109 專技高考高等考試 水土保持技師 測量學（包括平面測量、地形測量與航照判釋） 考古題詳解

109 年・專技高考・高等考試・水土保持技師
試題代碼 測量學（包括平面測量、地形測量與航照判釋）

第 1 題25 分

展開（附合）導線 EE-11-22-33-44-FF 測得其偏角分別為 γ1\gamma_1、γ2\gamma_2、γ3\gamma_3、γ4\gamma_4，邊長分別為 L1,2L_{1,2}、L2,3L_{2,3}、L3,4L_{3,4}。已知起始點 11 及終點 44 的坐標分別為 (x1,y1)(x_1,y_1) 及 (x4,y4)(x_4,y_4)，起始邊及終邊之方位角分別為 ϕE,1\phi_{E,1} 及 ϕ4,F\phi_{4,F}。

試求：

  1. 測角閉合差、角度平差值及平差後方位角 ϕ1,2\phi_{1,2}。
  2. 橫距 Δx1,2\Delta x_{1,2}、縱距 Δy1,2\Delta y_{1,2}。
  3. 橫、縱距測距閉合差及導線點 11 至點 22 之橫、縱距平差值（羅盤儀法則）。
  4. 導線點 22 之橫、縱坐標。
  5. 閉合比。

請列出計算式，並說明各符號之意義。

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核心觀念

本題是附合導線平差：導線由已知起始方位角出發，經過已知終端方位角；沿線各邊長已知，且第 11、44 點坐標已知。解題分成兩步：

  1. 以起、終方位角檢核並平差偏角，再推算各邊方位角。
  2. 以已知第 11、44 點坐標檢核導線的橫距、縱距閉合差，再按羅盤儀法則分配改正數。

本題未提供偏角、邊長、坐標與方位角的數值，因此答案以題目所列符號表示。以下採用測量常用約定：方位角自北方向起順時針量，右偏為正、左偏為負；坐標 xx 為東向、yy 為北向。

解題方法

1. 測角閉合差、角度平差值及 ϕ1,2\phi_{1,2}

四個偏角的觀測總和為

Γ=γ1+γ2+γ3+γ4\Gamma=\gamma_1+\gamma_2+\gamma_3+\gamma_4

由起始方位角 ϕE,1\phi_{E,1} 推算至終端邊 44-FF，理論上須與已知方位角 ϕ4,F\phi_{4,F} 相符。因此測角閉合差為

fγ=wrap⁡[(ϕE,1+∑i=14γi)−ϕ4,F]f_\gamma= \operatorname{wrap}\left[ \left(\phi_{E,1}+\sum_{i=1}^{4}\gamma_i\right)-\phi_{4,F} \right]

其中 wrap⁡\operatorname{wrap} 表示將角度差化至一致的 360∘360^\circ 範圍。若四個偏角等權，平均分配閉合差，則每一偏角的改正數為

vγi=−fγ4v_{\gamma_i}=-\frac{f_\gamma}{4}

平差後偏角為

γ^i=γi+vγi=γi−fγ4\hat{\gamma}_i=\gamma_i+v_{\gamma_i} =\gamma_i-\frac{f_\gamma}{4}

從 EE-11 邊轉至 11-22 邊時，使用第 11 點的平差後偏角：

ϕ^1,2=wrap⁡(ϕE,1+γ^1)\boxed{\hat{\phi}_{1,2} =\operatorname{wrap}(\phi_{E,1}+\hat{\gamma}_1)}

若題目將偏角規定為左偏正、右偏負，推算式中的加減號須依該符號約定一致調整。

2. 11-22 邊的橫距與縱距

以平差後方位角 ϕ^1,2\hat{\phi}_{1,2} 計算：

Δx1,2=L1,2sin⁡ϕ^1,2\boxed{\Delta x_{1,2}=L_{1,2}\sin\hat{\phi}_{1,2}} Δy1,2=L1,2cos⁡ϕ^1,2\boxed{\Delta y_{1,2}=L_{1,2}\cos\hat{\phi}_{1,2}}

此處橫距是 xx 方向分量，縱距是 yy 方向分量。若方位角以度表示，三角函數亦以度數計算。

3. 橫、縱距閉合差與羅盤儀法則改正

先以平差後偏角推算其餘邊方位角：

ϕ^2,3=wrap⁡(ϕ^1,2+γ^2)\hat{\phi}_{2,3} =\operatorname{wrap}(\hat{\phi}_{1,2}+\hat{\gamma}_2) ϕ^3,4=wrap⁡(ϕ^2,3+γ^3)\hat{\phi}_{3,4} =\operatorname{wrap}(\hat{\phi}_{2,3}+\hat{\gamma}_3)

對三邊分別計算橫距、縱距：

Δxi,j=Li,jsin⁡ϕ^i,j,Δyi,j=Li,jcos⁡ϕ^i,j\Delta x_{i,j}=L_{i,j}\sin\hat{\phi}_{i,j}, \qquad \Delta y_{i,j}=L_{i,j}\cos\hat{\phi}_{i,j}
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第 2 題25 分

如下圖所示某一天然滯洪池之等高線，其等高距為 15 m15\ \mathrm{m}，比例尺為 1:20001:2000。經量得各曲線所圍成之面積依次為 A1=600 m2A_1=600\ \mathrm{m}^2、A2=480 m2A_2=480\ \mathrm{m}^2、A3=340 m2A_3=340\ \mathrm{m}^2、A4=180 m2A_4=180\ \mathrm{m}^2。滯洪池之最低點高程為 21 m21\ \mathrm{m}，試求：

  1. 以稜柱體公式法計算滯洪池之蓄水體積（m3\mathrm{m}^3）。
  2. 以平均斷面法計算滯洪池之蓄水體積（m3\mathrm{m}^3）。
  3. 若 CC 點至 DD 點圖上距離為 30 cm30\ \mathrm{cm}，則其平均坡度為何？
  4. 請繪出匯入滯洪池之主要溪流並標示流向。

圖示資料：北向上；最低點標示為 +21+21；等高線標高為 3030、4545、6060、7575；圖中標示 CC、DD 點及各曲線面積 A1A_1、A2A_2、A3A_3、A4A_4。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

等高線圍成的面積可用來估算不同高程間的蓄水量。由圖判讀，面積由外向內依序為：

高程面積
75 m75\ \mathrm{m}A1=600 m2A_1=600\ \mathrm{m^2}
60 m60\ \mathrm{m}A2=480 m2A_2=480\ \mathrm{m^2}
45 m45\ \mathrm{m}A3=340 m2A_3=340\ \mathrm{m^2}
30 m30\ \mathrm{m}A4=180 m2A_4=180\ \mathrm{m^2}

滯洪池最低點為 21 m21\ \mathrm{m}，視為該高程的水平面積為零。等高線間的蓄水量以兩端面積與高差計算。

解題方法

  1. 稜柱體公式法

相鄰兩水平截面間的體積為

V=h3(A下+A上+A下A上)V=\frac{h}{3}\left(A_{\text{下}}+A_{\text{上}}+\sqrt{A_{\text{下}}A_{\text{上}}}\right)

其中 hh 為兩截面的高差。最低點至 30 m30\ \mathrm{m} 處，以下端面積為零計算：

V21∼30=93(0+180+0)=540 m3V_{21\sim30} =\frac{9}{3}(0+180+0) =540\ \mathrm{m^3}

其餘各層高差均為 15 m15\ \mathrm{m}：

V30∼45=153(180+340+180×340)≈3836.93 m3V_{30\sim45} =\frac{15}{3}\left(180+340+\sqrt{180\times340}\right) \approx3836.93\ \mathrm{m^3} V45∼60=153(340+480+340×480)≈6119.90 m3V_{45\sim60} =\frac{15}{3}\left(340+480+\sqrt{340\times480}\right) \approx6119.90\ \mathrm{m^3} V60∼75=153(480+600+480×600)≈8083.28 m3V_{60\sim75} =\frac{15}{3}\left(480+600+\sqrt{480\times600}\right) \approx8083.28\ \mathrm{m^3}

因此：

V稜柱體=540+3836.93+6119.90+8083.28≈18580.11 m3V_{\text{稜柱體}} =540+3836.93+6119.90+8083.28 \approx18580.11\ \mathrm{m^3}
  1. 平均斷面法

每一層以兩端面積的平均值乘上高差：

V=h2(A下+A上)V=\frac{h}{2}(A_{\text{下}}+A_{\text{上}})

最低點至 30 m30\ \mathrm{m} 處：

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第 3 題25 分

已知 CC、DD 兩斷面樁之三維坐標（橫坐標、縱坐標、高程）分別為 C(500.00,400.00,60.24)C(500.00,400.00,60.24) 及 D(300.00,200.00,46.12)D(300.00,200.00,46.12)。

將全站儀（Total Station）整置於 DD 點，後視 CC 點之稜鏡，並前視 EE 點之稜鏡，測得水平角 ∠CDE=120∘30′40′′\angle CDE=120^\circ30'40''，DEDE 之傾斜距離為 70.00 m70.00\ \mathrm{m}，DD 點觀測 EE 點之天頂距為 85∘10′20′′85^\circ10'20''，DD 點儀器高為 1.48 m1.48\ \mathrm{m}，EE 點之稜鏡高為 1.68 m1.68\ \mathrm{m}。

試求：

  1. EE 點之三維坐標為何？
  2. 全站儀儀器包含哪四個軸？

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核心觀念

本題考全站儀的極座標測量：由已知測站 DD 的坐標與後視方向 DCDC，利用水平角、斜距與天頂距求出 EE 點的平面位置及高程。另考全站儀的四個基本軸線。

題目坐標依序為橫坐標 XX、縱坐標 YY、高程 HH。天頂距 ZZ 自鉛直向上方向起算，因此：

  • 水平距離：Sh=Ssin⁡ZS_h=S\sin Z
  • 儀器至稜鏡中心的高差：Δh=Scos⁡Z\Delta h=S\cos Z

高程計算須納入儀器高與稜鏡高：

HE=HD+i+Δh−tH_E=H_D+i+\Delta h-t

其中 ii 為儀器高，tt 為稜鏡高。

解題方法

一、求 DD 點至 EE 點的水平距離與高差

已知 S=70.00 mS=70.00\ \mathrm{m}、Z=85∘10′20′′Z=85^\circ10'20''：

Sh=70.00sin⁡(85∘10′20′′)=69.771 mS_h=70.00\sin(85^\circ10'20'') =69.771\ \mathrm{m} Δh=70.00cos⁡(85∘10′20′′)=5.861 m\Delta h=70.00\cos(85^\circ10'20'') =5.861\ \mathrm{m}

由於天頂距小於 90∘90^\circ，視線向上，故稜鏡中心高於儀器中心。

二、求後視方位角及前視方位角

由 D(300.00,200.00)D(300.00,200.00) 指向 C(500.00,400.00)C(500.00,400.00)：

ΔXDC=500−300=200,ΔYDC=400−200=200\Delta X_{DC}=500-300=200,\qquad \Delta Y_{DC}=400-200=200

依方位角自北（縱坐標正方向）順時針起算：

αDC=tan⁡−1(ΔXDCΔYDC)=45∘\alpha_{DC}=\tan^{-1}\left(\frac{\Delta X_{DC}}{\Delta Y_{DC}}\right) =45^\circ

水平角 ∠CDE\angle CDE 是由後視 DCDC 順時針轉至前視 DEDE 的角度，因此：

αDE=45∘+120∘30′40′′=165∘30′40′′\alpha_{DE}=45^\circ+120^\circ30'40'' =165^\circ30'40''

此方向位於東南象限，與縱坐標正方向夾角為 165∘30′40′′165^\circ30'40''。

三、計算 EE 點平面坐標

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第 4 題25 分

某一集水區南北寬 20 km20\ \mathrm{km}，東西長 40 km40\ \mathrm{km}，該地區之平均地面高程為 150 m150\ \mathrm{m}。因工程需要欲進行航空攝影測量（Aerial Photogrammetry），攝影機焦距為 160 mm160\ \mathrm{mm}，像幅為 25 cm×25 cm25\ \mathrm{cm}\times25\ \mathrm{cm}，像比例尺為 1/5,0001/5{,}000。

攝影時飛機為東西向飛行，且最外之邊緣恰為測區之航線。像片前後重疊 70%70\%，左右重疊 40%40\%，試計算：

  1. 航高及航線間隔。
  2. 攝影基線長。
  3. 各像片所攝得之地面有效面積。
  4. 全區所需之像片數。

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核心觀念

本題考航空攝影的比例尺與地面覆蓋關係。像片邊長乘以像比例尺，可換算成地面攝影範圍；再依前後重疊率、左右重疊率，求攝影基線與航線間隔。

  • 地面攝影範圍邊長：像片邊長 ×\times 像比例尺分母。
  • 攝影基線長：地面像幅沿航線方向長度 ×(1−前後重疊率)\times (1-\text{前後重疊率})。
  • 航線間隔：地面像幅垂直航線方向寬度 ×(1−左右重疊率)\times (1-\text{左右重疊率})。
  • 單張像片的有效地面面積：攝影基線長 ×\times 航線間隔。

解題方法

平均地面高程為 150 m150\ \mathrm{m}，像比例尺為 1/5,0001/5{,}000，故攝影機至平均地面的高度差為：

H−h=f×5,000=0.160 m×5,000=800 mH-h=f\times 5{,}000 =0.160\ \mathrm{m}\times 5{,}000 =800\ \mathrm{m}

因此飛機攝影高程為：

H=800+150=950 mH=800+150=950\ \mathrm{m}

像幅為正方形，換算至地面後，每邊長度為：

0.25 m×5,000=1,250 m=1.25 km0.25\ \mathrm{m}\times 5{,}000=1{,}250\ \mathrm{m}=1.25\ \mathrm{km}

飛機沿東西向飛行，因此 1.25 km1.25\ \mathrm{km} 同時是沿航線方向與垂直航線方向的地面像幅邊長。

  1. 航高及航線間隔

攝影機至平均地面的高度差為 800 m800\ \mathrm{m}；飛機攝影高程為 950 m950\ \mathrm{m}。航線間隔依左右重疊率 40%40\% 計算：

d=1.25(1−0.40)=0.75 kmd=1.25(1-0.40)=0.75\ \mathrm{km}
  1. 攝影基線長

前後重疊率為 70%70\%，故相鄰像片主點間的地面距離為：

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