110 專技高考高等考試 機械工程技師 流體力學與流體機械 考古題詳解

核心觀念

本題考查管內流體由靜止開始加速時的非定常能量方程。水槽水位固定，且忽略阻力，因此水頭 $h$ 一部分用來形成管內流速，另一部分用來加速管內水柱。

設管內水速均勻為 $V(t)$，管長為 $L$。管內水柱的加速度為 $dV/dt$，其加速水頭為

由水槽自由液面到管出口套用非定常伯努力方程，可得

當 $t\to\infty$、流速不再增加時，$dV/dt=0$，故最後流速為

解題方法

將 $V_f^2=2gh$ 代入能量方程：

令 $x=V/V_f$，則 $V=V_fx$、$dV=V_f\,dx$。分離變數並積分：

因 $V_f^2=2gh$，整理後得

初始條件為 $t=0$ 時 $V=0$，即 $x=0$，所以 $C=0$。利用題目所給積分公式：

因此，管內任一時刻的速度為

核心觀念

本題用離心泵的速度三角形與歐拉泵方程式求葉片角度，再以流體獲得的能量計算水力功率。葉片角度 $\beta$ 以下均以葉輪圓周切線方向為基準。

歐拉泵方程式為

其中 $H$ 為每單位重量流體所獲得的能量，$u$ 為葉輪圓周速度，$V_{\theta}$ 為絕對速度的切向分量。題目指明入口為徑向流入，因此 $V_{\theta 1}=0$。

解題方法

先由流量除以葉輪入口、出口的流通面積，求得徑向速度 $V_{r1}$、$V_{r2}$。流通面積取圓周乘葉輪寬度，即 $A=\pi Db$：

葉輪圓周速度為 $u=\pi DN/60$，其中 $N=1000\ \mathrm{rpm}$：

入口徑向流入代表入口絕對速度沒有切向分量。入口相對速度的切向分量大小為 $u_1$，因此速度三角形給出

核心觀念

本題使用理想流體的伯努力方程，以及二維流量（單位寬度流量）的定義。伯努力方程可在上下游自由液面間使用，也可由上游自由液面寫到堰頂；自由液面壓力皆為大氣壓。

解題方法

先由速度分布求斷面 2 自由液面的速度。該處 $y=y_2$，因此

在上游與下游自由液面間套用伯努力方程：

代入 $y_1=4.8\ \mathrm{m}$、$y_2=4.74\ \mathrm{m}$ 及 $v_2=1.1422V_1$：

上游流速均勻，單位寬度流量為流速乘水深：

在堰頂處 $y=R$，速度分布給出

核心觀念

本題用到兩個觀念：

• 風扇效率為空氣獲得的有效功率除以馬達輸入功率。若入口空氣近似靜止、出口流速為 $V$，且忽略損失，空氣的有效功率就是出口動能流率： $\dot W_{\text{air}}=\frac{1}{2}\dot m V^2$
• 導管支撐力由線動量方程求得。空氣由近似靜止加速至出口速度 $V$，所需推力大小為： $F=\dot m(V-0)$

解題方法

先用理想氣體方程求空氣密度。溫度須換算為絕對溫度：

$T=21+273.15=294.15\ \mathrm{K}$

風扇直徑 $D=0.60\ \mathrm{m}$，因此導管截面積與體積流率為：

$Q=AV=(0.2827)(12)=3.393\ \mathrm{m^3/s}$

質量流率為：

$\dot m=\rho Q=(1.2015)(3.393)=4.077\ \mathrm{kg/s}$

風扇傳給空氣的有效功率為：

核心觀念

本題考察水輪機的能量方程與管路摩擦損失。上游水面提供的位能，扣除水壓管與控制閥的損失後，形成噴嘴水柱的速度水頭；帕爾登水輪機可利用水柱的動能輸出功率。

以理想水輪機計算時，最大輪出功率等於噴嘴水柱的動能率：

解題方法

依圖取噴嘴中心線高程為 $250+1.7=251.7\ \mathrm{m}$，故上游水面至噴嘴的總水頭為

設噴嘴出口速度為 $V_j$，噴嘴直徑 $d=0.20\ \mathrm{m}$，水壓管直徑 $D=0.90\ \mathrm{m}$。由連續方程：

由上游水面至噴嘴出口套用能量方程。水壓管採 Darcy–Weisbach 摩擦損失，控制閥以題給有效摩擦因子作局部損失係數：

代入 $f=0.032$、$\ell=1020\ \mathrm{m}$，並用 $V_p=V_j(d/D)^2$：