}$，且節點 $B$ 只容許在此桁架平面上變形位移。試求此桁架結構基於尤拉挫曲負載（Euler buckling load）之臨界負載 $Wc$。

Accepted Answer

核心觀念

此題考查桁架節點平衡與細長桿件的尤拉挫曲負載。負載 $W$ 作用於節點 $B$ 時，兩桿皆受壓；將兩桿的軸力與各自的尤拉挫曲負載比較，先達到挫曲負載的桿件決定結構的臨界負載。

桁架桿件兩端視為鉸接，故有效長度係數 $K=1$ ，尤拉挫曲負載為

P_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^2EI}{(KL)^2} =\frac{\pi^2EI}{L^2}.

解題方法

先由桁架幾何求出桿長，再以節點 $B$ 的水平、垂直平衡求兩桿軸力與 $W$ 的關係。接著分別計算兩桿的尤拉挫曲負載，並換算成使該桿達到挫曲時的 $W$ ；其中較小者就是結構的臨界負載。

設三角形高度為 $h$ 。由水平投影可得

h\cot 40^\circ+h\cot 55^\circ=7,

因此

h=\frac{7}{\cot40^\circ+\cot55^\circ} =3.700\ \mathrm{m}.

兩桿長度為

L_{AB}=\frac{h}{\sin40^\circ}=5.756\ \mathrm{m}, \qquad L_{BC}=\frac{h}{\sin55^\circ}=4.516\ \mathrm{m}.

設 $P_{AB}$ 、 $P_{BC}$ 為兩桿的壓力。由節點 $B$ 水平平衡，

P_{AB}\cos40^\circ=P_{BC}\cos55^\circ.

配合垂直平衡 $P_{AB}\sin40^\circ+P_{BC}\sin55^\circ=W$ ，可得

P_{AB}=\frac{\cos55^\circ}{\sin95^\circ}W =0.5758W,

P_{BC}=\frac{\cos40^\circ}{\sin95^\circ}W =0.7690W.

109 專技高考高等考試機械工程技師工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）考古題詳解

第 1 題20 分

核心觀念

解題方法

第 2 題20 分

第 3 題20 分

第 4 題20 分

第 5 題20 分

核心觀念

解題方法

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