111 專技高考高等考試 水土保持技師 測量學（包括平面測量、地形測量與航照判釋） 考古題詳解

核心觀念

本題考借坑水準測量的方格法土方計算。每一網格以四角樁位高程的平均值代表該格平均高程；以全區最低樁位高程為基準，逐格計算土方量。

每格面積為

$A_c=20\times30=600\ \mathrm{m^2}$

全區共有 $8$ 格，因此總面積為 $4,800\ \mathrm{m^2}$。圖中最低樁位高程為 $7.63\ \mathrm{m}$。

解題方法與計算

各格土方量為「格面積 × 該格四角高程平均值與最低高程的差」。以下列出各列間網格的土方量：

因此總土方量為

$V=450+454.5+223.5+192+207+76.5+78+118.5=1,800\ \mathrm{m^3}$

平均土方厚度為

$\bar h=\frac{V}{4,800}=0.375\ \mathrm{m}$

以最低點高程 $7.63\ \mathrm{m}$ 為基準，土方的平均高程為

$7.63+0.375=8.005\ \mathrm{m}$

總土方量誤差

以方格權數表示總土方量：

$V=150\sum_i n_i(H_i-H_{\min})$

核心觀念

本題旨在測驗國家大地基準（Geodetic Datum）、地圖投影系統、地殼動態形變因應機制，以及工程實務之坐標轉換方法。核心知識點涵蓋：

1. 大地基準與投影定義：依據《基本測量實施規則》（以命題當年民國 111 年法規為準），臺灣現行坐標系統 TWD97（Taiwan Datum 1997）採用 GRS80 參考橢球體與橫麥卡托投影二度分帶（TM2）之數學與幾何定義。
2. 動態地殼變形與參考歷元（Reference Epoch）：臺灣位於菲律賓海板塊與歐亞大陸板塊碰撞帶，地表點位具顯著構造位移。為維持測繪成果精度，內政部透過連續觀測站網更新歷元，公告 TWD97[2010] 與 TWD97[2020] 框架成果。
3. 坐標轉換模型與工程應用：空間圖資在不同歷元間轉換時，依空間尺度、形變均勻性及原始觀測量具備與否，所適用之速度場網格內插法、局部參數轉換法（Helmert 四參數/仿射變換）或重平差法。

解題方法

本題題型為系統性申論題，採三層次架構切入解題：

1. 第一小題（靜態基準定義）：從「大地基準（橢球體及框架）」、「起算原點」與「地圖投影（二度分帶 TM2 參數）」三大維度完整列出法定標準定義。
2. 第二小題（動態歷元演變）：先闡明「地殼板塊運動導致點位隨時間產生應變位移」之實體物理背景，進而剖析更新目的；再對比「數學定義（橢球與投影不變）」與「物理實現（參考框架版本、參考歷元、點位坐標數值改變）」之本質差異。
3. 第三小題（工程實務落實）：立足於水土保持特定區（多屬山坡地、集水區，地形起伏大且常夾帶斷層活動或非均勻變形）之地理環境特徵，依精度需求與資料完整性，列舉三種可行轉換途徑（速度場模型法、局部控制點轉換法、原始觀測重平差法），並補充精度檢核機制。

選項分析

本題為非選擇題（申論問答題），無選項分析。各子題命題切入點與得分配置分析如下：

• 第 (一) 子題（10 分）：配分重點在於法規定義完整度。必須精確寫出 GRS80 橢球參數、ITRF 框架關聯、橫麥卡托二度分帶投影幾何參數（中央經線、尺度因子、原點平移量）。
• 第 (二) 子題（5 分）：配分重點在於「目的」與「差異」之對比論述。須明確指出 GRS80 幾何橢球未改，改變的是 ITRF 歷元（Epoch）與因板塊運動累積位移帶來的坐標數值變更。
• 第 (三) 子題（10 分）：配分重點在於提出具體可行之演算法與作業流程，並能兼顧水土保持工程區域的局部形變特徵與檢核驗證。

解題技巧

1. 避免混淆「基準面」與「歷元」：許多考生誤以為 TWD97[2020] 是更換了參考橢球體或修改了 TM2 投影公式。切記其參考橢球仍為 GRS80，投影公式與參數亦維持不變；其本質差異在於「觀測歷元（Epoch）」由 1997.0 年演進為 2010.0 年與 2020.0 年。
2. 參數不可背錯：中央經線臺灣本島為 $121^\circ\text{E}$（澎湖為 $119^\circ\text{E}$）、中央經線尺度比為 $0.9999$、橫坐標西移 $250,000\text{ m}$，數值必須完全正確。
3. 水保實務情境作答加分點：水土保持特定區範圍內常橫跨活動斷層或地工滑動區，若僅使用廣域四參數轉換容易產生系統性扭曲；若能主動提及「利用內政部板塊運動速度場模型進行網格形變改正」，可展現深厚之水保大地工程實務素養。

【答案】

(一) 臺灣現行國家坐標系統 TWD97 之基本定義

依據《基本測量實施規則》第六條規定（以命題當年民國 111 年法規為準），臺灣目前採用之國家大地基準為 TWD97（Taiwan Datum 1997），其基本定義包含以下三大部分：

1. 參考橢球體定義：

• 採用 1980 年國際測地學與地球物理學學會（IUGG）公布之 GRS80（Geodetic Reference System 1980） 參考橢球面。
• 橢球長半徑 $a = 6,378,137\text{ m}$。
• 扁率 $f = \frac{1}{298.257222101}$。

2. 空間參考架構與大地原點：

• TWD97 係以全球定位系統（GPS）衛星觀測網為基礎，結合國際地球自轉服務局（IERS）之國際地球參考框架 ITRF94（International Terrestrial Reference Frame 1994），以 1997.0 年 為參考歷元（Epoch 1997.0）計算確定。
• 大地原點之幾何中心與 GRS80 橢球中心重合（地心坐標基準）。

3. 平面地圖投影系統：

• 平面直角坐標採用橫麥卡托投影（Transverse Mercator projection，簡稱 TM 投影）二度分帶。
• 臺灣本島、綠島、蘭嶼及龜山島：
• 中央子午線（經線）：東經 $121^\circ$（$121^\circ\text{E}$）。
• 中央經線之尺度比率（Scale Factor）：$k_0 = 0.9999$。
• 原點橫坐標（向西平移加計）：$X_0 = 250,000\text{ m}$。
• 原點縱坐標：赤道為零，即 $Y_0 = 0\text{ m}$。
• 澎湖群島：以東經 $119^\circ$（$119^\circ\text{E}$）為中央子午線，其餘投影參數相同。

核心觀念

本題評量地理資訊系統（GIS）與空間資訊分析在集水區水文降雨分析中的「空間內插（Spatial Interpolation）」技術。核心概念包含：

1. 空間自相關與托布勒地理學第一定律（Tobler's First Law of Geography）：空間中近鄰樣本點的相關性高於遠距離樣本點。
2. 反距離權重法（Inverse Distance Weighted, IDW）：屬於「幾何確定性（Deterministic）」內插法，以樣本點與推估點間的距離倒數次方為權重分配依據。
3. 普通克利金法（Ordinary Kriging, OK）：屬於「地統計學／隨機（Geostatistical / Stochastic）」內插法，基於區域化變數理論（Regionalized Variable Theory），透過實驗半變異函數（Semivariogram）量化空間變異結構，在滿足無偏性（Unbiasedness）約束下，求解使推估變異數最小化的最佳線性不偏估計量（Best Linear Unbiased Estimator, BLUE）。

解題方法

本題為申論論述題，作答時須分別就 IDW 與 OK 之「基本原理」及「計算方式（含推導公式與步驟）」進行系統性論述。

一、反距離權重法（Inverse Distance Weighted, IDW）

1. 基本原理

• 距離衰減效應：假設距離推估點愈近的已知觀測雨量站，對該推估點降雨量的影響愈大；權重隨距離增加而遞減。
• 確定性精確內插（Exact Interpolator）：推估結果由樣本點幾何距離的數學公式決定，不考慮隨機變異。當推估點恰落於已知雨量站位置時，內插值嚴格等於該測站的觀測值。
• 凸包約束（Convex Hull Property）：推估值恆介於已知雨量站觀測值的最大值與最小值之間，無法預測超出觀測極值的降雨量（例如無法推估高山迎風面未設站地區可能存在的極端大雨），且易在測站周圍形成同心圓狀的「牛眼效應（Bull's-eye Effect）」。

2. 計算方式 設集水區內有 $n$ 個已知雨量站，其空間位置為 $x_i$，觀測降雨量為 $Z(x_i)$（$i = 1, 2, \dots, n$）；欲推估之未知點為 $x_0$，推估降雨量為 $\hat{Z}(x_0)$。

• 步驟一：計算幾何距離 計算未知點 $x_0$ 至各測站 $x_i$ 的歐幾里得距離 $d_i$： $d_i = \|x_0 - x_i\| = \sqrt{(X_0 - X_i)^2 + (Y_0 - Y_i)^2}$

• 步驟二：決定距離權重係數 設距離衰減指數為 $p$（通常取 $p = 2$，即反距離平方），第 $i$ 個測站的距離反比權重 $w_i$ 定義為： $w_i = \frac{1}{d_i^p}$

• 步驟三：權重正規化與推估計算 推估值為各已知點觀測值的加權平均： $\hat{Z}(x_0) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i Z(x_i)$ 其中正規化權重 $\lambda_i$ 為： $\lambda_i = \frac{w_i}{\sum_{j=1}^{n} w_j} = \frac{\frac{1}{d_i^p}}{\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{d_j^p}}$ 權重滿足非負且總和為 1 之條件：$\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$ 且 $\lambda_i \ge 0$。

二、普通克利金法（Ordinary Kriging, OK）

1. 基本原理

• 區域化變數與內在假設（Intrinsic Hypothesis）：將集水區降雨量視為具有空間結構的隨機過程（Random Function）。在局部鄰域內假設期望值為未知常數： $E[Z(x)] = m$ 且任意兩點差值的變異數僅取決於空間間距向量 $\mathbf{h}$，滿足二階平穩（Second-order Stationarity）或內在假設。
• 最佳線性不偏估計量（BLUE）：
• 線性（Linear）：推估值為已知點觀測值的線性組合 $\hat{Z}(x_0) = \sum_{i=1}^n \lambda_i Z(x_i)$。
• 不偏（Unbiased）：推估誤差期望值為零，即 $E[\hat{Z}(x_0) - Z(x_0)] = 0$。
• 最佳（Best）：推估誤差變異數 $\sigma_E^2 = \text{Var}(\hat{Z}(x_0) - Z(x_0))$ 達到理論極小。
• 空間自相關結構量化：透過半變異函數（Semivariogram）定量描述雨量在不同空間距離下的自相關性，能自動修正雨量站空間分布不均造成的「群聚效應（De-clustering）」。
• 不確定性評估：內插計算時能同時產出各網格點的「克利金變異數（Kriging Variance）」，可直接繪製集水區雨量推估的誤差與可信度分布圖。

2. 計算方式

• 步驟一：計算實驗半變異元（Experimental Semivariogram） 利用所有已知雨量站對，計算不同距離間距 $h$ 下的半變異值： $\gamma(h) = \frac{1}{2N(h)} \sum_{k=1}^{N(h)} \left[ Z(x_k) - Z(x_k + h) \right]^2$ 式中 $N(h)$ 為空間分離距離落於 $h$ 容許區間內的測站對數量。

• 步驟二：擬合理論半變異模型 以數學模型（如球狀模型 Spherical、指數模型 Exponential 或高斯模型 Gaussian）擬合實驗半變異元，獲取三個空間結構參數：

• 塊金效應（Nugget, $C_0$）：微尺度量測誤差或小於採樣間距的微尺度變異。

• 基台值（Sill, $C_0 + C$）：變異數達到平穩時的最大漸近值。

• 影響範圍（Range, $a$）：空間具有自相關性的最大臨界距離。

• 步驟三：建立目標函數與約束條件

• 不偏性條件： $E[\hat{Z}(x_0) - Z(x_0)] = \sum_{i=1}^n \lambda_i m - m = m \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i - 1 \right) = 0 \implies \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$

• 最小化推估變異數： $\sigma_E^2 = 2 \sum_{i=1}^n \lambda_i \gamma(x_i, x_0) - \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \lambda_i \lambda_j \gamma(x_i, x_j)$

核心觀念

本題旨在測驗考生對於現代無人機航測（UAV Photogrammetry）作業全流程與**電腦視覺／攝影測量演算法（SfM-MVS）**之理論與實務掌握程度，特別針對「山坡地」特殊地形之作業考量。涉及之核心觀念與理論依據如下：

1. 航測幾何與解析度幾何關係： 地面取樣間距（Ground Sampling Distance, GSD）與飛行航高（$H$）、相機焦距（$f$）、感光元件像素尺寸（$p$）之關係式為： $GSD = \frac{H \cdot p}{f}$ 在山坡地起伏劇烈區域，航高 $H$ 會隨地形急遽變動，必須採用「仿地飛行（Terrain-following flight）」以維持地面解析度與重疊率一致。

2. 影像重疊率（Overlap）規範： 傳統航空測量通常要求航向重疊 $\ge 60\%$、旁向重疊 $\ge 30\%$；但無人機廣角非度量相機基於特徵匹配需要，一般平地要求航向 $\ge 75 \sim 80\%$、旁向 $\ge 60 \sim 70\%$。山坡地因起伏落差易造成視角遮蔽與有效重疊率縮減，航向建議提高至 $80 \sim 85\%$、旁向提高至 $70 \sim 80\%$。

3. SfM-MVS 核心理論：

• 運動推求結構（Structure from Motion, SfM）：無須預先給定相機精確位置，利用多視角重疊影像之共軛特徵點，同時反演場景三維稀疏幾何結構（Sparse Cloud）、相機外方位元素（EO）與自校正內方位元素（IO）。
• 多視角立體視覺（Multi-View Stereo, MVS）：在已知相機方位參數下，透過稠密立體匹配（Dense Matching）計算像素級視差，產製密點雲（Dense Point Clouds）。

4. DSM 與 DEM 之本質差異： 航測直接匹配生成的是數值地表模型（Digital Surface Model, DSM），包含林冠與人工地物；要產製數值地形模型（Digital Elevation Model, DEM），必須依賴**點雲濾波分類（Point Cloud Filtering）**技術，剔除非地面點（植生、建築），保留裸露地表點並進行網格內插。

5. 法規遵循（以命題當年民國 111 年法規為準）： 無人機飛行作業須符合《民用航空法》遙控無人機專章及《遙控無人機管理規則》（民國 109 年施行，至 111 年適用），包括操作證照、無人機註冊、綠空域／黃紅空域活動申請，以及《國土測繪法》關於測量標與成果精度之規定。

解題方法

本題為 25 分之實務綜合申論題，答題架構應具備工程邏輯，切入點分為兩大主軸：

1. 整體作業程序（40% 權重）：依照現代測量工程標準生命週期開展——「準備與規劃 $\to$ 外業測繪 $\to$ 內業計算 $\to$ 品質檢核與成果產出」。
2. 關鍵資料處理方法（60% 權重）：深入演算法層次，按「影像特徵匹配 $\to$ 光束法平差（SfM） $\to$ 密集匹配（MVS） $\to$ 地面點雲濾波 $\to$ 空間網格內插」之資料流逐一剖析。

在論述中必須緊扣山坡地環境特性（高差大、植生遮蔽多、死角多、陰影重），方能展現水土保持技師之專業深度。

選項分析

本題為專技高考申論問答題，無選擇題選項。閱卷給分之關鍵在於層次分明與專有名詞之精確度，評分指標可拆解為兩大核心配分項：

• 作業程序完整性（約 12～13 分）：空域申報、航線規劃（特別是山坡地仿地航線）、GCP/CP 佈設、航拍、空三平差、點雲分類、DEM 產製、精度檢驗。缺漏重要階段（如無檢核點驗核或無點雲濾波）將被大幅扣分。
• 資料處理方法深度（約 12～13 分）：能否準確寫出 SIFT、RANSAC、Bundle Adjustment、MVS、點雲濾波演算法（如 PTD 或 CSF）、空間內插法（如 TIN、IDW、Kriging）。若僅含糊提及「用軟體自動轉出」，分數難以突破及格線。

解題技巧

1. 破題架構記憶口訣：「規、外、內、檢」（規劃設計 $\to$ 外業施測 $\to$ 內業處理 $\to$ 檢驗驗收）。
2. 山坡地陷阱與對策（答題加分關鍵）：

• 高差陷阱：山腳與山頂落差大，若使用固定絕對飛行高度，山頂處 GSD 雖高但涵蓋面積變小導致重疊率驟降；山腳處則 GSD 劣化。對策：匯入粗略 DEM 進行「仿地飛行（Terrain Following）」。
• 植生陷阱：山坡地常有茂密樹林，光學被動感測無法穿透樹冠，直接匹配僅能得到樹冠 DSM。對策：強調「點雲濾波分類（Ground Filtering）」與「林下死角之水土保持實務限制」。
• 控制點幾何陷阱：控制點若全部分佈在山腳道路，會導致高程發散。對策：GCP 必須立體分佈，均勻涵蓋山脊、山腰、山谷等不同高程帶。

3. 精度評估標準公式： 成果必須利用獨立檢核點（Check Points, CPs）計算中誤差（均方根誤差, RMSE）： $RMSE_Z = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (Z_{\text{DEM}, i} - Z_{\text{CP}, i})^2}{n}}$

【答案】

針對山坡地地形利用無人機攝影測量（UAV Photogrammetry）產製密點雲及數值地形模型（DEM），整體作業程序與關鍵資料處理方法說明如下：

一、整體作業程序

[準備與航線規劃] ──> [外業測量與航拍] ──> [內業資料解算處理] ──> [成果檢核與產製]
 (法規/仿地飛行) (GCP測量/空拍) (SfM/MVS/點雲濾波) (DEM/DOM/精度報表)

1. 前置準備與航線規劃階段：

• 法令申請：依《民用航空法》遙控無人機專章，確認作業空域（紅/黃/綠區），依法取得操作證並於民航局系統完成飛行活動申請。