113 專技高考高等考試 採礦工程技師 測量學 考古題詳解

核心觀念

對向交互水準測量適用於兩點間有河流、山谷等障礙，無法把水準儀架在兩點中間的情形。它的作法是在兩端各設一次儀器，讓遠、近視距互換，再平均兩次測得的高程差。

依圖令左側水準點為 $B$、右側水準點為 $F$，並定義

水準尺讀數以 $b$ 表示 $B$ 點讀數、以 $f$ 表示 $F$ 點讀數。若視準線水平，則由同一測站觀測所得的高程差為 $b-f$。

解題方法與施測過程

1. 將水準尺分別立於兩端水準點 $B$、$F$，保持尺身垂直，並確認尺底與點位穩固。
2. 在靠近 $B$ 點處設站 $X$，使 $B$ 為短視距、$F$ 為長視距，記錄兩尺讀數 $b_X$、$f_X$。
3. 將儀器移至靠近 $F$ 點處設站 $Y$，使 $F$ 為短視距、$B$ 為長視距，記錄兩尺讀數 $b_Y$、$f_Y$。
4. 以兩次高程差的平均值，作為 $F$ 點相對於 $B$ 點的高程差。

因此：

若求 $B$ 點相對於 $F$ 點的高程差，則取相反數。

誤差抵消的推導

令 $\varepsilon(d)$ 表示視距為 $d$ 時，視準軸誤差、地球曲率與大氣折光等造成的讀數影響。設站 $X$ 時，$B$ 為近尺、$F$ 為遠尺，則：

設站 $Y$ 時，$B$ 為遠尺、$F$ 為近尺，則：

核心觀念

電子測距儀的精度表示為 $\pm(a+b\ \mathrm{ppm})$ 時，通常按距離誤差由兩部分組成：固定誤差與隨距離增加的比例誤差。將兩部分視為獨立誤差，可用平方和開根號求合成中誤差。

角度誤差造成的橫向位置誤差，使用小角度近似 $\sigma_\perp \approx D\sigma_\theta$ 換算。角度須以弧度代入，最後再換成角秒。

解題方法

（一）500 公尺測線距離的中誤差

比例誤差為

固定誤差為 $3\ \mathrm{mm}$。將固定誤差與比例誤差合成：

因此，500 公尺距離的中誤差約為 $3.35\ \mathrm{mm}$。

（二）與測距相當的測角精度

以 $D=500\ \mathrm{m}$、橫向誤差 $m_\perp=3.35\ \mathrm{mm}=0.00335\ \mathrm{m}$ 代入小角度關係：

核心觀念

本題考查附合水準導線的高程閉合差，以及按測線長度比例分配高程修正量。若各測線觀測精度相同，通常依距離分配閉合差：

其中 $f_h$ 為高程閉合差。各測線的修正量按距離比例分配，使修正後的總高程差等於已知點間的高程差。

解題方法

依考卷原圖，測線資料為：BM1 至 A 距離 $1$ 公里、高程差 $0.232$ 公尺；A 至 B 距離 $1$ 公里、高程差 $0.456$ 公尺；B 至 C 距離 $1$ 公里、高程差 $0.694$ 公尺；C 至 BM2 距離 $2$ 公里、高程差 $0.608$ 公尺。題目文字表格與原圖中的數值不同，以下依原圖作答。

（一）高程閉合差

觀測高程差總和：

已知點間高程差：

因此：

觀測高程差合計比已知高程差少 $0.010$ 公尺，因此需加上的總修正量為 $+0.010$ 公尺。

（二）每單位公里之高程修正量

導線總長：

核心觀念

GNSS 測得的偽距與接收機位置之間，符合衛星至接收機的幾何距離關係；由於距離含有坐標的平方根，觀測方程是非線性的。解算時先以近似位置展開觀測函數並作泰勒線性化，建立設計矩陣，再以最小平方法求出位置改正數與接收機鐘差改正數。將改正數加回近似值後，反覆更新，直到改正數或殘差符合收斂條件。

設接收機未知坐標為 $(X,Y,Z)$，第 $i$ 顆衛星坐標為已知的 $(X_i,Y_i,Z_i)$。以距離單位表示的偽距觀測方程可寫為

其中 $P_i$ 為偽距觀測值，$\rho_i$ 為衛星至接收機的幾何距離，$\delta t_r$ 為接收機鐘差，$c$ 為光速，$\varepsilon_i$ 為觀測誤差。若衛星鐘差、電離層延遲、對流層延遲等改正尚未包含於 $P_i$，則須依採用的觀測模型另行改正或列入模型。

解題方法：線性化並組成設計矩陣

以第 $k$ 次迭代的位置近似值 $(X^{(k)},Y^{(k)},Z^{(k)})$ 與鐘差近似值 $\delta t_r^{(k)}$ 計算幾何距離：

定義衛星至接收機的視線方向單位向量分量：

在近似值附近對偽距函數作一階泰勒展開，略去二階以上項：

其中 $\Delta X=X-X^{(k)}$、$\Delta Y=Y-Y^{(k)}$、$\Delta Z=Z-Z^{(k)}$，而鐘差改正數為 $\Delta\delta t_r=\delta t_r-\delta t_r^{(k)}$。令觀測減計算量為

則每顆衛星提供一列線性化方程：

其中 $v_i$ 為該觀測的殘差。將 $n$ 顆衛星的方程堆疊，可得