111 年專技高考高等考試機械工程技師考古題與詳解

Question 1

如下圖所示，有一質量 $2000\,\mathrm{kg}$ 的汽車以 $v1=100\,\mathrm{km/h}$ 的速度在動摩擦係數 $\muk=0.25$ 的路面上行駛。 若駕駛需要 $0.75\,\mathrm{s}$ 的時間做出反應後才能鎖定煞車，導致汽車打滑，試求汽車在駕駛決定煞車後至汽車停止前行駛的距離。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 汽車從駕駛決定煞車到停止，行駛距離包含兩部分： 1. 反應距離：駕駛反應期間，汽車仍以原速行駛。 2. 煞車距離：車輪鎖定後，汽車受動摩擦力作用而減速至停止。 車輪鎖定後，路面摩擦力大小為 $Fk=\muk mg$，因此減速度大小為 $$ a=\frac{Fk}{m}=\muk g $$ 解題方法 先將車速換算為 SI 單位： $$ v1=100\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} =100\left(\frac{1000}{3600}\right) =27.78\,\mathrm{m/s} $$ 反應期間行駛的距離為 $$ sr=v1tr =(27.78)(0.75) =20.83\,\mathrm{m} $$ 車輪鎖定後，汽車的減速度為

Question 2

如下圖所示，均勻的板條箱質量為 $50\,\mathrm{kg}$，放在具有傾斜表面的推車上。 已知板條箱與推車之間的靜摩擦係數為 $\mus=0.5$，試求將導致板條箱相對於推車傾倒或滑動的最小加速度為多少？ 圖示標示：推車傾角為 $15^\circ$；板條箱尺寸為 $0.6\,\mathrm{m}$ 與 $1\,\mathrm{m}$，並受水平向左的推力 $F$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 以推車為參考座標系時，板條箱除受重力外，還受一個向右的慣性力 $ma$。重力與慣性力合成後，會使板條箱沿斜面向右下方滑動，也會使它繞斜面下緣傾倒。 比較「滑動」與「傾倒」各自所需的加速度，較小者就是板條箱開始失去穩定的加速度。 解題方法 令斜面向右下方為正方向，斜面角度 $	heta=15^\circ$。沿斜面方向的有效力為 $$ D=m(a\cos	heta+g\sin	heta) $$ 垂直斜面的正向力為 $$ N=m(g\cos	heta-a\sin	heta) $$ 其中 $a$ 為推車向左的加速度。 滑動臨界加速度 所需靜摩擦力大小為 $D$，最大靜摩擦力為 $\musN$。滑動臨界條件為 $D=\musN$： $$ m(a\cos	heta+g\sin	heta) =\mus m(g\cos	heta-a\sin	heta) $$ 質量消去後： $$ a{	ext{滑}} =g\frac{\mus\cos	heta-\sin	heta} {\cos	heta+\mus\sin	heta} $$ 代入 $\mus=0.5$、$	heta=15^\circ$、$g=9.81\,\mathrm{m/s^2}$：

Question 3

如下圖所示，試求陰影區域面積的形心位置 $(\bar{x},\bar{y})$。 圖中陰影區域位於 $4\,\mathrm{m}	imes4\,\mathrm{m}$ 的正方形內，邊界包含拋物線 $y^2=4x$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 形心座標由面積一階矩定義： $$ \bar{x}=\frac{My}{A} =\frac{1}{A}\iintA x\,dA, \qquad \bar{y}=\frac{Mx}{A} =\frac{1}{A}\iintA y\,dA. $$ 圖中陰影區域在拋物線 $y^2=4x$ 的左側、正方形範圍內。以水平微小面積條帶積分時，條帶高度為 $dy$，寬度為拋物線在該高度的 $x$ 座標。 解題方法 由拋物線方程式得： $$ x=\frac{y^2}{4},\qquad 0\le y\le 4. $$ 因此水平條帶的寬度為 $y^2/4$，面積為 $dA=(y^2/4)\,dy$。 先求陰影面積： $$ A=\int0^4 \frac{y^2}{4}\,dy =\left[\frac{y^3}{12}\right]0^4 =\frac{16}{3}\ \mathrm{m^2}. $$ 對 $y$ 軸的一階矩為：

Question 4

如下圖所示，兩個直徑皆為 $25\,\mathrm{mm}$ 的軸係由 A-36 鋼製成，兩軸間使用固定在其端部的齒輪連接。

各軸的另一端分別連接到 $A$ 和 $B$ 處的固定支架，且由 $C$ 和 $D$ 處的軸頸軸承支撐，軸在軸承軸線上可自由旋轉。

如果將 $500\,\mathrm{N\cdot m}$ 的扭矩施加到 $E$ 處的齒輪，試求 $A$ 和 $B$ 處的反作用力。

圖中標示：齒輪直徑分別為 $50\,\mathrm{mm}$ 與 $100\,\mathrm{mm}$ ； $A$ 至 $E$ 的距離為 $1.5\,\mathrm{m}$ ； $D$ 至 $B$ 的距離為 $0.75\,\mathrm{m}$ 。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩根軸受齒輪連接時的扭轉變形相容，以及固定端的反作用扭矩。軸頸軸承 $C、D$ 可自由轉動，因此不提供扭轉反力矩。 兩軸直徑相同、材料相同，故扭轉剛度皆依 $GJ/L$ 計算，其中 $J=\pi d^4/32$。齒輪嚙合則滿足節圓切向位移相同、方向相反： $$rE	hetaE=-rF	hetaF$$ 解題方法 依圖示，$E$ 為直徑 $100\,\mathrm{mm}$ 的大齒輪，$F$ 為直徑 $50\,\mathrm{mm}$ 的小齒輪；兩軸的有效扭轉長度分別為 $LA=1.5\,\mathrm{m}$、$LB=0.75\,\mathrm{m}$。軸承 $D$ 位於小齒輪與固定端之間，但不妨礙軸自由扭轉。 設固定端 $A、B$ 的反作用扭矩大小分別為 $TA、TB$。兩軸的扭轉角大小為 $$ 	hetaE=\frac{TA LA}{GJ},\qquad 	hetaF=\frac{TB LB}{GJ} $$ 由齒輪嚙合的位移相容條件： $$rE	hetaE=rF	hetaF$$ 代入 $rE/rF=100/50=2$，得

Question 5

如下圖所示，中空管之一端固定在一垂直桿件上，另一端受到扳手外力作用。試求中空管 $a$ - $a$ 截面上 $B$ 點處的應力狀態。

圖中標示：中空管外徑為 $25\,\mathrm{mm}$ 、內徑為 $19\,\mathrm{mm}$ ；截面 $a$ - $a$ 至彎折處的距離為 $250\,\mathrm{mm}$ ；彎折處至外力作用線的距離為 $300\,\mathrm{mm}$ ；外力大小為 $250\,\mathrm{N}$ ，其方向如圖所示，與標示方向夾角為 $60^\circ$ 。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 以截面 $a$-$a$ 的形心為取矩點，將外力分解成 $x、y$ 方向分量，再由 $\mathbf M=\mathbf r	imes\mathbf F$ 求截面內力。截面上的正應力由彎矩造成；橫向剪力則以 $	au=VQ/(It)$ 計算。 依圖示，$z$ 軸沿中空管軸線，外力作用線距截面 $a$-$a$ 為 $250+300=550\,\mathrm{mm}$；點 $B$ 位於截面的 $+x$ 外緣。 解題方法 外力與 $y$ 方向夾角為 $60^\circ$，因此 $$ Fx=250\sin60^\circ=216.5\,\mathrm N,\qquad |Fy|=250\cos60^\circ=125\,\mathrm N $$ 管軸方向的力臂為 $rz=550\,\mathrm{mm}$。外力對截面造成的彎矩分量大小為 $$ |My|=rzFx=550(216.5)=119\,075\,\mathrm{N\cdot mm} $$ $$ |Mx|=rz|Fy|=550(125)=68\,750\,\mathrm{N\cdot mm} $$ 中空圓管外半徑 $ro=12.5\,\mathrm{mm}$，內半徑 $ri=9.5\,\mathrm{mm}$，截面二次矩為 $$ Ix=Iy=\frac{\pi}{4}(ro^4-ri^4) =\frac{\pi}{4}(12.5^4-9.5^4) =12\,778\,\mathrm{mm^4} $$ 點 $B$ 在 $x$ 軸上，故 $yB=0$、$xB=12.5\,\mathrm{mm}$。彎曲正應力為

111 專技高考高等考試機械工程技師工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）考古題詳解

第一題20 分

第二題20 分

第三題10 分

核心觀念

解題方法

第四題25 分

第五題25 分

其他考古題

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第 一 題20 分

第 二 題20 分

第 三 題10 分