114 專技高考高等考試 機械工程技師 熱力學與熱傳學（包括熱機） 考古題詳解

114 年・專技高考・高等考試・機械工程技師
試題代碼 熱力學與熱傳學（包括熱機）

第 一 題15 分

某充填管路中，氧氣以壓力 8 bar8\ \mathrm{bar}、溫度 300 K300\ \mathrm{K} 穩態流動，聯結一體積為 0.2 m30.2\ \mathrm{m^3}、存有壓力 1 bar1\ \mathrm{bar}、溫度 289 K289\ \mathrm{K} 氧氣之容器。

充填時，氧氣緩緩流入絕熱條件之容器，直至容器壓力達 5 bar5\ \mathrm{bar} 時將充填閥關閉，並以自然對流方式冷卻該容器至大氣溫度 289 K289\ \mathrm{K}。

氧氣之定容比熱、氣體常數分別為 917 J/(kg⋅K)917\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}、260 J/(kg⋅K)260\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}。

請計算：

(一) 該容器冷卻至大氣溫度時之壓力。

(二) 充填至容器中之氧氣質量。

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核心觀念

本題考查控制體積的非穩態充填，以及理想氣體的狀態方程。充填期間，剛性容器絕熱、沒有邊界功，且只有氧氣流入；因此以「容器內氣體」為控制體積，套用非穩態質量與能量平衡。

需注意：充填閥關閉時容器內氣體尚未冷卻至 289 K289\ \mathrm{K}；冷卻過程中容器密閉、質量與體積不變，故其壓力與絕對溫度成正比。

解題方法

設容器初始狀態為 1，充填閥關閉瞬間為 2，冷卻至大氣溫度後為 3。理想氣體狀態方程為

PV=mRT.PV=mRT.

（一）冷卻後的容器壓力

先由充填期間的能量平衡求出狀態 2 的溫度。容器剛性，故無邊界功；絕熱，故無熱傳。忽略動能與位能變化，非穩態能量平衡為

m2u2−m1u1=(m2−m1)hin.m_2u_2-m_1u_1=(m_2-m_1)h_{\mathrm{in}}.

對定比熱理想氣體，u=cvTu=c_vT、h=cpTh=c_pT，而

cp=cv+R=917+260=1177 J/(kg⋅K).c_p=c_v+R=917+260=1177\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

因此

m2cvT2−m1cvT1=(m2−m1)cpTin.m_2c_vT_2-m_1c_vT_1=(m_2-m_1)c_pT_{\mathrm{in}}.

初始容器質量與充填後質量分別為

m1=P1VRT1,m2=P2VRT2.m_1=\frac{P_1V}{RT_1}, \qquad m_2=\frac{P_2V}{RT_2}.

代入上式並整理，可得

T2=P2V(cvT1+cpTin)−P1VcpTinP2Vcp−P1VR.T_2= \frac{P_2V(c_vT_1+c_pT_{\mathrm{in}})-P_1Vc_pT_{\mathrm{in}}} {P_2Vc_p-P_1VR}.

取 P1=1 barP_1=1\ \mathrm{bar}、P2=5 barP_2=5\ \mathrm{bar}、T1=289 KT_1=289\ \mathrm{K}、Tin=300 KT_{\mathrm{in}}=300\ \mathrm{K}，並以一致單位代入壓力，可得

T2=357.5 K.T_2=357.5\ \mathrm{K}.
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第 二 題20 分

空氣於 1 bar1\ \mathrm{bar}、40∘C40^\circ\mathrm{C} 充滿於體積為 0.04 m30.04\ \mathrm{m^3} 之容器，於定容加熱至 4 bar4\ \mathrm{bar} 後，定壓冷卻至原來之溫度。

請計算：

(一) 其淨熱量（J\mathrm{J}）。

(二) 其熵（J/K\mathrm{J/K}）變化。

(三) 於溫熵圖中繪製這些過程。

空氣定壓比熱與氣體常數分別為 1.005 kJ/(kg⋅K)1.005\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} 與 0.287 kJ/(kg⋅K)0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}。

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核心觀念

將空氣視為理想氣體，並假設比熱為常數。題目描述兩個過程：

  1. 定容加熱：體積不變，壓力由 1 bar1\ \mathrm{bar} 升至 4 bar4\ \mathrm{bar}。
  2. 定壓冷卻：壓力維持 4 bar4\ \mathrm{bar}，溫度降回初始溫度。

循環淨熱量等於循環淨功；空氣回到初始溫度，但終態體積與初態不同，因此熵變不為零。計算熵變時，以理想氣體熵變式比較初、終狀態。

解題方法

初始狀態記為 1，定容加熱後記為 2，定壓冷卻後記為 3。已知

P1=1 bar,T1=313.15 K,V1=0.04 m3P_1=1\ \mathrm{bar},\quad T_1=313.15\ \mathrm{K},\quad V_1=0.04\ \mathrm{m^3} P2=4 bar,V2=V1,P3=P2,T3=T1P_2=4\ \mathrm{bar},\quad V_2=V_1,\quad P_3=P_2,\quad T_3=T_1

先求空氣質量與各狀態

由理想氣體方程式 PV=mRTPV=mRT：

m=P1V1RT1=(100 kPa)(0.04 m3)(0.287 kJ/(kg⋅K))(313.15 K)=0.04451 kgm=\frac{P_1V_1}{RT_1} =\frac{(100\ \mathrm{kPa})(0.04\ \mathrm{m^3})} {(0.287\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)})(313.15\ \mathrm{K})} =0.04451\ \mathrm{kg}

定容過程中 P/TP/T 為定值，因此

T2=T1P2P1=4T1=1252.6 KT_2=T_1\frac{P_2}{P_1} =4T_1=1252.6\ \mathrm{K}

定壓冷卻至 T3=T1T_3=T_1，由 V/TV/T 為定值可得

V3=V2T3T2=0.04(14)=0.01 m3V_3=V_2\frac{T_3}{T_2} =0.04\left(\frac{1}{4}\right) =0.01\ \mathrm{m^3}

(一) 淨熱量

定容加熱沒有邊界功：

Q12=mcv(T2−T1)Q_{12}=mc_v(T_2-T_1)

由 cv=cp−Rc_v=c_p-R：

cv=1.005−0.287=0.718 kJ/(kg⋅K)c_v=1.005-0.287=0.718\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

定壓冷卻的熱量為

Q23=mcp(T3−T2)Q_{23}=mc_p(T_3-T_2)

因此循環兩段過程的淨熱量為

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第 三 題20 分

請於溫熵圖中繪製下圖所示之燃氣渦輪機熱力循環，並計算此燃氣渦輪機輸出功率及熱效率。

燃氣定壓比熱為 1.1 kJ/(kg⋅K)1.1\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}，定壓與定容比熱之比值為 1.41.4。

（原卷附有燃氣渦輪機熱力循環示意圖。）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查含中間冷卻、回熱及再熱的雙軸燃氣渦輪機循環。計算時依序求出各狀態溫度，再計算渦輪輸出功、壓縮機耗功及外部熱輸入。

已知 cp=1.1 kJ/(kg⋅K)c_p=1.1\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}、γ=cp/cv=1.4\gamma=c_p/c_v=1.4，故

R=cpγ−1γ=0.3143 kJ/(kg⋅K),γ−1γ=0.2857R=c_p\frac{\gamma-1}{\gamma} =0.3143\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad \frac{\gamma-1}{\gamma}=0.2857

壓縮機等熵效率與渦輪等熵效率分別採用

ηc=Tout,s−TinTout−Tin,ηt=Tin−ToutTin−Tout,s\eta_c=\frac{T_{out,s}-T_{in}}{T_{out}-T_{in}}, \qquad \eta_t=\frac{T_{in}-T_{out}}{T_{in}-T_{out,s}}

其中等熵狀態溫度由理想氣體等熵關係求得：

Tout,sTin=(PoutPin)(γ−1)/γ\frac{T_{out,s}}{T_{in}} =\left(\frac{P_{out}}{P_{in}}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}

回熱器效能為

ε=T5−T4T9−T4\varepsilon=\frac{T_5-T_4}{T_9-T_4}

解題方法與計算

依圖中壓力資料，流程為 1→21\to2 低壓壓縮、2→32\to3 中間冷卻、3→43\to4 高壓壓縮、4→54\to5 回熱、5→65\to6 燃燒加熱、6→76\to7 高壓渦輪膨脹、7→87\to8 再熱、8→98\to9 低壓渦輪膨脹。

1. 壓縮機出口溫度

低壓壓縮機由 11 bar 壓至 2.82.8 bar：

T2s=300(2.8)0.2857=402.61 KT_{2s}=300(2.8)^{0.2857}=402.61\ \mathrm K T2=300+402.61−3000.85=420.71 KT_2=300+\frac{402.61-300}{0.85} =420.71\ \mathrm K

中間冷卻後 T3=300 KT_3=300\ \mathrm K。高壓壓縮機由 2.82.8 bar 壓至 88 bar：

T4s=300(82.8)0.2857=404.94 KT_{4s}=300\left(\frac{8}{2.8}\right)^{0.2857} =404.94\ \mathrm K T4=300+404.94−3000.80=431.17 KT_4=300+\frac{404.94-300}{0.80} =431.17\ \mathrm K

2. 渦輪出口溫度

高壓渦輪由 88 bar 膨脹至 2.82.8 bar，T6=1400 KT_6=1400\ \mathrm K：

T7s=1400(2.88)0.2857=1037.20 KT_{7s}=1400\left(\frac{2.8}{8}\right)^{0.2857} =1037.20\ \mathrm K T7=1400−0.90(1400−1037.20)=1073.48 KT_7=1400-0.90(1400-1037.20) =1073.48\ \mathrm K

再熱至 T8=1200 KT_8=1200\ \mathrm K。低壓渦輪由 2.82.8 bar 膨脹至 11 bar：

T9s=1200(12.8)0.2857=894.17 KT_{9s}=1200\left(\frac{1}{2.8}\right)^{0.2857} =894.17\ \mathrm K T9=1200−0.95(1200−894.17)=909.46 KT_9=1200-0.95(1200-894.17) =909.46\ \mathrm K

3. 回熱器出口溫度

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第 四 題10 分

乾度為 0.90.9 之 7 bar7\ \mathrm{bar} 水蒸汽於汽缸中等溫可逆膨脹至 1.5 bar1.5\ \mathrm{bar}。於此過程，饋入汽缸之熱量為 800 kJ/kg800\ \mathrm{kJ/kg}，請計算此過程輸入或輸出之功（kJ/kg\mathrm{kJ/kg}）。

蒸汽 1.5 bar1.5\ \mathrm{bar}，飽和溫度為 111.4∘C111.4^\circ\mathrm{C}。蒸汽內能與焓分別以 uu 及 hh 表示，其下標 ff 與 gg 分別代表飽和液體與飽和汽體狀態。

蒸汽 7 bar7\ \mathrm{bar}：

uf=696 kJ/kg,ug=2573 kJ/kgu_f=696\ \mathrm{kJ/kg},\qquad u_g=2573\ \mathrm{kJ/kg} hf=697 kJ/kg,hg=2764 kJ/kgh_f=697\ \mathrm{kJ/kg},\qquad h_g=2764\ \mathrm{kJ/kg}

其飽和溫度為 165∘C165^\circ\mathrm{C}。

過熱蒸汽於 7 bar7\ \mathrm{bar} 之內能與焓如下：

蒸汽溫度（∘C^\circ\mathrm{C}）內能（kJ/kg\mathrm{kJ/kg}）焓（kJ/kg\mathrm{kJ/kg}）
15025802773
20026562873

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核心觀念

本題考查封閉系統的熱力學第一定律、可逆等溫過程，以及濕蒸汽與過熱蒸汽的性質計算。採用「系統吸熱為正、系統對外作功為正」的符號慣例：

q−w=u2−u1⟹w=q−(u2−u1)q-w=u_2-u_1 \qquad\Longrightarrow\qquad w=q-(u_2-u_1)

汽缸內為定量水蒸汽，故可按每公斤質量分析。又因為過程等溫，初、終態溫度皆為 165∘C165^\circ\mathrm{C}。

解題方法

初態在 7 bar7\ \mathrm{bar}，乾度 x1=0.9x_1=0.9，屬於濕蒸汽。濕蒸汽比內能為：

u1=uf+x1(ug−uf)u_1=u_f+x_1(u_g-u_f)

代入題目數據：

u1=696+0.9(2573−696)=2385.3 kJ/kgu_1=696+0.9(2573-696) =2385.3\ \mathrm{kJ/kg}

等溫膨脹至 1.5 bar1.5\ \mathrm{bar} 時，題目給定該壓力的飽和溫度為 111.4∘C111.4^\circ\mathrm{C}。因為終態溫度仍是 165∘C165^\circ\mathrm{C}，高於該壓力的飽和溫度，終態為過熱蒸汽。

終態性質須使用 1.5 bar1.5\ \mathrm{bar}、165∘C165^\circ\mathrm{C} 的過熱蒸汽數據；題目提供的過熱蒸汽表是 7 bar7\ \mathrm{bar} 數據，不能直接套用到終態。故本題依已提供資料，利用 7 bar7\ \mathrm{bar} 過熱蒸汽表在 150∘C150^\circ\mathrm{C} 與 200∘C200^\circ\mathrm{C} 之間線性內插，求得相同溫度下的內能：

u2=2580+165−150200−150(2656−2580)=2602.8 kJ/kgu_2=2580+\frac{165-150}{200-150}(2656-2580) =2602.8\ \mathrm{kJ/kg}
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第 五 題25 分

某直徑為 5 cm5\ \mathrm{cm}、密度為 8960 kg/m38960\ \mathrm{kg/m^3}、比熱為 386 J/(kg⋅K)386\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}、熱導率為 400 W/(m⋅K)400\ \mathrm{W/(m\cdot K)} 之銅球處於熱力平衡狀態，溫度為 450∘C450^\circ\mathrm{C}。

將此銅球投入溫度為 50∘C50^\circ\mathrm{C} 之油池。其降溫期間，銅球表面之自然對流係數維持於 15 W/(m2⋅K)15\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}。

請計算此銅球溫度降至 100∘C100^\circ\mathrm{C} 所需之時間。

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核心觀念

本題考查非穩態熱傳導中的集總容量法（Lumped Capacitance Method）。當固體內部導熱遠快於表面對流時，球體內部溫度可視為均勻，並隨時間變化。以銅球為控制體，能量平衡為

ρVcpdTdt=−hA(T−T∞)\rho V c_p\frac{dT}{dt}=-hA(T-T_\infty)

其中 T∞=50∘CT_\infty=50^\circ\mathrm{C} 為油池溫度，AA 為銅球表面積，VV 為體積。

解題方法

先檢查集總容量法的適用性。球體的特徵長度為 Lc=V/A=D/6L_c=V/A=D/6，故畢歐數

Bi=hLck=15(0.05/6)400=3.13×10−4≪0.1Bi=\frac{hL_c}{k} =\frac{15(0.05/6)}{400} =3.13\times10^{-4}\ll 0.1

可將銅球視為內部溫度均勻。

將能量平衡分離變數並積分，得到

T(t)−T∞Ti−T∞=exp⁡(−hAρVcpt)\frac{T(t)-T_\infty}{T_i-T_\infty} =\exp\left(-\frac{hA}{\rho Vc_p}t\right)

因此，從初溫 TiT_i 冷卻至目標溫度 TT 所需時間為

t=ρVcphAln⁡(Ti−T∞T−T∞)t=\frac{\rho Vc_p}{hA} \ln\left(\frac{T_i-T_\infty}{T-T_\infty}\right)

球體半徑 r=0.025 mr=0.025\ \mathrm{m}，且 V/A=r/3V/A=r/3，所以

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第 六 題10 分

某板式熱交換器採用熱傳強化技術，分別提升其高溫側與低溫側水流之熱對流係數至 Dittus-Boelter 公式值之 2.22.2 倍與 1.51.5 倍。

此熱交換器高溫側與低溫側流道之水利直徑（Hydraulic diameter）均為 300 mm300\ \mathrm{mm}，板材之熱導率為 15 W/(m⋅K)15\ \mathrm{W/(m\cdot K)}、厚度為 5 mm5\ \mathrm{mm}、面積為 1.5 m21.5\ \mathrm{m^2}。

當其高溫側與低溫側之水溫分別為 80∘C80^\circ\mathrm{C} 與 40∘C40^\circ\mathrm{C} 時，對應高溫水與低溫水之普朗特數（Prandtl number, PrPr）分別為 2.22.2 與 4.34.3。若高溫與低溫水流之雷諾數（Re）分別為 5000050000 與 2500025000，請計算此板式熱交換器傳遞之熱傳功率（W\mathrm{W}）。

Dittus-Boelter 公式：

Nu=0.023×Re0.8PrnNu=0.023\times Re^{0.8}Pr^n

壁溫高於水溫時，n=0.4n=0.4；壁溫低於水溫時，n=0.3n=0.3。

高溫與低溫水之導熱率均為 0.65 W/(m⋅K)0.65\ \mathrm{W/(m\cdot K)}。

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核心觀念

本題考查熱交換器的總熱阻與整體熱傳係數。熱量依序通過高溫側對流、板材導熱及低溫側對流，三段熱阻串聯：

1UA=1hhA+tkwA+1hcA\frac{1}{UA} = \frac{1}{h_h A} +\frac{t}{k_w A} +\frac{1}{h_c A}

因此：

Q˙=UA(Th−Tc)\dot Q=UA(T_h-T_c)

題目未提供流道長度或體積流率，無法計算水側熱容量率與出口溫度；依題目所給兩側水溫為代表溫度，計算以 80∘C−40∘C=40 K80^\circ\mathrm C-40^\circ\mathrm C=40\ \mathrm K 作為兩側對數平均溫差。

解題方法

先由 Dittus–Boelter 公式求兩側努塞數，再用

Nu=hDhkf⟹h=Nu kfDhNu=\frac{hD_h}{k_f} \quad\Longrightarrow\quad h=\frac{Nu\,k_f}{D_h}

求對流係數。接著套用強化倍率，最後計算總熱阻及熱傳功率。

題目採用強化後的對流係數倍率，且未提供壁面溫度以判定各側實際採用的指數 nn。依壁溫高於水溫的情況計算高溫側 n=0.4n=0.4，依壁溫低於水溫的情況計算低溫側 n=0.3n=0.3。

1. 高溫側對流係數

Nuh=0.023(50000)0.8(2.2)0.4≈223.6Nu_h=0.023(50000)^{0.8}(2.2)^{0.4} \approx 223.6

以水的導熱率 kf=0.65 W/(m⋅K)k_f=0.65\ \mathrm{W/(m\cdot K)}、水利直徑 Dh=0.300 mD_h=0.300\ \mathrm m 計算 Dittus–Boelter 公式值：

hh,DB=223.6(0.65)0.300≈484.4 W/(m2⋅K)h_{h,\mathrm{DB}} =\frac{223.6(0.65)}{0.300} \approx 484.4\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}

高溫側強化至 2.22.2 倍：

hh=2.2hh,DB≈1065.7 W/(m2⋅K)h_h=2.2h_{h,\mathrm{DB}} \approx 1065.7\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}

2. 低溫側對流係數

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