112 專技高考高等考試 機械工程技師 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學） 考古題詳解

112 年・專技高考・高等考試・機械工程技師
試題代碼 工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）

第 一 題20 分

如圖一所示之平面機構，桿件 ABCABC 在 BB、CC 處透過銷分別與水平滑動的套環及曲柄 CDCD 連接。作用於 AA 點之力為 F=1000 NF=1000\,\mathrm{N}，θ\theta 為 FF 力與水平之夾角，且 0≤θ≤π20\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}。忽略所有機件重量及摩擦力的影響，若要該機構保持現狀之靜平衡，試求解下列問題。

圖一：🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) θ\theta 應為多少弧度？（15 分）

(二) 曲柄 DD 點之反作用合力為何？（5 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題以剛體靜力平衡求外力方向。桿件 ABCABC 受 AA 點外力、BB 點滑套反力及 CC 點曲柄作用力；滑套沿水平面無摩擦滑動，因此 BB 點反力只有鉛直分量。曲柄 CDCD 只在 C、DC、D 兩端受力，屬二力構件，所以兩端作用力沿 CDCD 軸線。

解題方法

依圖取 CC 點為原點，從尺寸讀出各點座標（單位：mm）：

C=(0,0),B=(160,320),A=(250,500),D=(300,125)C=(0,0),\quad B=(160,320),\quad A=(250,500),\quad D=(300,125)

因此 CDCD 長度為 325325 mm，其方向單位向量為

(300325,125325)=(1213,513)\left(\frac{300}{325},\frac{125}{325}\right) =\left(\frac{12}{13},\frac{5}{13}\right)

令曲柄作用於桿件 ABCABC 的力為 PP，方向取沿 C→DC\to D；令 BB 點鉛直反力為 VV。圖示 AA 點的力指向左下方，因此

F=(−1000cos⁡θ, −1000sin⁡θ) N\mathbf F=(-1000\cos\theta,\,-1000\sin\theta)\ \mathrm{N}

對桿件 ABCABC 列水平力平衡：

∑Fx=0:1213P−1000cos⁡θ=0\sum F_x=0:\qquad \frac{12}{13}P-1000\cos\theta=0

故

P=1312(1000cos⁡θ)P=\frac{13}{12}(1000\cos\theta)

列鉛直力平衡：

∑Fy=0:V+513P−1000sin⁡θ=0\sum F_y=0:\qquad V+\frac{5}{13}P-1000\sin\theta=0

代入 PP：

V=1000sin⁡θ−512(1000cos⁡θ)V=1000\sin\theta-\frac{5}{12}(1000\cos\theta)
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題20 分

直徑 100 mm100\,\mathrm{mm} 之實心圓軸同時承受 100 kN100\,\mathrm{kN} 之軸向拉力、5 kN⋅m5\,\mathrm{kN\cdot m} 的最大彎矩和 10 kN⋅m10\,\mathrm{kN\cdot m} 的扭矩作用，試求解軸內以下應力各為多少 MPa\mathrm{MPa}？

(一) 最大剪應力。（6 分）

(二) 最大拉應力。（7 分）

(三) 最大壓應力。（7 分）

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查圓軸同時承受軸向力、彎矩與扭矩時的應力組合，以及平面應力下的主應力與最大剪應力。

軸向力與彎矩產生正應力；在圓軸表面，兩者沿軸向相加或相減。扭矩產生剪應力。表面一點的應力狀態可用平面應力莫耳圓求得：

σ1,2=σ2±(σ2)2+τ2,τmax⁡=(σ2)2+τ2\sigma_{1,2} =\frac{\sigma}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^2+\tau^2}, \qquad \tau_{\max} =\sqrt{\left(\frac{\sigma}{2}\right)^2+\tau^2}

其中 σ\sigma 是該點的軸向正應力，τ\tau 是該點的扭轉剪應力。最大拉應力取最大主應力；最大壓應力取最小主應力。

解題方法

已知實心圓軸直徑 d=100 mmd=100\,\mathrm{mm}，半徑 c=50 mmc=50\,\mathrm{mm}。將各載重換成一致單位：

P=100 kN=100,000 N,M=5 kN⋅m=5×106 N⋅mm,T=10 kN⋅m=10×106 N⋅mmP=100\,\mathrm{kN}=100{,}000\,\mathrm{N},\quad M=5\,\mathrm{kN\cdot m}=5\times10^6\,\mathrm{N\cdot mm},\quad T=10\,\mathrm{kN\cdot m}=10\times10^6\,\mathrm{N\cdot mm}

截面性質為：

A=πd24=7,853.98 mm2A=\frac{\pi d^2}{4}=7{,}853.98\,\mathrm{mm^2} I=πd464=4.9087×106 mm4,J=πd432=9.8175×106 mm4I=\frac{\pi d^4}{64}=4.9087\times10^6\,\mathrm{mm^4}, \qquad J=\frac{\pi d^4}{32}=9.8175\times10^6\,\mathrm{mm^4}

軸向拉應力：

σP=PA=100,0007,853.98=12.73 MPa\sigma_P=\frac{P}{A} =\frac{100{,}000}{7{,}853.98} =12.73\,\mathrm{MPa}

彎曲應力的表面最大值：

σM=McI=(5×106)(50)4.9087×106=50.93 MPa\sigma_M=\frac{Mc}{I} =\frac{(5\times10^6)(50)}{4.9087\times10^6} =50.93\,\mathrm{MPa}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題30 分

一靜止於水平路面之汽車，其前後輪軸距及重心位置如圖二所示。若 b=1.5 mb=1.5\,\mathrm{m}、c=1.2 mc=1.2\,\mathrm{m}、h=0.6 mh=0.6\,\mathrm{m}，輪胎與路面之靜摩擦係數 μ=0.8\mu=0.8，重力加速度 g=9.81 m/s2g=9.81\,\mathrm{m/s^2}，試求解下列問題。

圖二：🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) 若該車為前輪驅動，則其可能的最大起動加速度 aa 為多少 m/s2\mathrm{m/s^2}？（10 分）

(二) 若該車為後輪驅動，則其可能的最大起動加速度 aa 為多少 m/s2\mathrm{m/s^2}？（10 分）

(三) 若該車為四輪驅動，則其可能的最大起動加速度 aa 為多少 m/s2\mathrm{m/s^2}？（5 分）

(四) 後輪驅動使車不致後翻之最大起動加速度 aa 為多少 m/s2\mathrm{m/s^2}？（5 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

汽車起動加速時，輪胎提供的縱向靜摩擦力是車輛的驅動力。加速會使車身有向後傾的趨勢，因此前輪正向力減少、後輪正向力增加。各輪軸可提供的最大驅動力為該軸正向力乘以靜摩擦係數：

Fmax⁡=μNF_{\max}=\mu N

令後輪軸為 x=0x=0，則重心距後輪軸 b=1.5 mb=1.5\,\mathrm{m}，距前輪軸 c=1.2 mc=1.2\,\mathrm{m}，軸距為

L=b+c=2.7 mL=b+c=2.7\,\mathrm{m}

重心離地高度為 h=0.6 mh=0.6\,\mathrm{m}。

解題方法

以隨車加速的參考系分析，對重心施加向後的慣性力 mama。垂直方向力平衡及對重心取矩，可得前、後輪軸的正向力：

Nf+Nr=mgN_f+N_r=mg NfL=mgb−mahN_f L=mgb-mah

因此

Nf=m(gb−ah)L,Nr=m(gc+ah)LN_f=\frac{m(gb-ah)}{L}, \qquad N_r=\frac{m(gc+ah)}{L}

其中 NfN_f、NrN_r 分別為前、後輪軸正向力。前驅或後驅時，驅動輪軸的最大靜摩擦力等於車輛加速所需的 mama。

（一）前輪驅動

前輪提供全部驅動力，故

ma=μNf=μm(gb−ah)Lma=\mu N_f =\mu\frac{m(gb-ah)}{L}

消去 mm 並整理：

a(L+μh)=μgba(L+\mu h)=\mu gb a=μgbL+μh=0.8(9.81)(1.5)2.7+0.8(0.6)=3.70 m/s2a=\frac{\mu gb}{L+\mu h} =\frac{0.8(9.81)(1.5)}{2.7+0.8(0.6)} =\boxed{3.70\,\mathrm{m/s^2}}

（二）後輪驅動

後輪提供全部驅動力，故

ma=μNr=μm(gc+ah)Lma=\mu N_r =\mu\frac{m(gc+ah)}{L}

消去 mm 並整理：

a(L−μh)=μgca(L-\mu h)=\mu gc
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題30 分

如圖三所示為一均質之支承懸臂樑（propped cantilever beam），總長 3 m3\,\mathrm{m}，AA 端為滾子支承，BB 端為固定支承，在 CC 位置施加 1.0 kN⋅m1.0\,\mathrm{kN\cdot m} 之偶矩，不計材料重量，試求解下列問題。

圖三：🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) AA、BB 支承之反作用力（kN\mathrm{kN}）與反作用力矩（kN⋅m\mathrm{kN\cdot m}）為何？（15 分）

(二) 繪出樑之剪力圖與彎矩圖。（5 分）

(三) 請求出 ACAC 段（0<x<2 m0<x<2\,\mathrm{m}）最大撓度之位置（無需求出撓度）。（10 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考查支承懸臂樑的靜不定分析、剪力與彎矩圖，以及由彎矩曲率關係判斷撓度極值位置。梁為均質、等截面，故全梁的 EIEI 相同。

取 xx 自 A 向右量，逆時針為正。依圖示，C 點所加偶矩為逆時針 1.0 kN⋅m1.0\,\mathrm{kN\cdot m}。彎矩圖採正彎矩為下凹（正撓曲）慣例。

解題方法

A 端滾子支承提供一個垂直反力；B 端固定支承提供水平反力、垂直反力與反力矩。單靠平衡方程無法求出所有反力，因此以 A 端垂直反力作為冗餘力，利用 A 點撓度為零的相容條件求解。

為便於計算，先把 B 視為固定端、移除 A 端支承。令 ss 自 B 向 A 量，則全長 L=3 mL=3\,\mathrm m，C 點距 B 為 1 m1\,\mathrm m。在 A 點施加單位垂直力時，虛彎矩為 m=3−sm=3-s；逆時針偶矩在 B 至 C 段造成的彎矩為 11。因此，單位荷重法給出的 A 點撓度為

δA=1EI[RA∫03(3−s)2 ds+1∫01(3−s) ds]=0.\delta_A =\frac{1}{EI}\left[ R_A\int_0^3(3-s)^2\,ds +1\int_0^1(3-s)\,ds \right]=0.

代入積分值：

RA(9)+2.5=0,RA=−518 kN.R_A(9)+2.5=0, \qquad R_A=-\frac{5}{18}\,\mathrm{kN}.

負號表示 A 端反力向下。再由垂直力平衡與對 B 點取矩，求得 B 端反力與反力矩：

RBy=−RA=518 kN,R_{By}=-R_A=\frac{5}{18}\,\mathrm{kN}, MB+3RA+1=0⟹MB=−116 kN⋅m.M_B+3R_A+1=0 \quad\Longrightarrow\quad M_B=-\frac{11}{6}\,\mathrm{kN\cdot m}.

因此，B 端反力矩為順時針。梁上沒有水平外力，故 RBx=0R_{Bx}=0。

(一) 支承反力與反力矩

  • A 端：RA=−518 kNR_A=-\dfrac{5}{18}\,\mathrm{kN}，即向下 0.278 kN0.278\,\mathrm{kN}；MA=0M_A=0。
  • B 端：RBy=518 kNR_{By}=\dfrac{5}{18}\,\mathrm{kN}，即向上 0.278 kN0.278\,\mathrm{kN}；RBx=0R_{Bx}=0。
  • B 端反力矩：MB=−116 kN⋅mM_B=-\dfrac{11}{6}\,\mathrm{kN\cdot m}，即順時針 1.833 kN⋅m1.833\,\mathrm{kN\cdot m}。

(二) 剪力圖與彎矩圖

梁上沒有垂直集中力或分布載重，因此剪力在全梁為常數：

V(x)=−518 kN,0<x<3.V(x)=-\frac{5}{18}\,\mathrm{kN}, \qquad 0<x<3.

剪力圖為全長位於負值的水平線。C 點的集中偶矩不造成剪力跳躍。

彎矩函數為

M(x)={−5x18,0≤x<2,−5x18−1,2<x≤3,kN⋅m.M(x)= \begin{cases} -\dfrac{5x}{18}, & 0\le x<2,\\[6pt] -\dfrac{5x}{18}-1, & 2<x\le 3, \end{cases} \qquad \mathrm{kN\cdot m}.

主要圖形數值如下：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

機械工程技師《工程力學（包括靜力學、動力學與材料力學）》其他年度

114113111110109108