109 專技高考高等考試 採礦工程技師 測量學 考古題詳解

核心觀念

這題考直接水準測量的高程差改正與多組觀測的加權平均。依測線方向，令 $\Delta h_i=h_D-h_i$，則每一條測線算出的 $D$ 點高程為

直接水準測量的高程差誤差變異數與測線長度 $L_i$ 成正比，因此測線越短，觀測權越大；各觀測的權數可取 $p_i\propto 1/L_i$。

解題方法

先分別用三個已知點的高程與測得高程差，求出 $D$ 點的三個高程估值：

測線長度為 $350:700:1050=1:2:3$，權數與長度成反比，因此權數比為

核心觀念

題目考查水平距離測量時，能否以水平面近似水準面，關鍵在於地球曲率造成的高差是否小於測量所容許的誤差。水平距離 $D$ 相對於地球半徑 $R$ 很短時，可用圓弧與切線的幾何關係估算曲率影響。

取地球半徑 $R \approx 6{,}370\ \text{km}$。距離 $D$ 的地表弧線相對於端點切平面的曲率差，近似為：

其中 $h$ 為曲率造成的高差。當這個高差小於測量精度要求時，便可忽略地球曲率。

解題方法

以一段地表弧線及其端點切平面建立幾何模型。令弧長為 $D$、地球半徑為 $R$，由直角三角形關係：

展開並忽略相較於 $R$ 很小的 $h^2$，得：

以 $R=6.37\times10^6\ \text{m}$ 計算：

例如，當測距範圍為 $1\ \text{km}$：

核心觀念

全測站以天頂距 $z$ 量測時，斜距 $S$ 的垂直分量為 $S\cos z$。因此，測站點 $A$ 至稜鏡中心的高差為 $S\cos z$；再加上儀器高、扣除稜鏡高，即可求得地面點 $B$ 的高程：

其中 $h_i$ 為儀器高，$h_p$ 為稜鏡高。中誤差則依誤差傳播定律計算；視各觀測量彼此獨立，方差相加。

解題方法

已知 $H_A=123.04\ \mathrm{m}$，$S=135.76\ \mathrm{m}$，$z=86^\circ13'40''$，$h_i=1.67\ \mathrm{m}$，$h_p=1.51\ \mathrm{m}$。

先計算垂直分量：

代入高程公式：

故 $B$ 點高程取至公分為 $132.17\ \mathrm{m}$。

中誤差計算

令 $H_B=H_A+h_i+S\cos z-h_p$。將天頂距中誤差換算為弧度：

由全微分求各觀測量對高程的影響：

核心觀念

等高線是地形圖上高程相同各點的連續線，用來表示地表的高低起伏與地貌形態。判讀等高線時，主要看其疏密、形狀與排列方向；等高線本身不能直接表示地表材質或地物種類。

等高線的種類

1. 首曲線（基本等高線）：按規定等高距繪製的主要等高線，通常以細實線表示。
2. 計曲線（加粗等高線）：每隔若干條首曲線加粗繪製，並常標註高程，方便讀圖。
3. 間曲線（半距等高線）：在首曲線之間加繪，等高距通常為基本等高距的一半，用於補充較平緩地形的高程變化，常以短虛線表示。
4. 助曲線（輔助等高線）：在間曲線仍不足以表現微細起伏時加繪，等高距通常小於半距等高線，常以短虛線或點線表示。

等高線的特性

• 同一條等高線上的各點高程相同；相鄰等高線的高程差為固定的等高距。
• 等高線通常連續閉合，可能在圖幅內閉合，也可能延伸至圖幅邊界後在圖幅外閉合。
• 等高線一般不相交、不分岔。懸崖或陡壁等特殊地形可能出現重疊；若為懸垂崖壁，則可有交叉表現。
• 等高線疏密反映坡度：線距愈密，坡度愈陡；線距愈疏，坡度愈緩；線距大致相等，表示坡度大致均勻。
• 等高線與最大坡降方向大致垂直，亦即地表坡度最陡的方向通常與等高線交角約為直角。