113 專技高考高等考試 機械工程技師 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

核心觀念

滑雪者正在坡道上滑行，板與雪面間應使用動摩擦係數 $\mu_k$。等速度代表加速度為零，因此沿坡道方向的合力為零。

解題方法

設滑雪者沿坡道向下滑行，取坡道方向為受力分解方向。重力沿坡道向下的分量為 $mg\sin\theta$，法向力為 $N=mg\cos\theta$；動摩擦力沿坡道向上，大小為 $f_k=\mu_kN$。

等速度時，沿坡道方向合力為零：

核心觀念

車輛通過山頂時，路面曲率中心位於車輛下方，因此向心加速度方向向下，大小為

車輛剛好與路面失去接觸時，路面對車輛的正向力為零。此時重力提供全部向心力，可由此求出曲率半徑。

解題方法

題目以「公斤」表示車輛與駕駛員的質量，採用 $g=9.81\ \text{m/s}^2$。速度須先換算為 $\text{m/s}$。

（一）求曲率半徑 $R$

汽車剛好失去接觸，故路面正向力 $N=0$。以向下為向心方向，套用牛頓第二運動定律：

令 $N=0$，質量 $m$ 約去：

將 $150\ \text{km/h}$ 換算為

所以

（二）求座椅對駕駛員的正向力

核心觀念

本題同時檢查花瓶的滑動條件與傾倒條件。花瓶與推車一起加速時，花瓶底部的靜摩擦力提供花瓶的水平加速度；加速度過大時，花瓶會滑動。加速度也會使花瓶產生傾倒趨勢，當重力與慣性力對底部邊緣的力矩達到平衡時，花瓶即將傾倒。

推車與地面無摩擦，因此推車和花瓶組成的系統，其水平外力滿足

$F=(m_{\text{車}}+m_{\text{瓶}})a$

解題方法

花瓶底部直徑為 $0.4\,\text{m}$，故底部半寬為 $0.2\,\text{m}$；重心高度為 $h=0.8\,\text{m}$。

一、檢查滑動條件

花瓶所需的水平靜摩擦力為 $f=m_{\text{瓶}}a$，法向力為 $N=m_{\text{瓶}}g$。因此不滑動須滿足

$\frac{f}{N}=\frac{a}{g}\leq\mu_s=0.8$

也就是 $a\leq0.8g$。

二、檢查傾倒條件

在推車加速的參考系中，花瓶受到向右的慣性力 $m_{\text{瓶}}a$，作用高度為 $0.8\,\text{m}$；重力 $m_{\text{瓶}}g$ 對底部邊緣提供恢復力矩，其水平力臂為 $0.2\,\text{m}$。臨界傾倒時，兩力矩相等：

核心觀念

本題考剛性樑的靜力平衡，以及支柱的軸向應力與強度限制。先由樑的平衡求出兩支柱的軸力，再用應力－應變圖讀取聚酯樹脂的拉伸與壓縮破壞應力，分別檢核兩支柱。

由圖可讀得聚酯樹脂的最大拉伸應力約為 $50\ \mathrm{MPa}$，最大壓縮應力約為 $95\ \mathrm{MPa}$。又因 $1\ \mathrm{MPa}=1\ \mathrm{N/mm^2}$，可直接用截面積計算支柱承載力。

解題方法

令支柱 $AB$、$CD$ 對樑的支承力分別為 $R_A$、$R_C$。樑的長度 $AC=1\ \mathrm{m}$，負載作用點距 $A$ 為 $0.5\ \mathrm{m}$。

對 $A$ 點取力矩：

再由垂直方向力平衡：

$AB$ 支柱受拉，$CD$ 支柱受壓。兩支柱截面積為

核心觀念

分布載重可先換算為合力，再以樑的靜力平衡求支承反力。剪力與彎矩的關係為

因此，三角形分布載重會使剪力圖呈拋物線、彎矩圖呈三次曲線。以下採向上反力為正、正彎矩為下凹（sagging）。

解題方法

每一段三角形載重的合力為三角形面積：

三角形載重的合力作用點距載重較小端 $2/3$ 段長。故第一段合力作用於 $x=6\ \mathrm{m}$，第二段作用於 $x=9+6=15\ \mathrm{m}$。

由整體平衡：

令 $x$ 自 $A$ 點起算，載重函數為

（一）剪力圖

由 $V(0^+)=R_A$，逐段積分載重：

重要剪力值如下：

剪力在 $A$ 點由 $0$ 跳升至 $+22.5\ \mathrm{kN}$；第一段載重區內於