114 專技高考高等考試 水土保持技師 測量學（包括平面測量、地形測量與航照判釋） 考古題詳解

114 年・專技高考・高等考試・水土保持技師
試題代碼 測量學（包括平面測量、地形測量與航照判釋）

第 一 題25 分

已知水準測量的樁位分布如下圖所示，且其三維座標 (N,E,H)(N,E,H) 之測量結果分別為：

A(190,100,10.90)A(190,100,10.90)、B(160,100,9.90)B(160,100,9.90)、C(130,100,9.80)C(130,100,9.80)、D(100,100,10.50)D(100,100,10.50)、E(160,140,10.50)E(160,140,10.50)、F(130,140,9.50)F(130,140,9.50)、G(100,140,9.50)G(100,140,9.50)、H(160,180,11.0)H(160,180,11.0)、I(130,180,10.0)I(130,180,10.0)。

單位為公尺。另外，在水準測量網格內有兩個未知高程的點位，其平面座標分別為 P(170,110)P(170,110)、Q(140,165)Q(140,165)。結果請計算到小數點下兩位。

圖中樁位配置如下：A 位於最上方；B、P、E、H 依序分布於下一列；Q 位於 P、E 與 F、I 之間；C、F、I 分布於下一列；D、G 位於最下方。

(一) 若計畫的標高為 10.0010.00 公尺，請問該工程之土方數量是否不足或剩餘？且其土方數量為多少？

(二) 請以不規則三角網（TIN）內插法計算 PP 點位的高程。

(三) 請以雙線性內插法（Bilinear interpolation）計算 QQ 點位的高程。

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核心觀念

本題考查三種地形測量計算：

  • 方格法土方量：先求各樁點相對計畫標高的高差，再依網格面積與角點高差求有號土方量。地面高於計畫面為挖方，低於計畫面為填方。
  • TIN 內插：在包含待求點的三角形內，以三個頂點高程作平面線性內插。
  • 雙線性內插：在矩形網格內，沿兩個座標方向依距離比例逐次線性內插。

（一）土方數量

以計畫標高 10.0010.00 公尺為基準，定義各點高差：

Δh=H−10.00\Delta h=H-10.00

因此：

點位ABCDEFGHI
Δh\Delta h（m）0.90-0.10-0.200.500.50-0.50-0.501.000.00

圖示網格由一個三角形及三個長方形組成。三角形採三頂點高差平均，長方形採四角點高差平均：

V△=A△3∑Δhi,V□=A□4∑ΔhiV_{\triangle}=\frac{A_{\triangle}}{3}\sum \Delta h_i, \qquad V_{\square}=\frac{A_{\square}}{4}\sum \Delta h_i

三角形 ABEABE 的面積為：

A△=12(30)(40)=600 m2A_{\triangle}=\frac{1}{2}(30)(40)=600\ \text{m}^2 VABE=6003(0.90−0.10+0.50)=260 m3V_{ABE}=\frac{600}{3}(0.90-0.10+0.50)=260\ \text{m}^3

每個長方形網格面積為 30×40=1,200 m230\times40=1{,}200\ \text{m}^2：

VBCEF=1,2004(−0.10−0.20−0.50+0.50)=−90 m3V_{BCEF}=\frac{1{,}200}{4}(-0.10-0.20-0.50+0.50)=-90\ \text{m}^3 VCDFG=1,2004(−0.20+0.50−0.50−0.50)=−210 m3V_{CDFG}=\frac{1{,}200}{4}(-0.20+0.50-0.50-0.50)=-210\ \text{m}^3 VEFIH=1,2004(0.50−0.50+0.00+1.00)=300 m3V_{EFIH}=\frac{1{,}200}{4}(0.50-0.50+0.00+1.00)=300\ \text{m}^3

全區有號土方量為：

V=260−90−210+300=260 m3V=260-90-210+300=260\ \text{m}^3

正值代表地面高於計畫標高，挖方量大於填方量，因此土方剩餘。

（二）以 TIN 內插計算 PP 點高程

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第 二 題25 分

已知導線點 AA 的三維座標為：

EA=50.00±0.03 mE_A=50.00\pm0.03\ \mathrm{m}、NA=100.00±0.04 mN_A=100.00\pm0.04\ \mathrm{m}、HA=40.50±0.05 mH_A=40.50\pm0.05\ \mathrm{m}。

導線點 BB 的三維座標為：

EB=90.00±0.04 mE_B=90.00\pm0.04\ \mathrm{m}、NB=70.00±0.03 mN_B=70.00\pm0.03\ \mathrm{m}、HB=60.00±0.04 mH_B=60.00\pm0.04\ \mathrm{m}。

今在 AA 點設置全站儀，且儀器高為 i=1.00±0.02 mi=1.00\pm0.02\ \mathrm{m}；另在 BB 點豎立稜鏡，而稜鏡高為 z=1.50±0.02 mz=1.50\pm0.02\ \mathrm{m}。

(一) 請問 ABAB 兩點的水平距離 dABd_{AB} 及其中誤差 mdABm_{d_{AB}} 為多少？

(二) 請問儀器至稜鏡的垂直角 α\alpha 及其中誤差 mαm_\alpha 為多少？

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核心觀念

本題考查坐標差計算水平距離，以及依誤差傳播定律計算距離與垂直角的中誤差。儀器至稜鏡的垂直高差，須將地面高程差與儀器高、稜鏡高一併納入：

Δh=(HB+z)−(HA+i)\Delta h=(H_B+z)-(H_A+i)

以下採各項觀測量彼此獨立，且題目所列「±\pm」為中誤差的假設；垂直角以水平面為基準，仰角為正。

解題方法

（一）水平距離及其中誤差

兩點坐標差為：

ΔE=EB−EA=90.00−50.00=40.00 m\Delta E=E_B-E_A=90.00-50.00=40.00\ \mathrm{m} ΔN=NB−NA=70.00−100.00=−30.00 m\Delta N=N_B-N_A=70.00-100.00=-30.00\ \mathrm{m}

因此水平距離：

dAB=(ΔE)2+(ΔN)2=402+(−30)2=50.00 md_{AB}=\sqrt{(\Delta E)^2+(\Delta N)^2} =\sqrt{40^2+(-30)^2} =50.00\ \mathrm{m}

距離函數為 d=(ΔE)2+(ΔN)2d=\sqrt{(\Delta E)^2+(\Delta N)^2}。依誤差傳播定律：

md2=(ΔEd)2mΔE2+(ΔNd)2mΔN2m_d^2= \left(\frac{\Delta E}{d}\right)^2m_{\Delta E}^2+ \left(\frac{\Delta N}{d}\right)^2m_{\Delta N}^2

其中：

mΔE2=mEA2+mEB2=0.032+0.042=0.0025 m2m_{\Delta E}^2=m_{E_A}^2+m_{E_B}^2 =0.03^2+0.04^2=0.0025\ \mathrm{m^2} mΔN2=mNA2+mNB2=0.042+0.032=0.0025 m2m_{\Delta N}^2=m_{N_A}^2+m_{N_B}^2 =0.04^2+0.03^2=0.0025\ \mathrm{m^2}

代入 ΔE/d=40/50\Delta E/d=40/50、ΔN/d=−30/50\Delta N/d=-30/50：

mdAB2=(4050)2(0.0025)+(−3050)2(0.0025)=0.0025m_{d_{AB}}^2= \left(\frac{40}{50}\right)^2(0.0025)+ \left(\frac{-30}{50}\right)^2(0.0025) =0.0025 mdAB=0.05 mm_{d_{AB}}=0.05\ \mathrm{m}

（二）垂直角及其中誤差

儀器中心高程為 HA+iH_A+i，稜鏡中心高程為 HB+zH_B+z，故儀器至稜鏡的垂直高差：

Δh=(60.00+1.50)−(40.50+1.00)=20.00 m\Delta h=(60.00+1.50)-(40.50+1.00)=20.00\ \mathrm{m}

以水平距離為鄰邊、垂直高差為對邊：

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第 三 題25 分

請回答下列問題。

(一) 何謂大地座標 (φ,λ,h)(\varphi,\lambda,h)？請說明大地座標系統的原點與其三個量的定義。

(二) 假設地球是一圓球，其半徑為 63716371 公里。已知臺北市國父紀念館的座標是東經 121∘33′36′′121^\circ33'36''、北緯 25∘2′24′′25^\circ2'24''。

今有一侵臺的颱風，其中心位置在東經 124∘124^\circ、北緯 22∘22^\circ，且其侵臺路線是向北行至東經 124∘124^\circ、北緯 25.04∘25.04^\circ，然後再向西侵襲國父紀念館。

請問這個颱風中心位置的行進距離大約多少公里？

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核心觀念

本題考查大地座標的幾何意義，以及將球面上的分段路線換算成距離。大地座標以參考橢球為基準，用大地緯度 φ\varphi、大地經度 λ\lambda 與大地高 hh 描述點的位置。

（一）大地座標 (φ,λ,h)(\varphi,\lambda,h)

大地座標系統以參考橢球的中心為原點，三個座標量定義如下：

  • 大地緯度 φ\varphi：測點處參考橢球法線與赤道面的夾角；北半球為北緯，南半球為南緯。
  • 大地經度 λ\lambda：測點所在子午面與起始子午面的夾角；通常以格林威治子午面為起始子午面，向東、向西分別記為東經、西經。
  • 大地高 hh：沿參考橢球法線，從橢球面至測點的距離；在法線外側為正。

因此，(φ,λ)(\varphi,\lambda) 決定測點相對參考橢球的位置方向，hh 則表示測點離橢球面的高低。

（二）颱風中心行進距離

解題方法與計算

依題意，颱風分兩段行進：

  1. 沿東經 124∘124^\circ 向北，由北緯 22∘22^\circ 行至北緯 25.04∘25.04^\circ。
  2. 沿北緯 25.04∘25.04^\circ 向西，行至國父紀念館的東經 121∘33′36′′121^\circ33'36''。

球面上沿子午線的距離以緯度差計算；沿緯線的距離則須乘上緯圈半徑比例 cos⁡φ\cos\varphi。

第一段：向北行進

緯度差為：

Δφ=25.04∘−22∘=3.04∘\Delta\varphi=25.04^\circ-22^\circ=3.04^\circ
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第 四 題25 分

請回答下列問題。

(一) 電子測距儀是利用電磁波來量測距離的儀器，若依其技術原理來分類，一般而言可分成兩大類。請說明這兩類電子測距的主要測距原理及其優缺點。

(二) 利用電子測距儀進行距離測量時，會受到兩差的影響。請說明何謂兩差？其形成的原因為何？如何改正？

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核心觀念

本題考電子測距儀（EDM）的兩項基本知識：

  1. 依測距原理，電子測距可分為相位比較法與脈衝法（飛行時間法）。
  2. EDM 距離觀測的「兩差」是加常數差與乘常數差，分別造成固定量的偏差與隨距離成比例的偏差。

（一）電子測距的兩種原理與優缺點

1. 相位比較法

儀器發射經調變的連續電磁波，電磁波往返於測站與反射器之間後，儀器比較發射波與接收波的相位差。相位差可換算為波程；若調變波長為 λ\lambda，往返距離可表示為：

2D=(N+Δϕ)λ2D=(N+\Delta\phi)\lambda

其中 DD 為測站至反射器的距離，NN 為完整波長的整數週數，Δϕ\Delta\phi 為不足一週的相位差所對應之週數。故：

D=(N+Δϕ)λ2D=\frac{(N+\Delta\phi)\lambda}{2}

實際儀器通常利用多個調變頻率或多種波長，判定整數週數，再求得距離。

**優點：**相位可高精度量測，適合一般測量及中短距離測距，精度通常較高。

**缺點：**單一相位差無法直接判定整數週數，存在整週數模糊問題；需使用多頻率或多波長解算。量距也會受大氣折射率影響，且通常須有反射器。

2. 脈衝法（飛行時間法）

儀器發射短脈衝電磁波，接收反射回來的脈衝，量測電磁波往返所需時間 Δt\Delta t。若波在介質中的速度為 vv，則：

D=vΔt2D=\frac{v\Delta t}{2}

除以 2 是因為量得的時間涵蓋去程與回程。

**優點：**由往返時間直接求距離，不必判定相位的整數週數；適合較長距離或快速測距，亦可配合較強脈衝與接收系統使用。

**缺點：**極短時間的量測精度要求高，時間解析度及脈衝形狀會影響精度；一般工程測量的高精度能力通常不如相位比較法。

解題方法

辨認兩法的關鍵，在於儀器實際量測的量：相位比較法量相位差，脈衝法量往返時間。兩者都由電磁波傳播速度與傳播量換算距離，但距離式均須除以 2，因為電磁波走的是往返路程。

（二）兩差的意義、原因與改正

1. 何謂兩差

EDM 的「兩差」是儀器距離系統誤差中常見的兩項：

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