113 專技高考高等考試 機械工程技師 電工學（包括電機機械） 考古題詳解

113 年・專技高考・高等考試・機械工程技師
試題代碼 電工學（包括電機機械）

第 一 題20 分

交流穩態電路如下圖所示，電源電壓相量為 E^S=200∠0∘ V\hat{E}_S=200\angle 0^\circ\ \mathrm{V}（有效值），負載電阻 RL=20 ΩR_L=20\ \Omega。

圖示電路包含串聯阻抗 2 Ω2\ \Omega、j2 Ωj2\ \Omega 與 −j10 Ω-j10\ \Omega，負載端標示負載電壓 V^L\hat{V}_L、負載電流 I^L\hat{I}_L 及負載電阻 RLR_L。

計算負載端電壓 V^L\hat{V}_L、負載電流 I^L\hat{I}_L 及負載電阻 RLR_L 消耗功率。

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核心觀念

交流穩態電路以相量與複數阻抗計算。電容阻抗 −j10 Ω-j10\ \Omega 與負載電阻 RL=20 ΩR_L=20\ \Omega 並聯；並聯等效阻抗再與 2+j2 Ω2+j2\ \Omega 串聯。負載電壓即為並聯支路兩端的電壓。

純電阻消耗的平均功率為： PL=∣V^L∣2RL=∣I^L∣2RLP_L=\frac{|\hat V_L|^2}{R_L}=|\hat I_L|^2R_L

解題方法

先求電容與負載電阻的並聯等效阻抗：

Zp=20∥(−j10)=20(−j10)20−j10=4−j8 ΩZ_p=20\parallel(-j10) =\frac{20(-j10)}{20-j10} =4-j8\ \Omega

全電路等效阻抗為：

Zeq=(2+j2)+(4−j8)=6−j6 ΩZ_{\text{eq}}=(2+j2)+(4-j8)=6-j6\ \Omega

以相量分壓求負載端電壓：

V^L=E^SZpZeq=200∠0∘4−j86−j6=200(1−j3)=200−j66.67 V=210.82∠−18.43∘ V\begin{aligned} \hat V_L &=\hat E_S\frac{Z_p}{Z_{\text{eq}}}\\ &=200\angle0^\circ\frac{4-j8}{6-j6}\\ &=200\left(1-\frac{j}{3}\right)\\ &=200-j66.67\ \mathrm{V}\\ &=210.82\angle-18.43^\circ\ \mathrm{V} \end{aligned}
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第 二 題20 分

直流電路如下圖所示。直流電壓 VS=12 VV_S=12\ \mathrm{V}，電感 LS=200 mHL_S=200\ \mathrm{mH}。當開關 S1S_1 閉合前，電感 LSL_S 電流為零。

當時間為零（t=0t=0）時，開關 S1S_1 閉合，即 a、ba、b 兩點短路。計算時間 t>0t>0 的電流時間函數 iL(t)i_L(t)、電壓時間函數 v2(t)v_2(t)，以及電路穩態時電感 LSL_S 儲存的能量。

圖示電路包含開關 S1S_1、2 Ω2\ \Omega 電阻、0.5 Ω0.5\ \Omega 電阻、6 Ω6\ \Omega 電阻、電感 LSL_S，以及標示為 v2(t)v_2(t) 與 iL(t)i_L(t) 的電壓及電流方向。

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核心觀念

本題考查直流開關切換後的串聯電感一階暫態響應。電感電流不能瞬間改變，且在直流穩態時電感視為短路。電感電流的時間常數為

τ=LSRth\tau=\frac{L_S}{R_{\mathrm{th}}}

其中 RthR_{\mathrm{th}} 是由電感端看入其餘電路、將獨立電壓源短路後的等效電阻。

解題方法

先由電感端求戴維寧等效電壓與等效電阻。將電感取下開路時，0.5 Ω0.5\,\Omega 支路沒有電流，因此其上沒有壓降；6 Ω6\,\Omega 電阻上的電壓為

Vth=1262+6=9 VV_{\mathrm{th}}=12\frac{6}{2+6}=9\ \mathrm{V}

將 12 V12\ \mathrm{V} 電壓源短路後，電感端看入的等效電阻為

Rth=0.5+(2∥6)=0.5+2×62+6=2 ΩR_{\mathrm{th}}=0.5+(2\parallel 6) =0.5+\frac{2\times6}{2+6} =2\ \Omega

因此時間常數為

τ=0.22=0.1 s\tau=\frac{0.2}{2}=0.1\ \mathrm{s}

電感電流初值為 iL(0+)=iL(0−)=0i_L(0^+)=i_L(0^-)=0。穩態時電感視為短路，戴維寧等效電路中的穩態電流為

iL(∞)=VthRth=92=4.5 Ai_L(\infty)=\frac{V_{\mathrm{th}}}{R_{\mathrm{th}}} =\frac{9}{2}=4.5\ \mathrm{A}

套用一階電路的電流響應：

iL(t)=iL(∞)+[iL(0+)−iL(∞)]e−t/τi_L(t)=i_L(\infty)+\bigl[i_L(0^+)-i_L(\infty)\bigr]e^{-t/\tau}

故

iL(t)=4.5(1−e−10t) A,t>0i_L(t)=4.5\left(1-e^{-10t}\right)\ \mathrm{A},\qquad t>0
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第 三 題20 分

某三相平衡系統的電源、負載及傳輸線等效電感抗組成系統如下圖。負載端線電壓為 440 V440\ \mathrm{V}（有效值），三相負載 A 的總實功率為 200 kW200\ \mathrm{kW}、功率因數為 0.80.8 落後；三相負載 B 的總視在功率為 120 kVA120\ \mathrm{kVA}、功率因數為 0.90.9 領前。

計算電源側線電壓及電源側功率因數。

圖示系統包含三相電源、電源側、傳輸線等效電感抗、三相負載 A 及三相負載 B。各相傳輸線等效電感抗標示為 j0.1 Ωj0.1\ \Omega。

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核心觀念

本題考查三相平衡系統的複功率、線電流，以及傳輸線電抗造成的電壓降與無功功率消耗。

三相總複功率為 S=P+jQS=P+jQ，其中感性負載的 QQ 為正，容性負載的 QQ 為負。已知受電端線電壓時，可先求總負載複功率與線電流，再以每相等效電路計算電源側電壓。

解題方法

以負載端相電壓為相量參考，令 VR,ϕV_{R,\phi} 為負載端相電壓，II 為線電流。三相平衡系統有：

S負載=3VLLI∗S_{\text{負載}}=\sqrt{3}V_{LL}I^*

1. 計算各負載複功率

負載 A 的功率因數為 0.80.8 落後：

QA=PAtan⁡(cos⁡−10.8)=200×0.75=150 kVArQ_A=P_A\tan(\cos^{-1}0.8) =200\times0.75=150\text{ kVAr}

因此：

SA=200+j150 kVAS_A=200+j150\text{ kVA}

負載 B 的功率因數為 0.90.9 領前，故其無功功率為負：

PB=120×0.9=108 kWP_B=120\times0.9=108\text{ kW} QB=−1201−0.92=−52.31 kVArQ_B=-120\sqrt{1-0.9^2}=-52.31\text{ kVAr}

因此總負載複功率為：

S負載=SA+SB=(200+108)+j(150−52.31)=308+j97.69 kVAS_{\text{負載}}=S_A+S_B =(200+108)+j(150-52.31) =308+j97.69\text{ kVA}

2. 計算線電流

負載端線電壓為 440 V440\text{ V}，所以：

I=S負載∗3VLL=308−j97.693×0.440=404.1−j128.2 AI=\frac{S_{\text{負載}}^*}{\sqrt{3}V_{LL}} =\frac{308-j97.69}{\sqrt{3}\times0.440} =404.1-j128.2\text{ A}

3. 計算電源側線電壓

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第 四 題20 分

某台他激式直流電動機的電樞電阻為 1.2 Ω1.2\ \Omega，其激磁場電流可調整。當激磁場電流為 10 A10\ \mathrm{A}、轉速為 900 轉／分900\ \mathrm{轉／分}時，量測其反電動勢為 100 V100\ \mathrm{V}。忽略碳刷壓降及鐵心磁飽和，計算下列問題：

(一) 當激磁場電流為 8 A8\ \mathrm{A}、外加電樞端電壓為 52 V52\ \mathrm{V}、轉速為 450 轉／分450\ \mathrm{轉／分}時，計算其電樞電流及電磁轉矩。（10 分）

(二) 當激磁場電流為 6 A6\ \mathrm{A}、外加電樞端電壓為 120 V120\ \mathrm{V}、電樞電流為 8 A8\ \mathrm{A}時，計算轉速及電磁功率。（10 分）

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核心觀念

他激式直流電動機的磁通由外部激磁電流決定。忽略磁飽和時，磁通與激磁電流成正比：

Φ∝If\Phi \propto I_f

反電動勢與電磁轉矩分別為：

Ea=kΦω,Te=kΦIaE_a = k\Phi\omega,\qquad T_e = k\Phi I_a

因此，可利用已知的反電動勢作為基準，按磁通與轉速比例換算其他工作狀態的反電動勢。電樞電壓方程式為：

Va=Ea+IaRaV_a = E_a + I_aR_a

電磁功率則為：

Pem=EaIa=TeωP_{\mathrm{em}} = E_a I_a = T_e\omega

解題方法

已知基準狀態為 If=10 AI_f=10\ \mathrm{A}、n=900 轉／分n=900\ \mathrm{轉／分} 時，Ea=100 VE_a=100\ \mathrm{V}。由於磁通與激磁電流成正比，其他狀態的反電動勢可按激磁電流及轉速比例計算：

Ea2Ea1=If2If1n2n1\frac{E_{a2}}{E_{a1}} = \frac{I_{f2}}{I_{f1}}\frac{n_2}{n_1}

（一）電樞電流及電磁轉矩

激磁電流為 8 A8\ \mathrm{A}、轉速為 450 轉／分450\ \mathrm{轉／分}，反電動勢為：

Ea=100(810)(450900)=40 VE_a = 100\left(\frac{8}{10}\right)\left(\frac{450}{900}\right) = 40\ \mathrm{V}

由電樞電壓方程式：

Ia=Va−EaRa=52−401.2=10 AI_a = \frac{V_a-E_a}{R_a} = \frac{52-40}{1.2} = 10\ \mathrm{A}

先以基準狀態求得機器常數：

kΦ1=Ea1ω1=100900(2π/60)=103π V s/radk\Phi_1 = \frac{E_{a1}}{\omega_1} = \frac{100}{900(2\pi/60)} = \frac{10}{3\pi}\ \mathrm{V\,s/rad}

在激磁電流為 8 A8\ \mathrm{A} 時，磁通為基準的 8/108/10，故：

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第 五 題20 分

某台三相、Y 接、6 極、線電壓為 380 V380\ \mathrm{V}（有效值）、60 Hz60\ \mathrm{Hz} 的鼠籠式感應電動機，每相等效至定子的近似等效電路如下圖。R2=0.2 ΩR_2=0.2\ \Omega，每相等效磁化電抗 jXm=j20 ΩjX_m=j20\ \Omega，每相等效鐵損電阻 RC=200 ΩR_C=200\ \Omega，其中 ss 為滑差率。

此電動機操作於額定電壓、頻率，其轉子導體的電流頻率為 2 Hz2\ \mathrm{Hz}。計算電動機的轉速、電磁轉矩、輸入總實功率及總虛功率。

圖示每相近似等效電路包含串聯電阻 0.25 Ω0.25\ \Omega、串聯電抗 j0.45 Ωj0.45\ \Omega、磁化電抗 jXmjX_m、鐵損電阻 RCR_C，以及轉子等效電阻 R2s\frac{R_2}{s}。輸入端電壓標示為 V^1\hat{V}_1，輸入電流標示為 I^1\hat{I}_1。

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核心觀念

本題考查三相感應電動機的滑差、轉速、每相等效電路，以及由氣隙功率求電磁轉矩。三相 Y 接時，每相電壓為線電壓除以 3\sqrt{3}；總實功率與總虛功率則由每相功率乘以 3。

解題方法

1. 由轉子電流頻率求滑差與轉速

轉子電流頻率與電源頻率的關係為 f2=sf1f_2=sf_1，所以

s=f2f1=260=130s=\frac{f_2}{f_1}=\frac{2}{60}=\frac{1}{30}

同步轉速為

ns=120f1P=120(60)6=1200 rpmn_s=\frac{120f_1}{P}=\frac{120(60)}{6}=1200\ \mathrm{rpm}

因此電動機轉速為

n=(1−s)ns=(1−130)(1200)=1160 rpmn=(1-s)n_s=\left(1-\frac{1}{30}\right)(1200) =1160\ \mathrm{rpm}

2. 求轉子支路電流

每相電壓為

Vϕ=3803 VV_\phi=\frac{380}{\sqrt{3}}\ \mathrm{V}

轉子等效電阻為

R2s=0.21/30=6 Ω\frac{R_2}{s}=\frac{0.2}{1/30}=6\ \Omega

依圖中每相串聯阻抗，轉子支路總阻抗為

Z支路=0.25+6+j(0.45+0.45)=6.25+j0.9 ΩZ_{\text{支路}}=0.25+6+j(0.45+0.45) =6.25+j0.9\ \Omega

故轉子支路電流平方為

∣I2∣2=Vϕ26.252+0.92=(380/3)239.8725≈1207.18 A2|I_2|^2 =\frac{V_\phi^2}{6.25^2+0.9^2} =\frac{(380/\sqrt{3})^2}{39.8725} \approx1207.18\ \mathrm{A^2}

3. 求電磁轉矩

氣隙功率為

Pag=3∣I2∣2R2s=3(1207.18)(6)≈21.729 kWP_{\mathrm{ag}}=3|I_2|^2\frac{R_2}{s} =3(1207.18)(6) \approx21.729\ \mathrm{kW}

轉換成機械功率的功率為

Pconv=(1−s)Pag≈2930(21.729)=21.005 kWP_{\mathrm{conv}}=(1-s)P_{\mathrm{ag}} \approx\frac{29}{30}(21.729) =21.005\ \mathrm{kW}

轉子機械角速度為

ωm=2πn60=2π(1160)60≈121.47 rad/s\omega_m=\frac{2\pi n}{60} =\frac{2\pi(1160)}{60} \approx121.47\ \mathrm{rad/s}

因此電磁轉矩為

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