110 專技高考高等考試 機械工程技師 機動學與機械設計 考古題詳解

110 年・專技高考・高等考試・機械工程技師
試題代碼 機動學與機械設計

第 一 題20 分

圖一所示之四連桿機構 ABCDABCD，連桿 AD‾\overline{AD} 為機架，最短連桿 AB‾\overline{AB} 為輸入桿，連桿 BCBC 與 CDCD 的長度分別為 70 mm70\ \mathrm{mm} 與 50 mm50\ \mathrm{mm}。

若該機構的最大傳力角與最小傳力角分別為 109∘109^\circ 與 57∘57^\circ，試求連桿 AB‾\overline{AB} 與連桿 AD‾\overline{AD} 的長度，並判斷四連桿機構的運動型態。

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核心觀念

傳力角 μ\mu 是連桿 BCBC 與從動桿 CDCD 的夾角。四連桿機構在輸入桿 ABAB 與機架 ADAD 共線時，傳力角達到極值。此時以 B、C、DB、C、D 為頂點的三角形中，BDBD 是已知兩邊 BC、CDBC、CD 的夾角 μ\mu 所對的邊，可用餘弦定理求得。

解題方法

設輸入桿 AB=aAB=a、機架 AD=dAD=d。由於 ABAB 為最短連桿，兩桿共線時，BDBD 的兩種長度為 d−ad-a 與 d+ad+a。

在三角形 BCDBCD 中，BC=70 mmBC=70\ \mathrm{mm}、CD=50 mmCD=50\ \mathrm{mm}，由餘弦定理：

BD2=BC2+CD2−2(BC)(CD)cos⁡μBD^2=BC^2+CD^2-2(BC)(CD)\cos\mu

傳力角為最小值 57∘57^\circ 時：

BD57∘=702+502−2(70)(50)cos⁡57∘≈59.90 mmBD_{57^\circ} =\sqrt{70^2+50^2-2(70)(50)\cos57^\circ} \approx 59.90\ \mathrm{mm}

傳力角為最大值 109∘109^\circ 時：

BD109∘=702+502−2(70)(50)cos⁡109∘≈98.38 mmBD_{109^\circ} =\sqrt{70^2+50^2-2(70)(50)\cos109^\circ} \approx 98.38\ \mathrm{mm}

因為 109∘>57∘109^\circ>57^\circ，且餘弦定理中 BD2BD^2 隨 μ\mu 增大而增大，所以較長的 BDBD 對應 d+ad+a，較短的 BDBD 對應 d−ad-a：

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第 二 題15 分

列式計算如圖二 (a) 與 (b) 所示之碎石機構與刨刀機構的自由度。

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核心觀念

本題以平面機構的 Kutzbach 自由度公式計算自由度：

F=3(n−1)−2J1−J2F=3(n-1)-2J_1-J_2

其中，nn 為包含機架在內的構件數；J1J_1 為低副數，包含轉動副與滑動副；J2J_2 為高副數，例如銷在槽內滑動的銷槽副。

解題方法

依圖中構件編號計算構件數，再辨認各接頭屬於低副或高副。機架列為構件 1。

圖二 (a)：碎石機構

構件共有 1、2、3、41、2、3、4，故 n=4n=4。圖中轉動副為機架與構件 2、構件 2 與 4、構件 4 與 3，以及構件 3 與機架，共 J1=4J_1=4；沒有高副，故 J2=0J_2=0。

F=3(4−1)−2(4)−0=1F=3(4-1)-2(4)-0=1
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第 三 題25 分

圖三所示之回歸齒輪系減速機，所有齒輪皆為壓力角為 20∘20^\circ 的全深漸開線正齒輪，齒冠 a=ma=m，轉軸 AA 與轉軸 BB 的中心距為 240 mm240\ \mathrm{mm}，且該減速機的轉速比為 1515。

已知齒輪 2 之齒數為 16 齒、模數為 5 mm5\ \mathrm{mm}，齒輪 5 之模數為 6 mm6\ \mathrm{mm}，試決定齒輪 3、4 與 5 的齒數，並檢查這個齒輪減速機是否會發生干涉（Interference）。

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核心觀念

本題考回歸齒輪系的兩項條件：

  1. 回歸齒輪系的中心距相同：齒輪 2、3 與齒輪 4、5 分別嚙合，兩組中心距皆為 240 mm240\ \mathrm{mm}。
  2. 複合齒輪系的速比：齒輪 3、4 固定在同一轉軸上，因此總減速比為兩組嚙合速比的乘積。
  3. 齒輪干涉檢查：齒輪齒頂與對齒輪漸開線起始點的位置比較；接觸路徑不可超過對齒輪基圓切點到節點的距離。

全深齒輪的齒冠高為 a=ma=m，節圓半徑及齒冠圓半徑分別為

r=mz2,ra=m(z2+1)r=\frac{mz}{2},\qquad r_a=m\left(\frac{z}{2}+1\right)

基圓半徑為 rb=rcos⁡ϕr_b=r\cos\phi，其中壓力角 ϕ=20∘\phi=20^\circ。

解題方法

1. 由中心距求齒輪 3

齒輪 2、3 的模數均為 5 mm5\ \mathrm{mm}，故

240=5(16+z3)2240=\frac{5(16+z_3)}{2}

因此

z3=80 齒z_3=80\ \text{齒}

2. 由速比求齒輪 4、5

齒輪 2 與 5 同在轉軸 A，齒輪 3 與 4 同在轉軸 B。總減速比為

15=z3z2z5z4=8016z5z415=\frac{z_3}{z_2}\frac{z_5}{z_4} =\frac{80}{16}\frac{z_5}{z_4}

所以

z5z4=3\frac{z_5}{z_4}=3

齒輪 4、5 的模數為 6 mm6\ \mathrm{mm}，中心距同為 240 mm240\ \mathrm{mm}：

240=6(z4+z5)2⟹z4+z5=80240=\frac{6(z_4+z_5)}{2} \quad\Longrightarrow\quad z_4+z_5=80

聯立可得

z4=20 齒,z5=60 齒z_4=20\ \text{齒},\qquad z_5=60\ \text{齒}

3. 檢查干涉

對一組外嚙合齒輪，設小齒輪齒數為 zpz_p、大齒輪齒數為 zgz_g，中心距為 cc。任一齒輪齒冠與對齒輪漸開線不干涉的判準為

ra2−rb2≤csin⁡ϕ\sqrt{r_a^2-r_b^2}\le c\sin\phi

左側分別代入該齒輪的齒冠半徑與基圓半徑；每一組嚙合的兩個齒輪都要檢查。

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第 四 題20 分

一根 AISI 1020 碳鋼製之直徑為 80 mm80\ \mathrm{mm} 的圓軸同時承受一個大小為 800 N⋅m800\ \mathrm{N\cdot m} 的扭矩（Torque）與一個未知的彎曲力矩（Bending moment）。

AISI 1020 碳鋼的降伏強度為 Sy=400 MPaS_y=400\ \mathrm{MPa}，若此圓軸的安全係數必須大於 2 時，試以最大剪應力失效理論求出圓軸所能承受的彎曲力矩。

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核心觀念

本題考查圓軸同時承受彎曲與扭轉時，如何依最大剪應力失效理論（Tresca）判定降伏。圓軸外表面的彎曲正應力與扭轉剪應力分別為

σb=McI=32Mπd3,τ=TcJ=16Tπd3,\sigma_b=\frac{Mc}{I}=\frac{32M}{\pi d^3}, \qquad \tau=\frac{Tc}{J}=\frac{16T}{\pi d^3},

其中 MM 為彎曲力矩、TT 為扭矩、dd 為軸徑。對平面應力狀態，最大剪應力為

τmax⁡=(σb2)2+τ2.\tau_{\max}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_b}{2}\right)^2+\tau^2}.

Tresca 理論以單軸拉伸降伏時的最大剪應力 Sy/2S_y/2 作為降伏條件；安全係數為 nn 時，設計條件為 τmax⁡≤Sy/(2n)\tau_{\max}\leq S_y/(2n)。

解題方法

題目要求安全係數大於 22，因此先求安全係數恰為 22 時的彎曲力矩上限；要使安全係數嚴格大於 22，彎曲力矩須嚴格小於此上限。

軸徑 d=80 mmd=80\ \mathrm{mm}，扭矩換算為 T=800 N⋅m=800 000 N⋅mmT=800\ \mathrm{N\cdot m}=800\,000\ \mathrm{N\cdot mm}。扭轉剪應力為

τ=16(800 000)π(80)3=7.96 MPa.\tau=\frac{16(800\,000)}{\pi(80)^3} =7.96\ \mathrm{MPa}.

安全係數恰為 22 時，Tresca 允許的最大剪應力為

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第 五 題20 分

有一根承受變動彎曲應力（Alternating bending stress）之旋轉鋼軸，鋼軸的降伏強度為 Sy=450 MPaS_y=450\ \mathrm{MPa}，極限拉伸強度為 Sut=600 MPaS_{ut}=600\ \mathrm{MPa}，完全修正後之耐久限為 Se=200 MPaS_e=200\ \mathrm{MPa}。

若旋轉鋼軸所承受之彎曲應力的變動範圍為 180 MPa180\ \mathrm{MPa}，試以 Mises-Hencky 疲變失效理論與修正 Goodman 理論分別計算鋼軸的靜態與動態負載的安全係數。

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核心觀念

旋轉鋼軸承受定值彎矩時，軸表面材料點會隨軸旋轉而交替受拉、受壓，因此彎曲應力屬於完全反覆應力，平均應力為零。題目給的是應力變動範圍，故應先換算應力振幅：

σa=σmax⁡−σmin⁡2\sigma_a=\frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2}

對完全反覆彎曲，σmax⁡=+σa\sigma_{\max}=+\sigma_a、σmin⁡=−σa\sigma_{\min}=-\sigma_a，且 σm=0\sigma_m=0。

靜態安全係數以降伏強度與最大等效應力之比計算；單軸彎曲下，Mises-Hencky 等效應力等於彎曲應力。動態安全係數則以修正 Goodman 關係式計算：

1nf=σaSe+σmSut\frac{1}{n_f}=\frac{\sigma_a}{S_e}+\frac{\sigma_m}{S_{ut}}

解題方法

題目所給應力變動範圍為 180 MPa180\ \mathrm{MPa}，因此

σa=1802=90 MPa,σm=0\sigma_a=\frac{180}{2}=90\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_m=0
  1. 靜態負載安全係數（Mises-Hencky）

單軸彎曲時，Mises 等效應力為

σvm=∣σmax⁡∣=90 MPa\sigma_{\mathrm{vm}}=|\sigma_{\max}|=90\ \mathrm{MPa}
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