108 專技高考高等考試 機械工程技師 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

核心觀念

圓管受扭時，截面剪應力與半徑成正比：

其中 $T$ 為該區段的內扭矩，$J$ 為中空圓截面的極慣性矩。剪應力最大值出現在外表面 $r=d_o/2$。

解題方法

由圖可知，兩個扳手各施加一個力偶，力臂均為 $250\ \mathrm{mm}$。每個扳手對管子施加的扭矩大小為

兩個扭矩方向相同。由自由端往固定端取截面：區域 $AB$ 只承受一個扳手的扭矩；區域 $BC$ 承受兩個扳手的合扭矩。因此

管子的極慣性矩為

外半徑 $c=12.5\ \mathrm{mm}$，故兩區的最大扭轉剪應力為

截面剪切應力分布

核心觀念

本題同時檢核木樑的最大剪應力與最大彎曲應力：

• 梁內剪力由剪力圖求得；矩形或 T 形截面的剪應力使用 $\tau=\dfrac{VQ}{Ib}$。
• 梁內彎矩由彎矩圖求得；彎曲正應力使用 $\sigma=\dfrac{Mc}{I}$。
• 分別求出剪應力與彎曲應力限制下的 $w$，較小者即為可施加的最大載荷。

解題方法

取 $A$ 為 $x=0$，均勻載荷作用於 $0\le x\le1\ \mathrm{m}$。其合力為 $w(1\ \mathrm{m})$，作用於距 $A$ 點 $0.5\ \mathrm{m}$ 處。由平衡方程式：

因此：

在載荷範圍內，剪力為 $V(x)=\frac34w-wx$；載荷結束後至 $B$ 點，剪力為 $-\frac14w$。因此最大剪力絕對值為：

在 $0\le x\le1\ \mathrm{m}$，彎矩為：

令 $V(x)=\dfrac{dM}{dx}=0$，得彎矩最大位置 $x=0.75\ \mathrm{m}$，故：

此處 $w$ 以 $\mathrm{N/m}$ 表示。

T 形截面性質

以截面底部為基準，腹板面積為 $25(150)=3750\ \mathrm{mm^2}$，翼板面積為 $150(25)=3750\ \mathrm{mm^2}$。截面形心距底部：

截面總高為 $175\ \mathrm{mm}$，所以形心至底緣距離 $c_{\text{底}}=118.75\ \mathrm{mm}$，至頂緣距離 $c_{\text{頂}}=56.25\ \mathrm{mm}$。底緣距離較大，故彎曲應力以底緣控制。

依平行軸定理，截面二次矩為：

核心觀念

此題考查平面剛體的相對速度。對同一根剛桿上的兩點 $P、Q$，速度關係為

其中 $\mathbf r_{Q/P}$ 是由 $P$ 指向 $Q$ 的位置向量。取逆時針角速度為正，則平面運動中 $\boldsymbol\omega=\omega\mathbf k$，且 $\mathbf k\times(x\mathbf i+y\mathbf j)=-y\mathbf i+x\mathbf j$。

解題方法與推導

取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上。依圖中尺寸，

套環速度為

設桿 $AD$ 的角速度為 $\omega_{AD}$，桿 $BD$ 的角速度為 $\omega_{BD}$。

由桿 $AD$ 的相對速度式：

由桿 $BD$ 的相對速度式：

核心觀念

本題使用能量守恆，並利用繩索繃緊且固定端不動的幾何約束，連結線軸中心的平移速度與線軸的角速度。

線軸的轉動慣量由迴轉半徑 $K_G$ 求得：

繩索繞在半徑 $r=0.3\ \mathrm{m}$ 的中心軸上，因此繩索放出的速度等於線軸中心沿斜面的速度；其大小關係為

斜面光滑，接觸處沒有摩擦力，所以不能使用外半徑 $0.5\ \mathrm{m}$ 的無滑動滾動關係。

解題方法

設線軸中心沿斜面移動距離為 $s$。中心下降的垂直高度為 $s\sin30^\circ$，所以重力位能減少量為

線軸由靜止釋放，當角速度達到 $6\ \mathrm{rad/s}$ 時，能量守恆給出